導數(shù)與微分單元復習

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦導數(shù)與微分單元復習其次章導數(shù)與微分

學習目標：

1.了解導數(shù)、微分的幾何意義、經(jīng)濟意義；函數(shù)可導、可微、延續(xù)之間的關系；高階導數(shù)的概念

2.理解導數(shù)和微分的概念

3.把握導數(shù)、微分的運算法則；導數(shù)的基本公式；復合函數(shù)的求導法則

2.1導數(shù)的概念

2.1．1問題的引入（以物理學中的速度問題為例，引入導數(shù)的定義）1.變速直線運動的瞬時速度

設一物體作變速直線運動，其路程函數(shù)為s=s(t)，

求該物體在0t時刻的瞬時速度.設在0t時刻物體的位置為s(0t).當經(jīng)過0t+tΔ時刻獲得增量tΔ時，物體的位置函數(shù)s相應地有增量),()(00tsttss-?+=?于是比值

()(),00t

tsttsts?-?+=??就是物體在0t到0t+tΔ這段時光內(nèi)的平均速度,記作v，

()().00t

tsttstsv?-?+=??=即當tΔ很小時，v可作為物體在0t時刻的瞬時速度的近似值.且tΔ越小，v就越臨近物體在0t時刻的瞬時速度，即

()().limlimlim)(000000t

tsttstsvtvttt?-?+=??==→?→?→?就是說，物體運動的瞬時速度是路程函數(shù)的增量和時光的增量之比當初間增量趨于零時的極限.

產(chǎn)品總成本的變化率

設某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)，即C=C(Q)，當產(chǎn)量Q從0Q變到QQ?+0時，總成本相應地轉(zhuǎn)變量為)()(00QfQQfC-?+=?當產(chǎn)量從0Q變到QQ?+0時，總成本的平均變化率Q

QfQQfQC?-?+=??)()(00當0→?Q時，假如極限Q

QfQQfQCQQ?-?+=??→?→?)()(limlim0000存在，則稱此極限是產(chǎn)量為0Q時總成本的變化率。

2．1．2導數(shù)的定義

1.函數(shù))(xfy=在一點0x處導數(shù)

定義設函數(shù))(xfy=在),(0δxN內(nèi)有定義，

①當自變量x在0x處取得增量x?(點xx?+0仍在該鄰域內(nèi))時；②相應地函數(shù)y取得增量)()(00xfxxfy-?+=?；

③假如y?與x?之比當0→?x時的極限存在，則稱函數(shù))(xfy=在點0x處可導，并稱這個極限為函數(shù))(xfy=在點0x處的導數(shù)，記為)(0xf'，即

=')(0xf0lim

→?x=??xy0lim→?xxxfxxf?-?+)()(00.也可記為0xxy=',0xxdxdy=或

)(xxdxxdf=．也稱函數(shù)增量與自變量增量之比x

y??是函數(shù)y在以0x及0xx?+為端點的區(qū)間上的平均變化率，導數(shù)）（0xf'是函數(shù))(xfy=在點0x處的變化率，即瞬時變化率．

假如極限不存在，我們說函數(shù))(xfy=在點0x處不行導.

假如固定0x，令xxx=?+0，則當0→?x時，有0xx→，故函數(shù)在0x處的導數(shù))(0xf'也可表為000)()(lim

)(0xxxfxfxfxx--='→.[例題1]求函數(shù)3xy=在1=x，2=x處的導數(shù).

解當x由1變到1+?x時，相應的函數(shù)增量為

3233)()(xxxxfxxfy?+?+?=-?+=?

于是

2)(33xxxy?+?+=??，則=')(xf0lim→?x=??xy0

lim→?x2)(33xx?+?+3=當x由2變到2+?x時，