高等數(shù)學(xué)試題及答案

B(B(y高等數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：、下列等式中有一個是微分方程，它是（D）A

)

B

u

v

C、

d(x

)

D、

y

0解：選項A和B是求導(dǎo)公式，選項C為恒等式，選項D符合微分方程的定義、下列方程中有一個是一階微分方程，它是（C

）A

xy

22457

0C、

xy2)x20

D、

xy

0、若級數(shù)

a

與

b

都發(fā)散，則（C）

A

(

)

發(fā)散

B

a

發(fā)散

C、

(a

)

發(fā)散

D、

(a

)

發(fā)散

解：由

aan

推知若選項C收，則

a

收斂，與題設(shè)矛盾，故選C、級數(shù)

a

的部分和數(shù)列

有是該級數(shù)收斂的（A）A必要非充分條件C、要條件

B充分非必要條件D、非分也非必要條件、級數(shù)

n

aq

（為數(shù)）收斂的充分條件是（

A

）A、B、、|q|<1、q<1解：該級數(shù)是公比為

1q

的幾何級數(shù)，所以當(dāng)

1q

，即|q|>1時級數(shù)收斂

、若級數(shù)

a

收斂，那么下列級數(shù)中發(fā)散的是（B）A

a

B

(100)

C、

a

D

a

解：選項B中因為

lim(100)0

n，所以該級數(shù)發(fā)散、若級數(shù)

a

發(fā)散，則（

D

）A

lim

B

limS

(1

)C、

a

任意加括號后所成的級數(shù)必發(fā)散D、

a

任意加括號后所成的級數(shù)可能收斂解：選項A和B均級數(shù)發(fā)的充分條件，但非要條件若級數(shù)散則意括后成數(shù)能斂可發(fā)、若級數(shù)

a

收斂，則下述結(jié)論中，不正確的是（

C

）A

(a

)

收斂

B

收斂

(k

C、

||

收斂

D、

lim解：選項A中為

(

n

)a)a)n1234

所以A正確選項中級數(shù)收斂性知該級數(shù)收斂，所以B正確選項D是數(shù)收斂的必要條件，所以D正選項中級數(shù)收斂，

||

可能收斂也可以發(fā)散、無窮級數(shù)

(

u(u

收斂的充分條件是（C

）

’’A

u

n

u

n

1,2,

)

B、

limC、

u

n

u

n

1,2,

，且

D、

(

(u

)

收斂解：所給級數(shù)為交錯級數(shù)，選項C為錯級數(shù)判斷收斂性的萊布尼茨定理中的條件10設(shè)

10()n

，則下列級數(shù)中必定收斂的是（D）A

u

B

(

u

C、

uD

(

u

n、在球

x

22

2

z

內(nèi)部的點是（

C

）A，，2

B，，-2

C、

11111(,)D、()2222解：球的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x22

，是以（0）為球心，1為半徑的球面，經(jīng)驗算選項中點到球心的離為

32

12設(shè)函數(shù)

f(,y)

2y2

，則下列各結(jié)論中不正確的是（

）A

f)

xyB)2x2y

C、

1f(,)y

D、

f(y,)

13設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點x，y)處存在對x，y的導(dǎo)數(shù)，則f(x，y)=（B0x0

）A

lim

f(y)f(x,y)000

、

lim0

f()f(y)00C、

lim0

f(yf()0

D

lim0

f(y)(x,y)00解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義知選項和D然錯誤選項A，lim

f(y)f(x,y)0000

=

lim

f(y)f(x,y)000

f

,)00選項中

222222lim0

f(x)f(y)00

=

lim

f(xy)f(,y)0000

f

,)0014二元函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且

0,

0

，則（D）A當(dāng)保不變時f(x,y)是隨x的少而單調(diào)增加的B當(dāng)保持不變時，f(x,y)是隨y的加而單調(diào)增加的C、保不變時f(x,y)是隨x的加而單調(diào)減少的D、保持不變時，是隨y的加而單調(diào)減少的解：由

知當(dāng)y保不變時，f(x,y)的單增加函數(shù)；由

0

知當(dāng)x保不變時，是y的單調(diào)減少函數(shù)；15函數(shù)在（x）處可微的充分件是（00A、f(x,y)在點x)處連續(xù)00B、f(x,y)在點(x)處存在偏導(dǎo)數(shù)00

D

）C、

lim[

x

(xy)0

y

(x,y)]0D、

lim[

x

(x,y)f0

y

(xy)00

]

，其中

)

解：二函在（,y）連續(xù)偏數(shù)在不保在點微0由全徽分的定義知選項D正16已知函數(shù)

f(xyxy)

2

y

2

，則

(x,)(x,)

（

B）A、B、x+y2x+2yD、x-y解：設(shè)，，則f(u，，而f(x，y)=xy(x,)(x)

17已知函數(shù)

f()x

2

y

2

，則

(x,)(x,)

分別為（A

）A、-12yB、，-1、2x+2y，2y+xD、2y，2x解：設(shè)u=xy,v=x+y則，v)=(x+y)-xy=v-u所以f(x，-x18點

x使0

(,y且f

(x,y)0

成立，則（D）

dx11111111dx11111111A

x,y)00

是

f(x)

的極值點

B

x0

是

f(x,y)

的最小值點C、

x,y)00

是

f(x,)

的最大值點

D、

x0

可能是

f(x,y)

的極值點解：

f

x

(,y)且

(,)是(x,y)x0

有極值的必要而非充分條件19設(shè)區(qū)域D是位圓

x

在第一象限的部分，則二重積分

（）DA

1

dx

B

1

C、

00

0

00D、220解：在直解坐標(biāo)系下：

D

0

0

0

0在極坐標(biāo)系下：

rcos

r

20

11

f(y)

（

D

）0

0A

(x)dx

B

f,y)0

0

0C、

1

f,y)

D、

1

fy0

0

0

0解：改變積分次序后，積分區(qū)域可記為

D,y)|0yxy}21若

dxdy

，則積分區(qū)域D可是（

C

）DA由軸，y軸所成的區(qū)域B由x=1，及y=2，y=4所成的區(qū)域C、由x|=1/2|y|=1/2所成的區(qū)域D、由|x+y|=1所成的區(qū)域解由二重積分的幾何意義可知D的積，出草圖可知選項ABD所區(qū)域面積均為，選項C所區(qū)域的面積為1二、填空題：、微分方程

xy

滿足條y

的解是（

1

）、微分方程

(1y)

的通解是（

(1)(1)C

）

1xx1xx解

1y

，于是ln(1y))C、設(shè)

z

，則dz=(

xyxydy2xy22

)、

f(y)

22

fy)

交換二次積分的次序為（

1

f(y)

）0

0

10

0

、已知

ab

，則

（

a

與

b

的夾角為（

34

）、二元函數(shù)

xy

的定義域是（

{(x)|

4

2

y三計題、求級數(shù)

x5

的收斂域，并求和函數(shù)。解：

(x2nxn

2lim

a(x)a()

lim

22nx2n

x|

當(dāng)

x

即|時收斂，當(dāng)x

即

x

時發(fā)散當(dāng)時原級數(shù)為

發(fā)，當(dāng)x=—1時原級數(shù)為

()

發(fā)散n所收斂域為（—1，）令

()

2

n

=0

0

()0n

2n

dtn

2n

21

2

(|2xx)12(12)

(|x、將函數(shù)

f)

3

展開成的級數(shù)。參答：解：e

x

xnnn

e

n

(n!

n

從而

f()

3

e

n

n

n!

、級數(shù)

1lnn

是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？參答：解：因

111|u|，而發(fā)，故發(fā)。lnlnn因此原級數(shù)不是絕對收斂，顯然

1lnn

，

，且

n

1lnn

，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。、已

a

求

在

上的投影。參答：2=-9a|jab

Prjb

a|

、設(shè)ze

sin，uxy，

求

。參答：yeusinv

xy

sin(y)x))、

計算z

xy

在點(處的微分

。參答：

(2,1)

2

(2,1)

2,所求全微分

dz

22

dy

dyaydyay、設(shè)

zarcsin

2

2

，求

參答：

2y

2y

x

x2|y

2

(

2

2y)

3

y|.x22、求

zy

的極值參答：解：由

0,xyy又

6x,z

6y對于（0，0）點，

AC20

，故（0）是極值點對于（1，1）點，

AC

0

，且，所以（1，1）為極小值點，且極小值Z=—、求

(x2y)d

，是

xx,ay(

所圍成的區(qū)域D參答：

(x

)

ay

(x

)dx解：

D

2)dy

10計算二重積分

1

dxdy

其是

x,yx,y

所圍成的第一象限的閉區(qū)域。參答：積分區(qū)域：

0y0x

1y

dxdy0

1y

dx

22

11y1y

dy

13

2欲一個面積為平米的矩形場地正所用材料每米造價10元其余三面每米造價