2022-2023學年北京海淀高二數(shù)學第二學期期末達標檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是函數(shù)的導函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．2．設則（）A．都大于2 B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于23．“－1≤x≤1”是“xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列有關結(jié)論正確的個數(shù)為（）①小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“4個人去的景點不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則；②設，則“”是“的充分不必要條件；③設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則與的值分別為．A．0 B．1 C．2 D．35．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．6．設隨機變量，若，則()A． B． C． D．7．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．8．設復數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．29．已知是虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是A．210B．336C．84D．34311．的展開式中，的系數(shù)為（）A．15 B．-15 C．60 D．-6012．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則__________．14．在極坐標系中，若過點（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則="______________________."15．_________________．16．由0，1，2，…，9十個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)共______個三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知菱形所在平面，，為線段的中點,為線段上一點，且．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．18．（12分）已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位）（1）求；（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面面，交于點，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，且恒成立，求的最大值；21．（12分）某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵．（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：求導，代值即可.詳解：，則.故選：C.點睛：對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤．2、C【解析】

由基本不等式，a，b都是正數(shù)可解得．【詳解】由題a，b，c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式可得，若，，都小于2，則與不等式矛盾，因此，至少有一個不小于2；當，，都等于2時，選項A，B錯誤，都等于3時，選項D錯誤．選C.【點睛】本題考查了基本不等式，此類題干中有多個互為倒數(shù)的項，一般都可以先用不等式求式子范圍，再根據(jù)題目要求解題．3、A【解析】

首先畫出函數(shù)y=x+1+x-1的圖像，求解不等式【詳解】如圖:y=x+1由圖像可知x+1+x-1≥2恒成立，所以解集是R，x-1≤x≤1是R的真子集，所以“故選A.【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，屬于基礎題型.4、D【解析】對于①，，所以，故①正確；對于②，當，有，而由有，因為，所以是的充分不必要條件，故②正確；對于③，由已知，正態(tài)密度曲線的圖象關于直線對稱，且所以，故③正確．點睛：本題主要考查了條件概率，充分必要條件，正態(tài)分布等，屬于難題．這幾個知識點都是屬于難點，容易做錯．5、C【解析】

本題是一個等可能事件的概率，從正方體中任選四個頂點的選法是，四個面都是直角三角形的三棱錐有4×6個，根據(jù)古典概型的概率公式進行求解即可求得．【詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，從長方體中任選四個頂點的選法是，以A為頂點的四個面都是直角三角形的三棱錐有：共個．同理以為頂點的也各有個，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個面都是直角三角形的三棱錐有個，所求的概率是故選：C．【點睛】本題主要考查了古典概型問題，解題關鍵是掌握將問題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個頂點問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)，可以求出的值，利用二項分布的方差公式直接求出的值.【詳解】解:，解得，，故選B.【點睛】本題考查了二項分布的方差公式，考查了數(shù)學運算能力.7、D【解析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數(shù)，為扇形的半徑），可計算出扇形的面積.【詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.【點睛】本題考查扇形面積的計算，意在考查扇形公式的理解與應用，考查計算能力，屬于基礎題.8、A【解析】由，得，故選A．9、A【解析】

分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再判斷象限．【詳解】，在復平面內(nèi)對應的點為（），所以位于第一象限．故選A．【點睛】本題考查復數(shù)的基本運算及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.10、B【解析】

由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】由題意知本題需要分組解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：B．【點睛】分類要做到不重不漏，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務．11、C【解析】試題分析：依題意有，故系數(shù)為.考點：二項式．12、B【解析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題，還需考慮和兩種特殊情況.【詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點)，，，當且時，與等腰中，為公共邊，，,.當時，,當時，,綜上，。C.D選項比較與的大小關系，如圖即比較與的大小關系，根據(jù)特殊值驗證：又當時，,當時，，都不正確.故選B.【點睛】本題考查了二面角的相關知識，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點是在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)隨機變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列性質(zhì)、期望、方差以及方差的性質(zhì)，考查計算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

解：過點（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=215、【解析】

根據(jù)微積分基本定理計算即可【詳解】（x2+2x+1）dx．故答案為：．【點睛】本題主要考查了微積分基本定理，關鍵是找到原函數(shù)，屬于基礎題．16、648【解析】

首先考慮百位不為，得到百位的情況數(shù)，再利用排列得到十位與個位的情況數(shù)，通過分步計數(shù)原理，得到答案.【詳解】因為百位不能為，所以百位共有種情況，再在剩下的個數(shù)中，任選個安排在十位與個位，有種情況，根據(jù)分步計數(shù)原理可得，符合要求的三位數(shù)有個.故答案為：.【點睛】本題考查排列的應用，分步計數(shù)原理，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）．【解析】分析：（1）取的中點，連接，得，由線面平行的判定定理得平面，連接交與點,連接，得，進而得平面，再由面面平行的判定，得平面平面，進而得到平面．（2）建立空間直角坐標系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．詳解：（1）證明：取的中點，連接∵為的中點，∴∴平面．……2分連接交與點,連接∵為的中點，∴∴平面……4分∵∴平面平面又平面∴平面．…………6分（2）如圖，建立空間直角坐標系則∴………7分設平面的法向量為則，即不放設得……8分設平面的法向量為則，即不放設得……10分則二面角的余弦值為……12分點睛：本題考查了立體幾何中的直線與平面，平面與平面平行的判定及應用，以及二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）；（2）.【解析】

(1)設，可得，解得從而可得結(jié)果；(2)由（1）知，利用為純虛數(shù)可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）設，由于則：解得：（2）由（1）知又為純虛數(shù)，【點睛】本題主要考查的是復數(shù)的分類、復數(shù)的乘法、除法運算，屬于中檔題．解題時一定要注意和以及運算的準確性，否則很容易出現(xiàn)錯誤.19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)及直三棱柱特點可知；利用面面垂直性質(zhì)可得平面，從而證得；利用線面垂直性質(zhì)可知，從而根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)體積橋?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三棱錐體積的求解；根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面，從而可知到平面的距離，利用三棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）在直三棱柱中,四邊形為正方形平面平面，且平面平面，平面平面，又平面平面，平面又平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，，，平面為中點到平面的距離：【點睛】本題考查立體幾何中線線垂直關系的證明、三棱錐體積的求解，涉及到線面垂直判定定理和性質(zhì)定理、面面垂直性質(zhì)定理的應用.求解三棱錐體積的關鍵是能夠通過體積橋的方式將所求三棱錐轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解.20、（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性.（2）設，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，得到，再設函數(shù)根據(jù)函數(shù)的最值計算的最大值.【詳解】（1）由已知得，令，則由得，由，得所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）若恒成立，即恒成立當時，恒成立，則；當時，為增函數(shù)，由得，故，.當時，取最小值.依題意有，即，，令，則，，所以當，取最大值，故當時，取最大值.綜上，若，則的最大值為.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值，恒成立問題，構造函數(shù)，綜合性大，技巧強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力.21、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)古典概型概率計算公式可求得結(jié)果；（2）分別求出一名顧客摸球中獎元和不中獎的概率；確定所有可能的取值為：，，，，，分別計算每個取值對應的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學期望計算公式求解期望即可.【詳解】（1）記一名顧客摸球中獎元為事件從袋中摸出兩只球共有：種取法；摸出的兩只球均是紅球共有：種取法（2）記一名顧客摸球中獎元為事件，不中獎為事件則：，由題意可知，所有可能的取值為：，，，，則；；；；隨機變量的分布列為：【點睛】本題考查古典概型概率問題求解、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求解，關鍵是能夠根據(jù)通過積事件的概率公式求解出每個隨機變量的取值所對應的概率，從而可得分布列.22、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因為，平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（Ⅱ