多年高考試題分類匯總13-第三章-數(shù)-列

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第三章數(shù)列

?考點(diǎn)闡釋

數(shù)列是高中代數(shù)的重點(diǎn)之一，也是高考的考查重點(diǎn)，在近十年高考試題中有較大的比重.這些試題不僅

考查數(shù)列，等差數(shù)列和等比數(shù)列，數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法，以及數(shù)學(xué)歸納法這

-基本方法，而且可以有效地測試邏輯推理能力、運(yùn)算能力，以及運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)和方法，分析問題和解

決問題的能力.

茂點(diǎn)掌握的是等差、等比數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

?試題類編

一、選擇題

1.（2003京春文，6）在等差數(shù)列｛〃“｝中，已知01+42+〃3+〃4+。5=20,那么的等于（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2002上海春,16）設(shè)｛an｝（neN*）是等差數(shù)列，S〃是其前篦項(xiàng)的和,且S5Vs6,S6=57>58,則

下列結(jié)論另誤的是（）

A/V0B.G7=0

C.S9>S5D$6與S7均為s”的最大值

3.（2002京皖春，11）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所

有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有（）

A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)

4.（2001京皖蒙春，12）根據(jù)后場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的〃個(gè)月內(nèi)累積的需求量

S"（萬件）近似地滿足5.=^-（21n—n2—5）（n=l>2,....,12）.

按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是（）

A.5月、6月B.6月、7月

C.7月、8月D.8月、9月

5.（2001全國理，3）設(shè)數(shù)列｛%｝是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)

是（）

A.lB.2C.4D.6

6.（2001上海春，16）若數(shù)列｛?！埃?項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意"CN"都成立，則下列數(shù)列中可

取遍｛%｝前8項(xiàng)值的數(shù)列為（）

A.｛a2k+1｝B.｛gt+1｝C.{a4k+l}D.{a6"l}

7.（2001天津理,2）設(shè)&是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,且S"=〃2,則｛%｝是（）

A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

8.（2000京皖春，13）已知等差數(shù)列｛%｝滿足為+念+。3+…+?。1=0，則有（）

A.〃［+〃］（）］>0B.+QIOOVO

C.〃3+〃99=0D.451=51

9.（1998全國文，15）等比數(shù)列｛斯｝的公比為一!，前”項(xiàng)和5“滿足limS“=1"，那么田的值為（）

2…a.

A.±VsV6

B±C.±V2D.±—

12

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10.（1998全國理，15）在等比數(shù)列｛斯｝中，?1>1,且前“項(xiàng)和S“滿足limS“—,那么ci］的取

“T8

值范圍是（）

A.(1,+8)B.(1,4)C.(1,2)D.(1,V2)

11.(1997上海文，6)設(shè)/(〃)=1+工+^+…+——(nFN),那么/(〃+1)一

233/2-1

f(n)等于()

111

A.------B.---1-------

3〃+23九3〃+1

11111

C.-------1-------D.----1--------1-------

3〃+13〃+23〃3〃+13n+2

-^—4--^—4--^—+???+—(/?eN),那么

12.(1997上海理，6)設(shè)/(n)

n+1n+2〃+3In

f(〃+l)-f(〃)等于()

1

A.------B.------

2H+12〃+2

C.------+-------D.---------------

2〃+12〃+22n+12〃+2

S31

13.（1996全國理，10）等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)0=一1,前幾項(xiàng)和為S“，若3=—,則limS〃等

S532…

于（）

22

A.-B.--C.2D.-2

33

14.（1994全國理，12）等差數(shù)列｛斯｝的前加項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3加項(xiàng)和為（）

A.130B.170C.210D.260

6（1995全國，12）等差數(shù)列｛%｝,｛兒｝的前"項(xiàng)和分別為5“與用若'=」一,則lim/

00

Tn3n+1“fb

等于

逅24

Bc-D

A.339-

*16.（1994全國理，15）某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)

分裂二個(gè)）經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由I個(gè)可以繁殖成（）

A.511個(gè)B.512個(gè)C.1023個(gè)D.1024個(gè)

2

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17.（1994上海，20）某個(gè)命題與自然數(shù)”有關(guān)，若n=k（JteN）時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)"=k+l

時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)"=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得（）

A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立

C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立

二、填空題

*18.（2003京春理14,文15）在某報(bào)《自測健康狀況》的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi).

年齡（歲）303S404SSOS56065

收縮壓（水銀柱毫米）11011S12012S130135＜一)14S

舒張壓（水銀柱毫米）707375788083(_)88

19.（2003上海春，12）設(shè)/（x）=——.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式的方法，可求

2X+42

得/（一5）+/（-4）+-??+/■（0）+…4/（5）+f（6）的值為.

20.（2002北京，14）等差數(shù)列｛斯｝中，a,=2,公差不為零，且的，恰好是某等比數(shù)列的前

三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于.

21.（2002上海,5）在二項(xiàng)式（l+3x）"和（2x+5）”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和分別記為4、二（n

是正整數(shù)），則lim-仁'匚=____________.

i3a“一42

22.（2001全國，15）設(shè)｛a,,｝是公比為q的等比數(shù)列，5“是它的前”項(xiàng)和，若｛S“｝是等差數(shù)列，則

q=------

23.（2001上海文,2）設(shè)數(shù)列｛a,,｝的首項(xiàng).=—7,且滿足%+i=%+2（"GN）,則為+a2H--卜57

24.（2001上海,6）設(shè)數(shù)列｛%｝是公比q>0的等比數(shù)列,&是它的前“項(xiàng)和,若limS“=7,則此

M—>00

數(shù)列的首項(xiàng)田的取值范圍是:

25.（2001上海理,2）設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為%=2〃-7（”6N*）,則。1+叫+…+1。？=.

〃+3

米26.（2001上海春，7）計(jì)算lim（——）〃=____.

“TOO幾+]

27.（2000上海春，7）若數(shù)列3“｝的通項(xiàng)為一--（〃eN*）,貝Ijlim（m+〃2為）=___.

“（4+1）

28.（2000全國，15）設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（〃+1）即+12-〃%2+斯+自=0（“=],2,3,???）,

則它的通項(xiàng)公式是斯=.

29.（2000上海，12）在等差數(shù)列｛4”｝中,若“10=0,則有等式°1+。2+-斯=。1+。2+Fdl9-n（"V

19,“GN）成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛勿｝中，若為=1,則有等式成立.

米30.（2000上海，4）計(jì)算lim（-----）〃=_____.

“TOO〃+2

31.（1999上海，10）在等差數(shù)列｛斯｝中，滿足3a4=7劭，且。]>0,&是數(shù)列｛斯｝前〃項(xiàng)的和，若&取

3

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得最大值，則"=.

32.（1998上海文、理，10）在數(shù)列｛斯｝和｛b?｝中，。尸2,且對(duì)任意自然數(shù)〃，3am一%=0,一是

斯與斯+1的等差中項(xiàng)，貝IJ｛勿｝的各項(xiàng)和是.

4/?"

33.（1997上海）設(shè)0<a<b,則lim---

*34.（1997上海）lim（l---）.

?-><?〃

35.（1995上海）若lim[1+（r+1）"]=1,則r的取值范圍是.

/!-><?

米36.（1995上海）lim（1+-）w-2=.

-1

37.（1995上海，12）已知logjr=-----,那么x+f+x、….

log23

*38.（1995上海理，11）1992年底世界人口達(dá)54.8億，若人口的年平均增長率為x%,2000年底世界

人口數(shù)為丫（億），那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是.

三、解答題

39.（2003京春，21）如圖3—1,在邊長為/的等邊△48C中，圓。i為AABC大

的內(nèi)切圓，圓。2與圓01外切，且與A8,BC相切，…，圓0“+|與圓0“外切，且

與A8、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓O,的面積為斯（"GN*）.匕~\

（I）證明｛恁｝是等比數(shù)列；/9\

（II）求lim（。|+。2+…+即）的值.J

〃TOO

圖q—1

*40.（2003上海春，22）在一次人才招聘會(huì)上，有A、8兩家公司分別開出它1

們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司

允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初被A、B兩家

公司同時(shí)錄取，試問：

（1）若該人分別在4公司或B公司連續(xù)工作八年，則他在第"年的月工資收入分別是多少？

（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其他因素）,

該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？

（3）在A公司工作比在8公司工作的月工資收入最多可以多多少元？（精確到1元）并說明理由.

*41.（2002上海春，21）某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給"位職工,獎(jiǎng)金分配方

b

案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小.由1至”排序，第1位職工得獎(jiǎng)金一元,

a

然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工.并將最后剩余部分作為公司發(fā)展

基金.

（I）設(shè)爆（1WAW"）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求42、的，并用h"和匕表示以；（不必證明）

（II）證明圖+i（k=l,2,…，1）,并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；

（III）發(fā)展基金與〃和b有關(guān)，記為尸“（b）.對(duì)常數(shù)b,當(dāng)"變化時(shí)，求limp.（b）.

M—>00

42.（2002北京春，21）已知點(diǎn)的序列（為,0）,〃￡N,其中，xj=O,x2=a（a>0）,4是線段A1左

4

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的中點(diǎn)，4是線段42A3的中點(diǎn)，…，A"是線段A,L2A,LI的中點(diǎn)，...

(I)寫出法與x“-i、x”-2之間的關(guān)系式(43)；

(II)設(shè)%=x“+|—x”計(jì)算刃，a2,。3，由此推測數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，并加以證明；

(III)(理)求limx,,.

*43.(2002全國文，18)甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng).甲第1分鐘走2m,以

后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.

(I)甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后兒分鐘相遇？

(II)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,

那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？

*44.(2002全國理，20)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保

有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每

年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

45.(2002全國理，21)設(shè)數(shù)列｛恁｝滿足即+i=%2—〃％+1,〃=1,2,3,…，

(I)當(dāng)勾=2時(shí)，求例，“3，”4，并由此猜想出小的一個(gè)通項(xiàng)公式；

(II)當(dāng)藥與3時(shí)，證明對(duì)所有的”21,有

(i)即2〃+2；

1+。］1+1+2

46.(2002北京，19)數(shù)列｛xn｝山下列條件確定：X］=a>0,x?+i=—(xn+—),

2

"GN*.

(I)證明：對(duì)"N2,總有為,》〃'；

(II)證明：對(duì)〃22,總有超2%+1；

(III)(理)若數(shù)列｛g｝的極限存在，且大于零，求lim與的值.

47.(2002江蘇，18)設(shè)｛a?｝為等差數(shù)列,｛b?｝為等比數(shù)列，勾=6=1,%+。4=①，b2b4=a3.分

別求出｛a?｝及｛b?］的前10項(xiàng)的和5K)及Tin

48.(2002上海，21)已知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)A(4,')和8(5,1)

4

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)記〃“=log2f(〃)，〃是正整數(shù)，S,是數(shù)列｛"”｝的前”項(xiàng)和，解關(guān)于”的不等式a,￡W0；

(III)(文)對(duì)于(II)中的即與S,，整數(shù)96是否為數(shù)列｛即S“｝中的項(xiàng)?若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù);

若不是，則說明理由.

*49.(2002北京，20)在研究并行計(jì)算的基本算法時(shí)，有以下簡單模型問題：用計(jì)算機(jī)求〃個(gè)不同的

數(shù)0，也，…，力的和Z匕=也+藝+為+…+%.計(jì)算開始前，〃個(gè)數(shù)存貯在“臺(tái)由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，

/=1

每臺(tái)機(jī)器存一個(gè)數(shù).計(jì)算開始后，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，每臺(tái)機(jī)器至多到一臺(tái)其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原

有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺(tái)機(jī)器可同時(shí)完成上述工作.

為了用盡可能少的單位時(shí)間，使各臺(tái)機(jī)器都得到這〃個(gè)數(shù)的和，需要設(shè)計(jì)一種讀和加的方法.比如w=

5

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2^~?個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算，方法可用下表表示:

機(jī)初第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間

器始

被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果

號(hào)時(shí)

1V12V1+V2

Vi+V2V21V2+Vj

（I）當(dāng)〃=4時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算?

把你設(shè)計(jì)的方法填入下表

機(jī)初第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間

器始

被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果

號(hào)時(shí)

1V1

2也

3V3

4V.I

（H）當(dāng)”=128時(shí)，要使所有機(jī)器都得到f匕，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？（結(jié)論不要

/=1

求證明）

50.（2002天津理,22）已知｛a,,）是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足供=0,也=3,

（即-1+2）（斯-2+2）,n—3,4,5,….

（I）求的;

（II）證明a?—a?-2+2,"=3,4,5,…；

（III）求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前”項(xiàng)和S“.

51.（2001全國春季北京、安徽，20）在1與2之間插入〃個(gè)正數(shù)四，內(nèi)，內(nèi)……，an,使這"+2個(gè)

數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入〃個(gè)正數(shù)仇，岳，①，……，兒，使這

n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記4=〃閨2a3...a“,8”=匕|+仇+/?3+....+/??.

（I）求數(shù)列｛A“｝和｛&｝的通項(xiàng)；

（II）當(dāng)”27時(shí)，比較4與8“的大小，并證明你的結(jié)論.

*52.（2001全國理，21）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展

旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為

5

400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游'也的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加

4

（I）設(shè)"年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為為萬元，旅游業(yè)總收入為為萬元.寫出斯，兒的表達(dá)式;

（II）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

*53.（2001上海，22）對(duì)任意函數(shù)f（x）,xWO,可按圖示3—2構(gòu)造-?個(gè)數(shù)列發(fā)生

器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)沏6。，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出xi=f（xo）;

②若兩必￡>,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若?2。，則將占反饋回輸入端,再輸出x2=f

（%,）,并依此規(guī)律繼續(xù)下去.

6

圖3—2

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4r—2

現(xiàn)定義/(X)=------.

X+1

49

(I)若輸入Xo=——，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列｛x,J.請(qǐng)寫出數(shù)列｛x,J的所有項(xiàng);

65

(II)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)X0的值；

(HI)(理)若輸入與時(shí)，產(chǎn)生的無窮數(shù)列｛為｝滿足：對(duì)任意正整數(shù)”，均有x“<x“+i，求Xo的取值范

圍.

54.(2001上海春，22)已知｛““｝是首項(xiàng)為2,公比為;的等比數(shù)列S為它的前"項(xiàng)和.

(1)用S”表不5,i+i；

S-c

(2)是否存在自然數(shù)c和k,使得上一>2成立.

S卜一c

55.(2001全國文，17)已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為°,4,3a,前“項(xiàng)和為S”5^2550.

(1)求a及我的值；

(2)求limT-+J-+…+一).

邑5”

工(幻”

56.(2000京皖春理,24)已知函數(shù)/(x)=<

力⑴心

其中八(x)=-2(X-；)2+1>h(x)=~2x+2.

(1)在圖3—3坐標(biāo)系上畫出廠T(x)的圖象；

(H)設(shè)y=fi(x)(xGL—,1])的反函數(shù)為y=g(x),伯=1,a2=g(at),???,a?=g(a,,-,)；求

數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式，并求lima,,；

(III)若X()e[0,g),X1=/(Xo),/(X|)=Xo，求x().

57.(2000京皖春文，22)已知等差數(shù)列｛為｝的公差和等比數(shù)列｛兒｝的公比相等，且都等于d(d

>0,d#l).若。產(chǎn)仇,。3=3,,。5=5,，求a”，b?.

58.(2000全國理，20)(I)已知數(shù)列｛金。其中cn=2"+3",且數(shù)列｛c“+LpcJ為等比數(shù)列,求

常數(shù)P；

(II)設(shè)｛%｝、｛兒｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，c,=a“+b“,證明數(shù)列｛以｝不是等比數(shù)列.

59.(2000全國文，18)設(shè)｛a,,｝為等差數(shù)列，S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知S?=7,Sis=75,T?

7

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s

為數(shù)列｛J｝的前〃項(xiàng)和，求7“.

n

60.(2000上海,21)在XOY平面上有一點(diǎn)列Pi(aP-),P2(敢，歷)，…，尸“(%，-)，…，對(duì)

每個(gè)自然數(shù)〃，點(diǎn)尸,位于函數(shù)產(chǎn)2000(p)x(0<?<10)的圖象上，且點(diǎn)尸“、點(diǎn)(〃,0)與點(diǎn)(n+1,

0)構(gòu)成一個(gè)以P”為頂點(diǎn)的等腰三角形.

(I)求點(diǎn)P”的縱坐標(biāo)勿的表達(dá)式；

(II)若對(duì)每個(gè)自然數(shù)〃，以%%+1,勿+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求。的取值范圍；

(III)(理)設(shè)&=仇,b2-b?(〃GN).若a取(II)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛B?｝的

最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

(文)設(shè)c“=lg(乩)("GN).若a取(H)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛c,J前多少項(xiàng)的和

最大?試說明理由.

61.(2000上海春，20)已知｛斯｝是等差數(shù)列，.=-393,&+的=-768,｛b?)是公比為q(0<q

<1)的無窮等比數(shù)列，濟(jì)=2,且｛乩｝的各項(xiàng)和為20.

(I)寫出｛an｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

(II)試求滿足不等式3必--------亞W-160^2的正整數(shù)m.

m+1

62.(2000廣東，18)設(shè)｛%｝為等比數(shù)列,T^=nax+(n-1)a2+-+2anl+all,已知6尸1,T2=4.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)和公比：

(2)求數(shù)列｛7“｝的通項(xiàng)公式.

63.(1999全國理，23)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)“WyW”+l("=0,1,2,…)

時(shí)，該圖象是斜率為/的線段(其中正常數(shù)b產(chǎn)1),該數(shù)列｛法｝由/(法)=〃("=1,2,-??)定義.

(I)求兩、X2和X”的表達(dá)式；

(II)求/(X)的表達(dá)式，并寫出其定義域；

(III)證明：)可(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).

64.(1999全國文,20)數(shù)列｛斯｝的前。項(xiàng)和記為S”.已知斯=5&-3(〃GN).求lim(內(nèi)+的+…

n—>oo

+。2叱1)的值.

65.(1999上海，18)設(shè)正數(shù)數(shù)列｛〃〃｝為一等比數(shù)列，且a2=4,a4=l6,求

lin?g"e+坨""+2+…+館/“

"f8〃2

66.(1998全國理,25)已知數(shù)列｛>“｝是等差數(shù)列，bt=l,6+岳+…+加=145.

(I)求數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)兒；

(II)設(shè)數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)】.=loga(1+'-)(其中a>0,且aWD,記S,是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.

b“

試比較5"與;log/m的大小，并證明你的結(jié)論.

67.(1998全國文,25)已知數(shù)列｛b,.｝是等差數(shù)列，加=1,bt+b2+-+bw=\OO.

(I)求數(shù)列｛九｝的通項(xiàng)勾；

8

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(II)設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%=lg(1+—),記5〃是數(shù)列｛斯｝的前八項(xiàng)和，試比較5”與一IgA+i的

bn2

大小，并證明你的結(jié)論.

2〃+3

68.(1998上海，22)若A“和扁分別表示數(shù)列｛斯｝和｛兒｝前〃項(xiàng)的和,對(duì)任意正整數(shù)〃,??=———，

2

48“—12A?=13n.

(1)求數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)有拋物線列G，C2,…，C“，…拋物線C“(〃GN*)的對(duì)稱軸平行于y軸，頂點(diǎn)為(%,一),

k+k+???+%

且通過點(diǎn)(0,?2+1),求點(diǎn)?！扒遗c拋物線G,相切的直線斜率為h，求極限lim'一=--------

…a也

(3)設(shè)集合X=｛xk=2a“，〃eN*｝,Y=｛yl)=4乩，〃CN*｝.若等差數(shù)列｛C,J的任一項(xiàng)C“exny,G是X

AY中的最大數(shù)，且一265<Go<T25.求｛C“｝的通項(xiàng)公式.

69.(1997全國理，21)已知數(shù)列｛斯｝｛乩｝都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q,其中p

s

>q,且kL夕#1,設(shè)6產(chǎn)〃〃+b〃，S”為數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)和，求lim——.

…S?_,

70.(1997全國文，21)設(shè)S?是等差數(shù)列｛為｝前n項(xiàng)的和，已知,$3與!$4的等比中項(xiàng)為

34

!S‘」S3與工S4的等差中項(xiàng)為1,求等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)冊(cè).

534

71.(1997上海理，22)設(shè)數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)。產(chǎn)1,前”項(xiàng)和S“滿足關(guān)系式：

3fs〃—(2f+3)Sn-\=3t(t>0>n=2f3,4,…)

(1)求證：數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公比為J(f),作數(shù)列｛瓦,｝,使"=1,bn=fC-)5=2,3,4,???),求數(shù)列｛九｝

%

的通項(xiàng)b?；

(3)求和：仇—一勵(lì)3+勵(lì)4一勵(lì)5…+壇>-道2”一歷跖)+|.

72.(1996全國文，21)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前”項(xiàng)和為S“，若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q.

3

73.(1996上海，24)設(shè)4為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，4=—(即一1)(n￡N*),數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公

2

式為b“=4”+3(n€N).

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若de｛a”a2,w，…，%，…｝C｛.，匕2,生，…，則稱d為數(shù)列ta?｝與｛.｝

的公共項(xiàng)，將數(shù)列｛斯｝｛b,,｝的公共項(xiàng)，按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列證明數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式為或=32向(〃GN*)；

(III)設(shè)數(shù)列｛4｝中第〃項(xiàng)是數(shù)列｛b,J中的第r項(xiàng)，5為數(shù)列｛瓦｝的前r項(xiàng)的和，。，為數(shù)列｛"“｝

T

的前"項(xiàng)和，T?=B+D?,求lim—勺.

r—(a>

9

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74.(1995全國理,25)設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，&是前"項(xiàng)和.

(I)證明：lgS“；gS"+2vigS“+i；

(II)是否存在常數(shù)C>0使得旭(S,C)+lg(S,+2—C)=[(5n+1-c)成立?并證明你的結(jié)論.

2

75.(1994全國文，25)設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為&，若對(duì)于所有的正整數(shù)人都有S,=.

2

證明：｛斯｝是等差數(shù)列.

76.(1994全國理，25)設(shè)｛〃,,｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為5“，并且對(duì)所有自然數(shù)”，“與2

的等差中項(xiàng)等于S,與2的等比中項(xiàng).

(I)寫出數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)；

(II)求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)；

,/A

(III)令。行一“+iT——求lim(6+岳+…+/?“一〃).

aa

匕2\UnUn+17

77.(1994上海,26)已知數(shù)列｛〃〃｝滿足條件：。尸1,a^r(r>0)且｛斯?斯+。是公比為q(q>0)

的等比數(shù)列,設(shè)伍尸。2?-]+〃2〃(”=1，2,…)

(I)求出使不等式。/〃+]+。“+1?！?2>?！?2為+2(幾WN*)成立的鄉(xiāng)的取值范圍；

(II)求bn和lim」-，其中S,產(chǎn)仇+勿+…+與；

"TooC

1Inah

(III)設(shè)=2⑼2-1,q=_,求數(shù)列｛上」1±L｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.

2log2^

答案解析

1.答案：A

10

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解法一：因?yàn)樗篂榈炔顢?shù)列，設(shè)首項(xiàng)為公差為d,由已知有5勾+10占20,

.*.6ZI+2J=4,即內(nèi)甘

解法二：在等差數(shù)列中外+的二色+%二功.

以山〃]+。2+。3+。4+。5=20得-5。3=20,，。3=4.

評(píng)述：本題考查數(shù)列的基本知識(shí)，在解析二中，比較靈活地運(yùn)用了等差數(shù)列中項(xiàng)的關(guān)系.

2.答案：C

解析：由55Vs6得。1+。2+。3+…+〃5<。1+〃2+~+。5+〃6，，。6〉。

又S/Sh.??。]+。2+???+。6=:〃1+〃2+~+。6+。7，???。7=0.

由Sj>S^9得。8<0，而C選項(xiàng)Scj>S^i即。6+〃7+。8+。9>0H1>2(劭+。8)>0.

山題設(shè)〃7=0,。8<0,顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

3.答案：A

解析：設(shè)這個(gè)數(shù)列有〃項(xiàng)

f3-2(

§3=3%+——(1

23(4+d)=34

，

,*,vS3=Sn—S=3〃]+31Td—6d<3卬+3d(/?—2)—146

0n(n-l)」n｛n-V)d

S=a,nH------------da,n--------------=390

H12I12

，”=13

4.答案：c

解析："個(gè)月累積的需求量為s...?.第〃個(gè)月的需求量為

「r

==nn—\r,

anS?—Sn-]—(21〃一，廣一5)-----[21—(n—1)5]

9090

12,、

=—(一"一+15"-9)

30

a?>l.5即滿足條件，，一(-n2+15n-9)>1.5,6<n<9("=1,2,3,…，12),

90

n=1或”=8.

5.答案：B

5,

解析：前三項(xiàng)和為12,.?必+°2+。3=12,."2=」=4

3

?42?43=48,?42=4,..〃]?的=12,”]+的=8,

把。3作為方程的兩根且

，為2—8x+12=0,制=6,以=2,**d\=2,的=6,，選B.

6.答案：B

解析：?.次GN",.?.當(dāng)h=0,1,2,…7時(shí)，利用%+8=%，

數(shù)列｛a*+i｝可以取遍數(shù)列｛冊(cè)｝的前8項(xiàng).

評(píng)述：本題考查了數(shù)列的基本知識(shí)和考生分析問題、解決問題的能力.

7.答案：B

11

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,,6(n=l)[1(〃=1)

解法一：冊(cè)='=a”=《

[S,—S'-(n＞2)(“22)

/.a?=2n—1(?6N)

又an+-afl=2為常數(shù)，—=上」#常數(shù)

an2n-l

??.{”“}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.

解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于〃的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.

評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式時(shí)=5“一S"r的推理

能力.但不要忽略解法一緊扣定義，解法二較為靈活.

8.答案：C

解析：4]+42+43+----Fflioi=0

即---(。3+。99)=0，六。3+499=°?

2

9.答案：D

解析：,

"tb\-q%

.22.V6

.\ar=\-QtzI=—,Aa=±---.

922

10.答案:D

解析：由題意得：-^一=1-且0＜修＜1

l-qax

/.—q=a^~1/.0<1^]2_ll<1

又?伯>1：.\<a\<42,故選D.

評(píng)述：該題主要考查了無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式的應(yīng)用，挖掘了公式成立的條件.

11.答案：D

解析：?:f(〃)=1+----1-----F…-I----------

2331

(〃+l)、=1i+—1+—1+???+----1--+——1+----1---+----1----

233/1-13〃3〃+13〃+2

111

(/?+1)—f(n)=