文檔1：排序不等式

排序不等式設(shè)有兩組數(shù)，滿，則有（順序和）（亂序和）（逆序和）其中是的一個排列，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立.證明先證左端設(shè)亂序和為,要最大,我們證明必須配,配,,配,設(shè)配,配某個,則有這是因?yàn)橥砜勺C必配，必配，，必配，所以再證右端又，由以上證明結(jié)論(亂同)可得，于是有當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號成立.證畢.2，切比雪夫不等式：若，， 則 證明：由題設(shè)和排序不等式，有=， ， …… 將上述n個不等式疊加后，兩邊同除以n2，即得欲證的不等式.I．排序不等式的應(yīng)用 應(yīng)用排序不等式可以簡捷地證明一類不等式，請看下述例題. 例1：對，比較的大小. 【思路分析】要應(yīng)用“排序不等式”，必須取兩組便于排序的數(shù)，這要從兩式的結(jié)構(gòu)上去分析. 【略解】取兩組數(shù) 不管的大小順序如何，，故 . 【評述】找出適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)是解此類題目的關(guān)鍵. 例2：，求證 【思路分析】應(yīng)先將、、三個不失一般性地規(guī)定為 【略解】由于不等式關(guān)于、、對稱，可設(shè) 于是. 由排序不等式，得（亂序和）.及 以上兩個同向不等式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組 ，仿上可證第二個不等式，請讀者自己完成. 【評述】應(yīng)用排序不等式的技巧在于構(gòu)造兩個數(shù)組，而數(shù)組的構(gòu)造應(yīng)從需要入手來設(shè)計(jì).這一點(diǎn)應(yīng)從所要證的式子的結(jié)構(gòu)觀察分析，再給出適當(dāng)?shù)臄?shù)組. 例3：在△ABC中，試證： 【思路分析】可構(gòu)造△ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來證明之. 【詳解】不妨設(shè)，于是由排序不等式，得 相加，得， 得① 又由有 得② 由①、②得原不等式成立. 【評述】此題后半部分應(yīng)用了不等式的性質(zhì)來證明. 例4：設(shè)是互不相同的自然數(shù)，試證 【思路分析】應(yīng)先構(gòu)造兩個由小到大的排序. 【略解】將按由小到大的順序排成其中是1，2，…，n的一個排列，則于是由排序不等式，得 例5：設(shè)是正數(shù)的一個排列，求證 【思路分析】應(yīng)注意到 【略證】不妨設(shè)，因?yàn)槎即笥?.所以有， 又的任意一個排列，于是得到 【評述】此題比較簡單，但頗具啟發(fā)意義，讀者應(yīng)耐心體會. 例6：設(shè)正數(shù)的乘積，試證： 【略解】設(shè)，這里都是正數(shù)，則原需證明的不等式化為中最多只有一個非負(fù)數(shù).若中恰有一個非正數(shù)，則此時(shí)結(jié)論顯然成立.若均為正數(shù)，則是某三角形的三邊長.容易驗(yàn)證 故得 【評述】利用上述換元的方法可解決同類的問題.見下題：設(shè)正數(shù)、、的乘積證明 證明：設(shè)，且所需證明的不等式可化為，現(xiàn)不妨設(shè)，則 ，據(jù)排序不等式 得 及 兩式相加并化簡可得 例7：設(shè)實(shí)數(shù)是的一個置換，證明： 【略解】顯然所需證不等式等價(jià)于這由排序不等式可直接得到. 【評述】應(yīng)用此例的證法可立證下題： 設(shè)是兩兩互異的正整數(shù)（，證明對任意正整數(shù)，均有 證明：設(shè)是的一個排列，使，則從條件知對每個，于是由排序不等式可知1、問題：若某網(wǎng)吧的3臺電腦同時(shí)出現(xiàn)了故障，對其維修分別需要45min，25min和30min，每臺電腦耽誤1min，網(wǎng)吧就會損失元。在只能逐臺維修的條件下，按怎么樣的順序維修，才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最??？5個人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要的時(shí)間分別是4分鐘，8分鐘，6分鐘，10分鐘，5分鐘。那么如何安排這5個人接水的順序，才能使他們等待的總時(shí)間最少？例4：設(shè)是互不相同的自然數(shù)，試證 【思路分析】應(yīng)先構(gòu)造兩個由小到大的排序. 【略解】將按由小到大的順序排成其中是1，2，…，n的一個排列，則于是由排序不等式，得 例5：設(shè)是正數(shù)的一個排列，求證 【思路分析】應(yīng)注意到 【略證】不妨設(shè)，因?yàn)槎即笥?.所以有， 又的任意一個排列，于是得到 【評述】此題比較簡單，但頗具啟發(fā)意義，讀者應(yīng)耐心體會.例6：設(shè)正數(shù)的乘積，試證： 【略解】設(shè)，這里都是正數(shù)，則原需證明的不等式化為中最多只有一個非負(fù)數(shù).若中恰有一個非正數(shù)，則此時(shí)結(jié)論顯然成立.若均為正數(shù)，則是某三角形的三邊長.容易驗(yàn)證 故得 【評述】利用上述換元的方法可解決同類的問題.見下題：設(shè)正數(shù)、、的乘積證明 證明：設(shè)，且所需證明的不等式可化為，現(xiàn)不妨設(shè)，則 ，據(jù)排序不等式 得 及 兩式相加并化簡可得 例7：設(shè)實(shí)數(shù)是的一個置換，證明： 【略解】顯