第五章多元函數(shù)微分學7方向?qū)?shù)與梯度

lPlP設(shè)函數(shù)zfx,y)在點Px,y)的某一鄰域UP)其方向余弦為(cos,cos 設(shè)Pxx,yy)為l上的另一點,且PU(P).|PP|xcos

(x)2(y)2(x)2(y)2且zfxx,yyfx,考慮z

當P沿著l趨于Plimf(xx,yy)f(x,lPlP fxxyyfxy)PP兩點間的距離

之比值(x)2(y)2當P沿著l趨于P時，如果此比值的極限存在則稱這(x)2(y)2記為 limf(xx,yy)f(x,y)

注意方向?qū)?shù)f與偏導數(shù)ff 同的概念方向?qū)?shù)：flimfxx,yyfx,y) 是zf(xy)在點(xy)沿射線l方向的變化率，其中0.flimfxxyfxy flimf(x,yy)f(x, 變化率，其x,y可正可負.例1研究zf(x,y) x2y2在點(0,0)沿任方向的方向?qū)?shù)

(0,0)

以及

(0,0)解在(0,0)沿任一方向l的方向?qū)?limf(x,y)f(0,0)

(x)(x)2(y)2(x)2(y)2

limf(0x,0)f(0,0)

xx(0,0)

x0 limf(0x,0)f(0,0)x(0,0)

x0

x0

不存由此可見，方向?qū)?shù)的存在性與函數(shù)在該點 如果函數(shù)zfxy)在點Pxy)可微那末函數(shù)在該點沿任意方向l存在，ffcosfcos 其中cos,cos為l的方向余證明由f(xx,yy)f(x,y)fxfyo( ,f(xx,yy)f(x,y)故有

ff

o(flimf(xx,yy)f(x, fcosfcos 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定對于三元函數(shù)ufxyz),它在空間一Pxyz沿著方向l的方向?qū)?shù)，可定f limf(xx,yy,zz) f(x,y,z)l

(x)2((x)2(y)2(z)2設(shè)方向l的方向角為,,xcos ycos zcos沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，且有ffcosfcosfcos 例2求函數(shù)zxe2y在點P(1,0)處沿從點到點Q(2,1)的方向的方這里方向l即為PQ(122cos 1 cos122

e2

2xe2

2 zcoszcos 2

→例3求函數(shù)uxyez在點M0(1,1,0)→s(11,1)的方向?qū)Ы庋豐方向的方向余弦為333cos1,cos1,cos 1333u

u

uez

ucosucosucosl

3333 1 13333例4設(shè)是曲面2x23y2z26在點P(1,1,1)的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)u在此處沿方向→方向?qū)?shù)

1(6x28y21z1z解令Fxyz)2x23y2z2 故(F,F, P

(4,6,yxy42624262n

方向cos

cos

cos uz

(6x28y26x28 66x28x 88 6x28 6x26x28 →故 (ucosucosucos→n

11 設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域為 f在點P(x,y)D可微i jf→i j

f在點Pxy)的梯度,記為gradff→fgradf

x

yjgradff

fx

yj設(shè)l0為l的單位向量,則l0(cos,cosffcosfcos xiyj(cosicos gradfl0fgradfl0

cos

f(xy)在點(xy)沿lf gradfcos其中為gradf與l函數(shù)f(xy)在點(xy)的所有方向?qū)?shù)不會超過梯度gradf的模gradf;f

gradfcosl最大換句話說，沿著梯度方向，的變化率最大，函數(shù)值增長最快方向?qū)?shù) 的最大值ffx yff

cos當時，即l取負梯度方向gradf時，x yffl 也就是沿負梯度方向函數(shù)值減少最快函數(shù)zfx,y)在點x,y)處的梯度平行于函數(shù)過該點的等值線在該點的法線,且從數(shù)fx,y)c在點x,y)處的切線斜率為yfxf法線斜率為k1fy fx等值線在點xy)處的法線方向向量為fxfy即為函數(shù)在該點的梯度設(shè)ufx,yz),f在點x,yz)的梯度為:gradff

f

fxiy zk即ff

f

fgradf可簡記為f

x

yj

zk

→x

yjzk稱為哈密爾頓(Hamilton)算子例 已知zln(x2y2),求gradz及

( gradzz→zx

yjz 2 z 2 x2 x2gradz

2 2 x2y2ix2y2j

→

x3,4

3,46 8i j 例7設(shè)uxy