力學(xué)量隨時間的演化與對稱性

力學(xué)量隨時間的演化與對稱性第1頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日

由薛定諤方程，

因為?是厄密算符第2頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(3)這就是力學(xué)量平均值隨時間變化的公式。若?不顯含t，即:(4)則有:第3頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日二、守恒量如果?既不顯含時間，?又與?對易則有即這種力學(xué)量在任何態(tài)之下的平均值都不隨時間改變。

(5)在任意態(tài)下，此時A的概率分布也不隨時間改變。

我們稱這樣的力學(xué)量A為運動恒量或守恒量。[?,?]=0同時可以證明：第4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日式中即為守恒量在態(tài)中的概率，證明守恒量F其概率分布不隨時間而變化因為，故具有共同本征函數(shù)系，任意狀態(tài)可表為且概率分布函數(shù)第5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日

其中為時力學(xué)量的概率分布函數(shù)，所以故有所以即守恒量A的測量概率與時間無關(guān)，即概率分布不隨時間而變化。第6頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日概括起來講，對于Hamilton量?不含時的量子體系，如果力學(xué)量?既不顯含時間，又與?對易（[?,?]=0），則無論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），A的平均值及其測量的概率分布均不隨時間改變。所以把A稱為量子體系的一個守恒量。守恒量有兩個特點：(1).在任何態(tài)(t)之下的平均值都不隨時間改變；(2).在任意態(tài)(t)下A的概率分布不隨時間改變。第7頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日與經(jīng)典力學(xué)守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。

一個體系在某時刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初始條件決定。若在初始時刻(t=0)，守恒量A具有確定值，則以后任何時刻它都具有確定值，即體系將保持在?的同一個本征態(tài)。由于守恒量具有此特點，它的量子數(shù)稱為好量子數(shù)。但是，若初始時刻A并不具有確定值（這與經(jīng)典力學(xué)不同），即(0)并非?的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不是?的本征態(tài)，即A也不會具有確定值，但幾率分布仍不隨時間改變，其平均值也不隨時間改變。量子力學(xué)中的守恒量的概念，與經(jīng)典力學(xué)中守恒量概念不同。這實質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。第8頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(b)

量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。

例如，中心力場中的粒子，角動量的三個分量都守恒，但由于三個分量互相不對易，所以一般說來它們并不能同時取確定值（角動量等于零的態(tài)除外）。第9頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日三、舉例1、自由粒子動量守恒自由粒子的哈密頓算符：所以自由粒子的動量是守恒量。第10頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日

所以粒子在中心力場中運動時，角動量平方和角動量分量

2、

粒子在中心力場中運動：角動量守恒又，都是守恒量。第11頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日3、哈密頓不顯含時間的體系能量守恒∵

不顯含t又∵∴∴即

守恒（能量守恒）。第12頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日

即空間反演算符，它的作用是把波函數(shù)中的它是厄米算符，它的本征值只有，即四、宇稱守恒宇稱算符

態(tài)函數(shù)的宇稱:

第13頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日宇稱守恒若體系哈密頓量具有空間反演不變性則即，亦即是一個守恒量，或者說描寫的系統(tǒng)的宇稱是不變的，稱為宇稱守恒定律。1956年以前，人們一直認(rèn)為自然界的各種基本相互作用過程都遵從宇稱守恒，但是，后來楊振寧、李政道和吳健雄證實了在弱相互作用過程中宇稱不守恒，從而使人類對自然界的對稱性有了新的認(rèn)識。

宇稱守恒要求：狀態(tài)波函數(shù)的奇偶性不隨時間變化。第14頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日四、能級簡并與守恒量的關(guān)系定理：設(shè)體系有兩個彼此不對易的守恒量，則：體系能級一般是簡并的。第15頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日證明：第16頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日推論：如果體系有一個守恒量F，而體系的某條能級不簡并（即對應(yīng)于某能量本征值E只有一個本征態(tài)），則必為F的本征態(tài)。證明：第17頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日判斷下列提法的正誤94頁。對于自由粒子，

，證明動量是守恒量。

例題1：例題2：第18頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例題3：4.4教材95頁。第19頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.2守恒量與對稱性德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl,1885-1955）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧ΨQ性.他對上述現(xiàn)象作了如下表述：若某圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對該鏡面是反射對稱或雙向?qū)ΨQ的.若某一圖形圍繞軸作任何轉(zhuǎn)動均能回到自身，則該圖形具有對軸的轉(zhuǎn)動的對稱性.（一）關(guān)于對稱性無論對藝術(shù)還是自然科學(xué)，對稱性都是重要的研究對象.第20頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日20世紀(jì)初，人們認(rèn)識了守恒定律和對稱性的關(guān)系.愛因斯坦在狹義相對論將反映時空對稱性的相對性原理從力學(xué)推廣于全部物理學(xué)，愛因斯坦用對稱性研究引力.20世紀(jì)中，人們還看到規(guī)范對稱性決定著各種相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右不對稱，這意味著有對稱又有不對稱.從上述中已能看到對稱性在現(xiàn)代物理學(xué)中的重要作用同時也看到物理學(xué)中的對稱性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人類的智慧，科學(xué)美與藝術(shù)美也統(tǒng)一起來了.

第21頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日一個力學(xué)系統(tǒng)的對稱性就是它的運動規(guī)律的不變性。在量子力學(xué)中，運動規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓算符

，因此，量子力學(xué)系統(tǒng)的對稱性表現(xiàn)為哈密頓算符

的不變性。

在量子力學(xué)中，我們將看到：能量、動量、角動量的守恒與時空對稱性有密切關(guān)系?？臻g旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒空間反演對稱性與宇稱守恒空間平移不變性與動量守恒第22頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日即：第23頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日這就使體系Hamilton量在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表達(dá)表明和變換

相聯(lián)系，必有一個守恒量。Q注意：

一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以決定一個守恒量算符。

凡滿足該式的變換稱為體系的對稱性變換第24頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日考慮到概率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正變換（算符），即對于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換，令即要求第25頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日F為厄密算符，稱為變換Q的無窮小算符。由于其厄密性，可用它來定義一個與Q變換相聯(lián)系的可觀測量將體系在Q變換下的不變性,應(yīng)用到無窮小變換可導(dǎo)致F就是體系的一個守恒量一個體系若存在一個守恒量，則反映體系有某種對稱性，反之，不一定成立。對于幺正變換對稱性，的確存在相應(yīng)的守恒量第26頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例1.

空間平移不變性與動量守恒考慮沿

方向的無窮小平移，則波函數(shù)的變化為

于是平移變換算符為：

其中：為相應(yīng)的無窮小算符第27頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日對于三維空間的無窮小平移，則有

其中：

即動量算符。如果體系對于平移具有不變性，即則有

根據(jù)力學(xué)量守恒條件可知：動量算符守恒。第28頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例2.

空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒。先考慮一個簡單情況：即體系繞軸旋轉(zhuǎn)無窮小角度

則波函數(shù)的變化為

于是繞z軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為：

其中：

是大家熟知的角動量的z分量算符

第29頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日于是繞軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為:現(xiàn)在來考慮三維空間中的繞某方向（單位矢）的無窮小旋轉(zhuǎn)

則波函數(shù)的變化為

第30頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日其中：是大家熟知的角動量算符。如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，即則有

由力學(xué)量守恒條件可知：角動量守恒。

第31頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（1）全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度。可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子12124.5.1全同粒子和全同性原理4.5全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性（一）全同粒子的交換對稱性第32頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（3）微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運動服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變,即具有交換對稱性。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。第33頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（1）Hamilton算符的對稱性N個全同粒子組成的體系，其Hamilton量為：調(diào)換第i和第j粒子，體系Hamilton量不變。即：表明，N個全同粒子組成的體系的Hamilton量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標(biāo)（qi,qj)后不變。（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)第34頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（2）對稱和反對稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時Shrodinger方程將方程中（qi,qj)調(diào)換，得：由于Hamilton量對于（qi,qj)調(diào)換不變表明：（qi,qj)調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger方程的解。根據(jù)全同性原理：描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。第35頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日再做一次（qi,qj)調(diào)換對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)引入粒子坐標(biāo)交換算符第36頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠(yuǎn)是對稱的；初始時刻是反對稱的，以后時刻永遠(yuǎn)是反對稱的。證方法I設(shè)全同粒子體系波函數(shù)s在t時刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以Hs在t時刻也是對稱的。在t+dt時刻，波函數(shù)變化為對稱對稱二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的依次類推，在以后任何時刻，波函數(shù)都是對稱的。同理可證：t時刻是反對稱的波函數(shù)a，在t以后任何時刻都是反對稱的。（三）波函數(shù)對稱性的不隨時間變化第37頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日方法II全同粒子體系哈密頓量是對稱的結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（或反對稱）態(tài)上。第38頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完 全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。（1）Bose子凡自旋為整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計，故稱為Bose子如：光子（s=1）；介子（s=0）。（四）Fermi子和Bose子（2）Fermi子凡自旋為半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是反對稱的，遵從Fermi統(tǒng)計，故稱為Fermi子。例如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。第39頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自 由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來處理。偶數(shù)個Fermi子組成奇數(shù)個Fermi子組成奇數(shù)個Fermi子組成第40頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成I2個全同粒子Hamilton量II單粒子波函數(shù)4.5.2兩個全同粒子波函數(shù)第41頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日III交換簡并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗證：粒子2在i態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：第42頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日IV滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)僅當(dāng)i=j二態(tài)相同時，才是一個對稱波函數(shù)；當(dāng)ij二態(tài)不同時，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)C為歸一化系數(shù)顯然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函數(shù)，本征值皆為：第43頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日VS

和A的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交歸一化的證：同理：而同理：證畢首先證明第44頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日然后考慮S

和A歸一化則歸一化的S同理對A有：上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時，但是下式仍然成立歸一化的

SA依舊因H的對稱性式2成立第45頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（1）Shrodinger方程的解上述對2個全同粒子的討論可以推廣到N個全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子H0

不顯含時間，則體系單粒子本征方程：4.5.3N個全同粒子體系波函數(shù)第46頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（2）Bose子體系和波函數(shù)對稱化2個Bose子體系，其對稱化波函數(shù)是：1，2粒子在i，j態(tài)中的一種排列N個Bose子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：N個粒子在i，j…k態(tài)中的一種排列歸一化系數(shù)對各種可能排列p求和nk

是單粒子態(tài)k

上的粒子數(shù)第47頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例:N=3Bose子體系,，設(shè)有三個單粒子態(tài)分別記為1、2

、

3

，求：該體系對稱化的波函數(shù)。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0III。n1=2，n2=1，n3=0。另外還有5種可能的狀態(tài)，分別是：第48頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1第49頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日附注：關(guān)于重復(fù)組合問題從m個不同元素中每次取n個元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為：（m可大于、等于或小于n）重復(fù)組合與通常組合不同，其計算公式為：通常組合計算公式：重復(fù)組合計算公式表明：從m個不同元素中每次取n個元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個不同元素中每次取n個元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計算全同Bose子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實質(zhì)上就是一個從3個狀態(tài)中每次取3個狀態(tài)的重復(fù)組合問題。第50頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（3）Fermi子體系和波函數(shù)反對稱化2個Fermi

子體系，其反對稱化波函數(shù)是：行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化推廣到N個Fermi子體系：兩點討論I。行列式展開后，每一項都是單粒子波函數(shù)乘積形式， 因而A是本征方程H

=E

的解.II。交換任意兩個粒子，等價于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)， 由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱 化波函數(shù)。此行列式稱為Slater行列式。第51頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日（1）二Fermi子體系其反對稱化波函數(shù)為：若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于i態(tài)，則寫成Slater行列式兩行相同，行列式為0（2）N

Fermi子體系（三）Pauli原理第52頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日如果N個單粒子態(tài)

i

j……k

中有兩個相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為0，即兩行同態(tài)上述討論表明，NFermi

子體系中，不能有2個或2個以上Fermi子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理。波函數(shù)的反對稱化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì)。第53頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日P95習(xí)題4.2解:

(a)對兩個全同的Boss子，體系波函數(shù)必須滿足交換對稱性。①

當(dāng)兩個粒子處于相同的單態(tài)時，體系波函數(shù)必定交換對稱：可能態(tài)數(shù)目3①

當(dāng)兩個粒子處于不同的單態(tài)時，對稱化的體系波函數(shù)：可能態(tài)數(shù)目所以，兩個全同Boss子總的可能態(tài)數(shù)目6例題4：第54頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(b)對兩個全同的Femi子