回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一1、兩個變量的關(guān)系不相關(guān)相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系線性相關(guān)非線性相關(guān)問題1：現(xiàn)實(shí)生活中兩個變量間的關(guān)系有哪些？相關(guān)關(guān)系：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系。第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？xy施化肥量水稻產(chǎn)量施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455散點(diǎn)圖第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心。第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一1、已知回歸直線斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,則回歸直線方程為（）C練習(xí)：第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一200703262、某考察團(tuán)對全國10個城市進(jìn)行職工人均工資水平x（千元）與居民人均消費(fèi)水平y(tǒng)（千元）統(tǒng)計(jì)調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程y=0.66x+1.562，若某城市居民人均消費(fèi)水平為7.675（千元），估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為…………（）

A．83%B．72% C．67% D．66%A第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一問題2：對于線性相關(guān)的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關(guān)系呢？2、最小二乘估計(jì)最小二乘估計(jì)下的線性回歸方程：第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。問題一：結(jié)合例1得出線性回歸模型及隨機(jī)誤差。并且區(qū)分函數(shù)模型和回歸模型。解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一2.回歸方程：探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可以用線性回歸模型來表示：注：隨機(jī)誤差e包含預(yù)報(bào)體重不能由身高的線性函數(shù)解釋的所有部分。

第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)模型與“回歸模型”的關(guān)系函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x確定回歸模型：預(yù)報(bào)變量y完全由解釋變量x和隨機(jī)誤差e確定第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤差，它是一個不可觀測的量，那么應(yīng)如何研究隨機(jī)誤差呢？

結(jié)合例1除了身高影響體重外的其他因素是不可測量的，不能希望有某種方法獲取隨機(jī)誤差的值以提高預(yù)報(bào)變量的估計(jì)精度，但卻可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量觀測值中所包含的隨機(jī)誤差，這對我們查找樣本數(shù)據(jù)中的錯誤和模型的評價(jià)極為有用，因此在此我們引入殘差概念。第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機(jī)模型的擬合效果？(1)我們可以通過分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷建立模型的擬合效果。第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一殘差圖的制作和作用：制作：坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇.橫軸為編號：可以考察殘差與編號次序之間的關(guān)系，

橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關(guān)系，作用：判斷模型的適用性若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域.第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一下面表格列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點(diǎn)說明：第一個樣本點(diǎn)和第6個樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。注：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系，如何解決？（分析例2）例2

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一選變量

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y。畫散點(diǎn)圖假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型分析和預(yù)測當(dāng)x=28時，y=19.87×28-463.73≈93估計(jì)參數(shù)由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關(guān)指數(shù)R2=0.7464所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。050100150200250300350036912151821242730333639當(dāng)x=28時，y=19.87×28-463.73≈93方法一：一元函數(shù)模型第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一

y=c1

x2+c2

變換y=c1

t+c2

非線性關(guān)系線性關(guān)系問題１選用y=c1x2+c2問題3

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求c1、c2？t=x2方法二，二元函數(shù)模型第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.54當(dāng)x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一產(chǎn)卵數(shù)氣溫

變換y=bx+a

非線性關(guān)系線性關(guān)系對數(shù)方法三：指數(shù)函數(shù)模型第23頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一溫度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325x