2022-2023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期2月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高二上學(xué)期2月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2．若向量，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得出，進(jìn)而由模長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，．故選：D3．“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義及充分條件、必要條件的定義判斷可得；【詳解】解：若方程表示橢圓，即方程表示橢圓，所以，解得，所以由方程表示橢圓推得出，由推不出方程表示橢圓，若方程表示圓，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件；故選：B4．如圖，在平行六面體中，E是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】．故選：A.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用拋物線的定義即可求解.【詳解】依題意知，焦點(diǎn)，由定義知：，所以，所以．故選：C.6．已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，再利用累加法求.【詳解】因?yàn)?，所以，又是等差?shù)列，故首項(xiàng)為3，公差為2，所以，所以．故選：A.7．已知曲線，若存在斜率為的直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合，分析CB斜率可得.【詳解】由，若與x軸相交于，記右側(cè)交點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，存在斜率為的直線與曲線C相切，且切點(diǎn)在第一象限，故此時(shí)存在斜率為的直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn).故或．故選：D8．在三棱錐中，．若與面所成角的最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點(diǎn)分別為O，D，E，連，過(guò)D作于G，連，可證為所求線面角，設(shè)，用表示出求最值.【詳解】取中點(diǎn)分別為O，D，E，連，過(guò)D作于G，連，由，則，又，則，又平面，平面，，所以平面，又平面，則，又平面，平面，，則平面．又，故與面所成角與與面所成角相等，所以為所求線面角，設(shè)，則，，故，令，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：已知斜線AB與平面交于點(diǎn)B，則直線AB與平面所成角的作法：（1）直接法作線面角：即定義法，過(guò)A作面的垂線，垂足為，根據(jù)線面角的定義得為直線AB與平面所成角.（2）借助于面面垂直作線面角：過(guò)A點(diǎn)作平面的垂面，過(guò)A點(diǎn)作兩面交線的垂線，垂足為，則為直線AB與平面所成角.二、多選題9．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“擲到的點(diǎn)數(shù)為5”，事件“擲到的點(diǎn)數(shù)小于或等于3”，事件“擲到的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．A與B是互斥事件 D．A與C是對(duì)立事件【答案】ABC【分析】利用概率的定義以及互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷.【詳解】擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為：1，2，3，4，5，6，，則，故A正確；，故B正確；又A與B不能同時(shí)發(fā)生，故C正確；由A不發(fā)生C不一定發(fā)生，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.10．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在x軸上的截距為 B．能表示過(guò)點(diǎn)的任意直線C．若，則或 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)直線方程的特征逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可判斷.【詳解】A項(xiàng)：令，則，故選項(xiàng)A正確；B項(xiàng)：，令，則，過(guò)定點(diǎn)，但無(wú)法表示直線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，故選項(xiàng)D正確．故選：AD11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為內(nèi)的在意一點(diǎn)（含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．點(diǎn)P到直線的距離的最小值為C．向量與夾角的取值范圍是D．若線段的中點(diǎn)為F，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段【答案】ACD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得=，且為定值，結(jié)合棱錐的體積公式即可判斷A；根據(jù)線面平行的性質(zhì)，利用等體積法計(jì)算即可判斷B；由即可判斷C；連接AC，由知P在平面上上，即可判斷D.【詳解】A項(xiàng)：由平面平面，得點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，且為定值，故為定值，故A正確；B項(xiàng)：由平面，故P到直線距離的最小值，等于B到平面的距離，由，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，故C正確；D項(xiàng)：連接，連接CO，由，則P在平面上，又平面，故P的軌跡為兩個(gè)面的交線段CO，故D正確．故選：ACD.12．臺(tái)州府城墻是臨海級(jí)旅游景點(diǎn)之一，該景點(diǎn)的入口處有一段臺(tái)階，共198級(jí)．若某游客登臺(tái)階時(shí)每步只向上登一級(jí)或兩級(jí)，設(shè)該游客從底下開(kāi)始登上第n級(jí)臺(tái)階的不同走法種數(shù)記為（且），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】最后一步有兩種途徑，只登一級(jí)與登兩級(jí),可得,即可判斷A,利用迭代即可證明B,根據(jù)可得作等量替換判斷C,根據(jù)可得即可證明D.【詳解】易知，最后一步有兩種途徑，只登一級(jí)與登兩級(jí)，故，故A正確；由所以，故B正確；由，則，則，故C錯(cuò)誤；由，所以所以，故D正確．故選：ABD.三、填空題13．已知雙曲線C與雙曲線有相同漸近線，但焦點(diǎn)不同，則C的方程可以是________．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（只要雙曲線的漸近線為即可）【分析】先求出易知雙曲線的漸近線，然后利用有相同漸近線找到所求雙曲線的方程特點(diǎn)即可解答【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線C的方程為：，由題意，即，所以雙曲線C的方程方程為；若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線C的方程為：，由題意，即，所以雙曲線C的方程方程為；綜上，雙曲線C的方程為，當(dāng)時(shí)，（只要雙曲線的漸近線為即可）故答案為：14．已知圓，圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為_(kāi)________．【答案】【分析】利用兩圓相減即可得出兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】依題意，①②①②得：，故公共弦方程為：．故答案為：.15．已知等差數(shù)列滿足，則___________．【答案】49【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義可得，利用裂項(xiàng)求和計(jì)算可得，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，所以，可得；又，即，解得．故答案為：16．設(shè)分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，B是橢圓C的下頂點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上且位于第一象限．若，且平分，則橢圓的離心率為_(kāi)___________．【答案】【分析】方法一：先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入橢圓方程即可求解；方法二：根據(jù)橢圓的性質(zhì)表示出線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】法一：設(shè)，則，交x軸于M，由，又，又，則的方程為：，所以，所以代入橢圓得：，所以．法二：由，則，在中：由余弦定理得①，在中：由余弦定理得②，由①②得，所以，所以，所以，所以，所以；故答案為：.四、解答題17．為積極參與校運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班要從A，B，C三位同學(xué)中任意抽取兩位參加400米比賽．(1)請(qǐng)寫(xiě)出不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間，并求出抽中A的概率；(2)若抽中的兩位同學(xué)參加400米預(yù)賽后能進(jìn)入決賽的概率都是，請(qǐng)求出兩人中恰好一人進(jìn)決賽的概率．【答案】(1)樣本空間為，抽中的概率為(2)【分析】（1）列舉所有抽取結(jié)果即為所求，由古典概型公式計(jì)算概率；（2）根據(jù)事件間的關(guān)系，計(jì)算所求概率.【詳解】（1）．所以抽中A的概率．（2）由題，兩人恰好一人進(jìn)決賽的概率．18．從①②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并解答該題．①經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②圓心C在直線上．已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且___________．(1)求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與該圓有交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）若選①：令圓方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，解方程組得到答案；若選②：確定圓心在上，計(jì)算圓心和半徑得到圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與半徑的關(guān)系得到不等式，解得答案.【詳解】（1）若選①：令圓方程為，則，解得．圓方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．若選②：圓過(guò)，，中點(diǎn)為，則垂直平分線為，即，故圓心在上，又知圓心在直線上，，解得圓心．可得半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)橹本€l與圓有交點(diǎn)，所以圓心到直線l的距離小于等于半徑．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，令直線，即．圓心到直線的距離，解得所以直線l的斜率取值范圍為．19．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)，即可求出等比數(shù)列公比，即可根據(jù)等比數(shù)列定義得出其通項(xiàng)，根據(jù)再，結(jié)合已知即可得出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)，再驗(yàn)證滿不滿足即可得出答案；（2）根據(jù)第一問(wèn)得出的通項(xiàng)得出，根據(jù)不等式或函數(shù)得出在上的最小值即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，即，，，；，，且，則當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，滿足上式，；（2），，，，記，則，當(dāng)，，則；當(dāng)時(shí)，，則．．則．20．如圖，在梯形中，，以為折痕將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，連接．(1)若點(diǎn)E在線段上，使得，試確定E的位置，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，進(jìn)一步由線面垂直證明線線垂直，最后利用線線平行確定點(diǎn)的位置；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，從而求出兩個(gè)平面夾角的余弦值；方法二：先證平面，再利用三垂線定理（或逆定理）作出兩平面的夾角，在直角三角形中求出夾角的余弦值【詳解】（1）證明：點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，取中點(diǎn)F，連接，，所以，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，而平面，所以，在中?在中，，又，所以，兩方程聯(lián)立解得，又，所以，得.因?yàn)镕是中點(diǎn)，所以E為線段的中點(diǎn).（2）方法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB、DC分別為x、y軸，過(guò)D且垂直平面BDC的線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，解得，所以.易知平面的法向量可取，在平面中，，設(shè)其法向量為，則令得，，記平面與平面的夾角為，則，所以，平面與平面夾角的余弦值為.方法二：∵F是中點(diǎn)，∴，∴，又∵，且平面，平面，∴平面，而平面，∴，作，G為垂足，，且平面，平面，∴平面，而平面，∴，又，∴即為平面與平面的夾角，在中，，所以，所以.所以在中，，解得，∴，即平面與平面的夾角余弦值為.21．我們知道，在平面中，給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線．如點(diǎn)在直線l上，為直線l的一個(gè)方向向量，則直線l上任意一點(diǎn)滿足：，化簡(jiǎn)可得，即為直線l的方程．類似地，在空間中，給定一點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量可以唯一確定一個(gè)平面．(1)若在空間直角坐標(biāo)系中，，請(qǐng)利用平面的法向量求出平面的方程；(2)試寫(xiě)出平面（A，B，C不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量（無(wú)需證明），并證明點(diǎn)到平面的距離為．【答案】(1)(2)平面的一個(gè)法向量為，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出平面的法向量，然后利用法向量的定義得到，化簡(jiǎn)即可；（2）利用點(diǎn)到面的向量求法即可得證【詳解】（1）平面中，．設(shè)平面的法向量為，所以即，令則，所以．設(shè)平面任意一點(diǎn)，當(dāng)Q不同于P，有；當(dāng)Q與P重合，則有；∴．∴，化簡(jiǎn)得．所以平面的方程為．（2）平面的法向量可取．證明如下：設(shè)為平面的任意兩個(gè)點(diǎn)，則，兩式相減得即，即，所以平面的法向量可?。洠?yàn)锳，B，C不同時(shí)為0，所以不妨令，平面上可取點(diǎn)，∴，則點(diǎn)H到平面的距離22．已知雙曲線，點(diǎn)A，B在雙曲線右支上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若過(guò)點(diǎn)A作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)M，N，證明：平行四邊形的面積為定值；(2)若，D為垂足，求點(diǎn)D的軌跡的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)設(shè)，將漸近線方程分別與過(guò)點(diǎn)直線的直線方程聯(lián)立得到，，進(jìn)而得到即可求解；(2)設(shè)，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和已知條件得到，然后將橢圓方程和雙曲線方程聯(lián)立得到，進(jìn)而計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)，雙曲線的漸近線為，∴，解得，記，同理可得．∴．所以．（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在