動動量矩方程

動動量矩方程第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日§12-1質點和質點系的動量矩§12-2動量矩定理§12-3剛體繞定軸的轉動微分方程§12-4剛體對軸的轉動慣量§12-5質點系相對于質心的動量矩定理§12-6剛體的平面運動微分方程目錄第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日F

dAB

動量矩,矢量，又稱為矢量矩矢方向垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為

質點動量矩質點M的動量對于O點的矩，定義為質點對于O點的動量矩，即面積在國際單位制中，動量矩的單位是kgm2s-1?！?/p>

12-1質點和質點系的動量矩第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日如果以矩心O為坐標原點，建立直角坐標系Oxyz，根據(jù)矢量積的定義，有

質點的動量對固定點的動量矩矢在通過該點的任一固定軸上的投影等于質點的動量對該固定軸的動量矩動量矩的量綱是§

12-1質點和質點系的動量矩第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日質點系動量矩質點系中所有各質點的動量對于固定點O的動量矩矢之和稱之為該質點系對O點的動量矩。投影形式

質點系對某固定點O的動量矩矢在通過該點的軸上的投影等于質點系對該軸的動量矩。

對于平面問題，即質點始終在某平面內運動的情形，動量矩矢總是垂直于該平面，只需把它定義為代數(shù)量，并規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負。

§

12-1質點和質點系的動量矩第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日xxyyzzdBOA質點動量矩定理F

質點對固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質點上的力對同一點的力矩?！?/p>

12-2動量矩定理第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日n個方程的矢量和質系動量矩定理設質點系內有n個質點，作用在第i個質點上的力有內力和外力，按質點的動量矩定理，有i=1，2，…，n質點系動量矩定理:質點系對于某固定點O的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系的外力對同一點的主矩?！?/p>

12-2動量矩定理第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日質系對于x，y，z軸的動量矩等于質系中各質點動量對于x，y，z軸動量矩的代數(shù)和。動量矩定理的投影形式質點系對某定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系上的外力對該軸之矩的代數(shù)和?！?/p>

12-2動量矩定理第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日內力不能改變質系的動量矩，只有作用于質系的外力才能使質系的動量矩發(fā)生變化。在特殊情況下外力系對O點的主矩為零，則質系對O點的動量矩為一常矢量，即常矢量外力系對某軸力矩的代數(shù)和為零，則質系對該軸的動量矩為一常數(shù)。=常量d動量矩守恒§

12-2動量矩定理第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日動量矩守恒§

12-2動量矩定理bmhgkjllllldgfghfh如質點在有心力F作用下的運動，如圖，此時，所以＝常，即的大小和方向不變，即質點動量矩守恒。

①方向不變，即質點在r與mv

組成的平面內運動，且此平面在空間的方位不變；②大小不變，即＝常，得＝常數(shù)，或＝常數(shù)。為矢徑在單位時間內掃過的面積，稱為面積速度。所以在有心力作用下質點的面積速度不變。第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程剛體對轉動軸的動量矩等于剛體對該軸的轉動慣量與角速度的乘積。設剛體在外力作用下繞軸轉動，角速度，角加速度。令z軸與轉軸重合，剛體對z軸的動量矩為

應用質系對z軸的動量矩方程，得：第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日此式稱為剛體繞定軸轉動的微分方程由于約束力對z軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動力的矩（1）外力矩Mz越大，剛體轉動的角加速度也越大。當Mz=0時，角加速度

=0，剛體作勻速轉動或保持靜止。（2）在同樣的外力矩作用下，剛體的轉動慣量Jz越大，角加速度越小。Jz反映了剛體保持其勻速轉動狀態(tài)能力的大小，轉動慣量是剛體轉動時的慣性度量。

§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例12-3已知剛體的質量為m，質心到轉軸O的距離OC=a，剛體繞水平軸O作微幅擺動的周期為T，求剛體相對于轉軸的轉動慣量。解：建立剛體的轉動微分方程式，以擺的平衡位置作為角的起點，逆時針方向為正，作微幅擺動時，，簡化為

微分方程的通解為其中及由運動的初始條件確定，而振動的周期為§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例12-4卷揚機的傳動輪系如圖，設軸I和各自轉動部分對其軸的轉動慣量分別為I1和I2，軸I的齒輪C上受主動力矩M的作用，卷筒提升的重齒輪A、B的節(jié)園半徑為，兩輪角加速度之比。卷筒半徑為R，不計軸承摩擦及繩的質量。求重物的加速度。§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日解：本題二根固定軸必須拆開，分別以兩軸及與其固連的齒輪為研究對象。軸I除受主動力矩M和重力、軸承約束力外，還受有齒輪力Ft及Fn，現(xiàn)假設1與M的方向相同如圖。為使方程正負號簡單，一般約定以的轉向為正，于是軸I的轉動方程為再以軸和重物W為研究對象，畫出其受力圖。按運動學關系畫出2

(1反向)，以2轉向為正，應用質點系的動量矩定理，§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日式中有三個未知量1、2和Ft，還需建立補充方程。由運動學重物上升的加速度聯(lián)立解得§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例12-5均質梁AB長l，重W，由鉸鏈A和繩所支持。若突然剪斷聯(lián)結B點的軟繩，求繩斷前后鉸鏈A的約束力的改變量。解：以梁為研究對象，繩未斷以前是靜力學問題。由靜平衡方程可求出繩未斷時，鉸鏈A的約束力繩斷之后，梁AB將繞A點轉動。繩斷瞬時，

=0。應用轉動方程§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日再應用質心運動定理求約束力。圖示瞬時，質心C的加速度于是，繩斷前后，鉸鏈A約束力的改變量為§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例12-6阿特伍德機的滑輪質量為M，且均勻分布，半徑為r。兩重物系于繩的兩端，質量分別為m1和m2。試求重物的加速度。解：以整體為研究對象，畫受力圖。設滑輪有逆時針方向的轉動，角速度為，則滑輪對軸O的動量矩、兩重物對軸O的動量矩分別為

系統(tǒng)對軸O的動量矩為上述三項動量矩之和，即§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日應用動量矩定理重物的加速度§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例12-7圖中質量m1=5kg，半徑r=30cm的均質圓盤，可繞鉛直軸z轉動，在圓盤中心用鉸鏈D連接質量m2=4kg的均質細桿AB，AB桿長為2r，可繞D轉動。當AB桿在鉛直位置時，圓盤的角速度為，試求桿轉到水平位置碰到銷釘C而相對靜止時，圓盤的角速度。解：以圓盤、桿及軸為研究對象，畫出其受力圖。由受力分析看出，在AB桿由鉛直位置轉至水平位置的整個過程中，作用在質點系上所有外力對z軸之矩為零，即。因此，質點系對z軸的動量矩守恒。例題§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日桿在鉛直位置時，只有圓盤對z軸的動量矩桿在水平位置時，設系統(tǒng)的角速度為1，系統(tǒng)包含圓盤及桿對z軸的動量矩。系統(tǒng)動量矩守恒將有關數(shù)值代入§12-3

剛體繞定軸的轉動微分方程第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

剛體的轉動慣量轉動慣量是描述剛體的質量分布的另一個特征量。剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量，它等于剛體內各質點的質量與其到轉軸的垂直距離平方的乘積之和。轉動慣量與質量大小有關，且與質量的分布有關?！?2-4剛體對軸的轉動慣量若剛體的質量是連續(xù)分布的，剛體的轉動慣量公式轉動慣量的量綱是在國際單位制中，它的單位為千克·米2（㎏·m2）第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

剛體對z軸的轉動慣量也可用另一形式來表示。設剛體的總質量為M，則rz稱為剛體對軸的回轉半徑或慣性半徑§12-4剛體對軸的轉動慣量回轉半徑的物理意義為：

若將物體的質量集中在以為半徑、為對稱軸的細圓環(huán)上，則轉動慣量不變。

第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日等截面的均質細長桿

桿AB長為l，質量為m，該桿對于：1）通過質心O且與桿垂直的y軸的轉動慣量；2）與y軸相平行的y軸的轉動慣量。解：設坐標系Oxy的x軸沿著桿的軸線。該桿線密度（單位長度的質量）=m/l，則單元體dx的質量dm=dx，于是

§12-4剛體對軸的轉動慣量簡單形狀的均質剛體轉動慣量的計算

第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日2.圓板對其直徑軸的轉動慣量圖中厚度相等的均質薄圓板的半徑為R，質量為m.解：首先，將圓板分成無數(shù)同心的單元圓環(huán)，則單元圓環(huán)的質量單元圓環(huán)對于中心的轉動慣量是r2dm

§12-4剛體對軸的轉動慣量第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

轉動慣量的平行軸定理轉動慣量的平行軸定理：剛體對任一軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與此兩軸間距離平方的乘積。即分別以O、C兩點為原點，建立直角坐標系，則§12-4剛體對軸的轉動慣量第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日注意到Cxy的坐標原點與質心C重合通過質心軸的轉動慣量最小§12-4剛體對軸的轉動慣量第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

當物體由幾個簡單幾何形狀的物體組成時，計算整體的轉動慣量時，可先分別計算每一簡單幾何形體對同一軸的轉動慣量，然后求和即可。如果物體有空心部分，可把這部分的質量視為負值來處理?！?2-4剛體對軸的轉動慣量第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日應用平行軸定理，有解：擺對于水平軸的轉動慣量即細長桿的轉動慣量和圓盤的轉動慣量例

鐘擺簡化模型如圖。已知均質細桿和均質圓盤的質量分別為M1和M2，桿長為l，圓盤直徑為d，求擺對于通過懸掛點O的水平軸的轉動慣量IO

§12-4剛體對軸的轉動慣量第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日§12-4剛體對軸的轉動慣量第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日§

12.5

質點系相對于質心的動量矩定理質系對于固定點O的動量矩與相對于質心C的動量矩之間的關系質系對于固定點O的矩為建立以質心C為原點的平移坐標系，有第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日代入質點系對固定點的動量矩定理得

質點系相對于隨質心平移坐標系的相對動量矩對時間的一階導數(shù)，等于質點系的外力對質心之矩的矢量和。這就是相對于質心的動量矩定理

§

12.5

質點系相對于質心的動量矩定理第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日質系在相對動坐標系的運動中對質心的動量矩與在絕對運動中對質心的動量矩之間的關系建立以質心C為原點的平移坐標系，有質系在絕對運動中對質心的動量矩，等于質系在相對質心平動系的運動中對質心的動量矩。§

12.5

質點系相對于質心的動量矩定理第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日質系相對質心的動量矩定理：

在相對隨質心平動坐標系的運動中，質系對質心的動量矩對于時間的一階導數(shù)，等于外力系對質心的主矩?！?/p>

12.5

質點系相對于質心的動量矩定理第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日如將質系的運動分解為跟隨質心的平動和相對質心的運動，則可分別用質心運動定理和相對質心動量矩定理來建立這兩種運動與外力系的關系。質系相對質心的運動只與外力系對質心的主矩有關，而與內力無關。當外力系相對質心的主矩為零時，質系相對質心的動量矩守恒。討論§

12.5

質點系相對于質心的動量矩定理第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日§

12.6

剛體平面運動微分方程剛體的平面運動:分解為跟隨質心的平動和相對質心的轉動。剛體在相對運動中對質心的動量矩應用質心運動定理和相對質心動量矩定理得剛體平面運動微分方程第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例

圖中均質輪的圓筒上纏一繩索，并作用一水平方向的力200N，輪和圓筒的總質量為50kg，對其質心的回轉半徑為70mm。已知輪與水平面間的靜、動摩擦系數(shù)分別為f=0.20和f=0.15，求輪心O的加速度和輪的角加速度。解：假設輪子作純滾動，受力圖中F為靜滑動摩擦力，，輪心的加速度為a，角加速度為。由于滾動而不滑動，有，即。建立圓輪的平面運動方程，得§

12.6

剛體平面運動微分方程第38頁，共4