基本立體圖形講義-高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

-PAGE5-立體幾何初步8.1基本立體圖形知識點：1：棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.

與棱柱相關(guān)的概念：棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面（簡稱底），其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點

棱柱的分類及表示：

按底面多邊形邊數(shù)給棱柱分類：三棱柱、四棱柱、五棱柱.表示：用底面各頂點的字母表示

按側(cè)棱與底面的關(guān)系分類：直棱柱、斜棱柱。2：棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.2．棱錐的有關(guān)概念：棱錐中，這多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側(cè)面的公共邊棱錐的側(cè)棱.

3．棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.三棱錐又叫四面體。3：棱臺

1．棱臺的概念：棱錐被平行于棱錐底面的平面所截后，截面和底面之間的部分叫做棱臺．

2．棱臺的有關(guān)概念：（出示模型，邊對照模型邊介紹）棱臺的上底面、下底面、側(cè)面、棱、側(cè)棱、頂點；

3．棱臺的分類:三棱臺、四棱臺、五棱臺、六棱臺；

4．棱臺的表示方法：棱臺ABCD－A'B'C'D'

5.棱臺的特點：兩個底面是相似多邊形，側(cè)面都是梯形；側(cè)棱延長后交于一點。4：圓柱

1.定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓柱.

2.圓柱的有關(guān)概念：在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.

3.圓柱的表示方法：圓柱用表示它的軸的字母表示，圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體。5：圓錐

1．定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.

2．圓柱的有關(guān)概念：在圓錐中,旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線.

3．圓錐的表示方法：圓錐用表示它的軸的字母表示。6：圓臺

1．定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分叫做圓臺.

2．圓臺的有關(guān)概念：結(jié)合圖形認識圓臺的上、下底面、側(cè)面、母線、軸.

3．圓臺的表示方法：圓臺用表示它的軸的字母表示，圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。

7：球

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，叫球體，簡稱球.2．在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.

3．球的表示：球常用表示球心的字母表示。

8：簡單組合體

簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．注意（總結(jié)）：1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱的上下底面平行，側(cè)棱都平行且長度相等，上底面和下底面是全等的多邊形．

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形．

(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個多邊形相似．2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．

(2)圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．

(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．

(4)球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)得到．

例題講解

例1給出如下四個命題：①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個共同的公共點；③多面體至少有四個面；④棱臺的側(cè)棱所在直線均相交于同一點.其中正確的命題個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，可知①②③④正確。例2(1)圖(1)中的幾何體叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．（2)圖(2)中的幾何體叫做________，PA、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．(3)圖(3)中的幾何體叫做________，它是由棱錐________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．【解析】結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的概念及性質(zhì)作答。例3下列說法中，正確的是()

A．有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐

B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺

C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

[解析]Ｂ中應(yīng)該是用一個平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；C中棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不一定是平行四邊形可以是任意多邊形；D中棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面不一定都是全等的平行四邊形這與底面的各邊長有關(guān).

例4如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為AA1，C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為________．

[解析]此題需將正三棱柱的側(cè)面展開圖表示出來，其對角線的長即為最短路徑。例5如圖所示，在長方體A1B1C1D1—ABCD中，已知AB＝5，BC＝4，BB1＝3，從A點出發(fā)，沿著表面運動到C1，最短路線長是________．[解析]分三種情況展成平面圖形求解．沿長方體的一條棱剪開，使A和C1在同一平面上，求線段AC1的長即可.例6以下命題：①直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3[解析]結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征分析。例7用一個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個幾何體可能是下面的哪幾種（）①棱柱②棱錐③棱臺④圓柱⑤圓錐⑥圓臺⑦球．A.②⑤⑥B．②③④⑤C．①②③⑤D．③④⑤⑥[解析]用一個平面去截棱柱、棱錐和棱臺的一個角能夠得到截面三角；用平行于圓錐的軸的截面截圓錐能得到截面是三角形；用平行于圓柱的軸的截面截圓柱能得到截面是矩形，其它位置的截面都出現(xiàn)曲邊；

用平行于圓臺的軸的截面截圓臺能得到截面是梯形，其它位置的截面都出現(xiàn)曲邊；球的截面都是圓.例8圓臺的兩底面面積分別為1、49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，求圓臺的高被截面分成的兩線段的比?！窘馕觥繉A臺還原成圓錐，作出其軸截面圖，根據(jù)平面圖形幾何知識求解。

例9圓臺上、下底面半徑分別為5cm，