數(shù)學(xué)物理方程課件第十四講

§3格林（Green）函數(shù)

格林函數(shù)及其性質(zhì)靜電源像法解的驗(yàn)證格林函數(shù)法格林函數(shù):又稱點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念格林函數(shù)代表一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng),知道了點(diǎn)源的場(chǎng)就可以用迭加的方法計(jì)算出任意源所產(chǎn)生的場(chǎng)。格林函數(shù)法求解場(chǎng)方程得到是積分形式的解格林函數(shù)及其性質(zhì)問題：Green函數(shù)如何構(gòu)造？即如何構(gòu)造？在上面的分析中，我們要求應(yīng)滿足

這又是一個(gè)狄利克萊問題。對(duì)一般區(qū)域，求解此問題并非易事，但對(duì)某些特殊區(qū)域，如球域、半空間等可求出Green函數(shù)，后面將給出這些例子。Green函數(shù)的靜電學(xué)意義設(shè)在處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，則其在空間任一點(diǎn)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)電位為若在點(diǎn)的點(diǎn)電荷是包圍在一個(gè)封閉的導(dǎo)電面內(nèi)，而這個(gè)導(dǎo)電面又是接地的，此時(shí)在導(dǎo)電面上的電位恒等于零，在導(dǎo)電面內(nèi)任一點(diǎn)的電位由兩部分組成：M其中表示導(dǎo)電面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位。（該函數(shù)結(jié)構(gòu)即是Green函數(shù)）可見只要將確定了，則也就確定了。如何確定呢？根據(jù)Green函數(shù)的結(jié)構(gòu)，必須滿足我們采用如下方法獲得

假設(shè)區(qū)域外也有一個(gè)點(diǎn)電荷（不一定單位電荷），它對(duì)自由空間的電場(chǎng)也產(chǎn)生一個(gè)電位。設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位在導(dǎo)電面上恰好抵消，則這個(gè)假想的點(diǎn)電荷在區(qū)域內(nèi)電位就等于感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位，這樣就得到了。這種獲得的方法稱為靜電源象法（鏡象法）那么，這個(gè)假想的點(diǎn)電荷應(yīng)在區(qū)域外的什么位置，所帶電量又如何呢？這個(gè)點(diǎn)應(yīng)是關(guān)于邊界曲面的對(duì)稱點(diǎn)。但是，對(duì)一般區(qū)域而言，這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)并不易得到。后面看特殊區(qū)域問題。靜電源像法1.靜電源像法求Green函數(shù)2.應(yīng)用舉例Step1.確定格林函數(shù)（電像法）

稱上述公式為球域內(nèi)的泊松公式。平面特殊區(qū)域的格林函數(shù)

二維泊松方程的形式仍為(

為已知函數(shù))對(duì)應(yīng)的齊次方程為拉普拉斯方程：可以證明，函數(shù)基本解為二維拉普拉斯方程的基本解，卷積給出了泊松方程的解。二維區(qū)域曲線積分的格林公式為二、格林公式D是平面有界連通區(qū)域，C是D的正向光滑邊界，A和B在D+C上連續(xù)，在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).經(jīng)過變形，上式變?yōu)槭欠忾]曲線C的外法線方向的方向向量。平面區(qū)域上的第二格林公式對(duì)于二維區(qū)域D上的泊松方程的第一邊值問題此處C

為D的邊界,是二維區(qū)域D中一個(gè)任意固定的點(diǎn)，其格林函數(shù)應(yīng)該滿足條件三、格林函數(shù)假設(shè)已經(jīng)求出G,那么定解問題的解為對(duì)于拉普拉斯第一邊值問題其解可簡(jiǎn)單寫為1．上半平面上的格林函數(shù)在上半平面區(qū)域上的格林函數(shù)滿足：在上半平面上取一點(diǎn)令表示自原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離，四、特殊平面區(qū)域上的格林函數(shù)的例子在該點(diǎn)放置一個(gè)單位正電荷，在點(diǎn)關(guān)于直線y=0對(duì)稱點(diǎn)處放置一個(gè)單位負(fù)電荷，使得這兩個(gè)電荷所形成的電位在直線y=0上相互抵消?？傻酶窳趾瘮?shù) 拉普拉斯第一邊值問題的解：或者2．圓域上的格林函數(shù)在圓域D上的格林函數(shù)滿足：D是半徑為R的圓域，圓周曲線為C.

與球的問題類似，設(shè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,在圓內(nèi)取一點(diǎn)將的連線延長(zhǎng)至使得稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于圓周C的對(duì)稱點(diǎn)或反演點(diǎn).注意到點(diǎn)位于圓周C之外,函數(shù)滿足方程，但是它在圓周C上的值不為零，因此不能作為格林函數(shù)。為求出圓域上的格林函數(shù),可加上一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng),即利用點(diǎn)與關(guān)于圓周C的對(duì)稱性可以證明函數(shù)滿足因此它就是圓域上的格林函數(shù)。這樣拉普拉斯第一邊值問題的解為