人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)上冊(cè)第十四章一次函數(shù)1一次函數(shù)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)

一次函數(shù)例1列出下列函數(shù)關(guān)系式，判別其中哪些為一次函數(shù)、正比例函數(shù)．(1)正方形周長(zhǎng)p和一邊的長(zhǎng)a．(2)圓的面積A與半徑R．(3)長(zhǎng)a一定時(shí)矩形面積y與寬x．(4)買15斤梨售價(jià)20元．售價(jià)y與斤數(shù)x．(5)定期存100元本金，月利率％，本息y與所存月數(shù)x．(6)水庫原存水Q立方米，現(xiàn)以每小時(shí)a立方米的流量開閘放水，同時(shí)上游以每小時(shí)b立方米的流量向水庫注水，求這時(shí)水庫的蓄水量M與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．分析：根據(jù)幾何知識(shí)或?qū)嶋H意義列出兩變量之間的關(guān)系式，再由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念進(jìn)行判別．解：(1)∵p=4a．自變量a為一次且其系數(shù)為4(不為零)．∴p為a的一次函數(shù)．又∵不含常數(shù)項(xiàng)所以也是正比例函數(shù)．(2)A=πR2，自變量R的次數(shù)是二次，所以不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)．(3)y=ax，自變量x為一次且系數(shù)a為長(zhǎng)度(不為零)．∴y是x的一次函數(shù)．∵不含常數(shù)項(xiàng)．∴y也是x的正比例函數(shù)．(5)y=100+100×%x，自變量x的次數(shù)為一次，又含有常數(shù)項(xiàng)．∴y是x的一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)．(6)M=Q+(b-a)t，因?yàn)樽宰兞縯的次數(shù)為一次，當(dāng)a≠b時(shí)，M是t的一次函數(shù)．若Q=0時(shí)，M是t的正比例函數(shù)；若a=b時(shí)，M是常量函數(shù)，不是t的一次函數(shù)．說明：在實(shí)際問題中要注意自變量的取值范圍．(1)中正方形邊長(zhǎng)a＞0．(3)中矩形的寬0＜x＜a．(4)中梨的斤數(shù)x≥0．(5)所存月數(shù)x≥0．例2某工廠有煤m噸，每天燒煤n噸．現(xiàn)已知煤燒3天后余102噸，燒煤8天后余煤72噸，問燒煤15天后余煤多少噸？分析：設(shè)燒煤x天后余煤y噸，則可建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=m-nx．又知當(dāng)x=3時(shí)，y=102；x=8時(shí)，y=72．從而組成方程組求出m、n后再代回y=m-nx中，令x=15求出y．解：設(shè)燒煤x天后余煤y噸，則余煤數(shù)與燒煤天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=m-nx由題意知x=3時(shí)y=102，x=8時(shí)y=72，可得從而求出n=6，m=120．所以函數(shù)關(guān)系式是y=120-6x(0＜x≤20)當(dāng)x=15時(shí)，y=120-6×15=30答：燒煤15天后余煤30噸．說明：列方程可以解應(yīng)用題，利用函數(shù)觀點(diǎn)分析實(shí)際問題中條件列函數(shù)關(guān)系式也可以解決實(shí)際問題．例3分析：解答此題，只要依據(jù)正比例函數(shù)的定義，即自變量的系數(shù)不為零，自變量的次數(shù)為1，列出方程和不等式，就可解出m的值．解：設(shè)正比例函數(shù)為y=kx(k≠0)，∵正比例函數(shù)k≠0，x的指數(shù)為1．∴m2+2m≠0，解得m1≠0，m2≠-2，且m2+m-1=1，解得m3=-2，m4=1．∴當(dāng)m=1時(shí)，為正比例函數(shù)．說明：一個(gè)函數(shù)要符合正比例函數(shù)的定義，不能只考慮m2+m-1=1而且要考慮m2+2m≠0，所以m=-2時(shí)雖然能使x的指數(shù)為1，但系數(shù)變?yōu)榱憔筒皇且淮魏瘮?shù)了．例4分析：根據(jù)題意，列出兩個(gè)正比例函數(shù)y1與y2的解析式，然后再將y1、y2代入y與y1和y2的關(guān)系式中，通過解方程組即可求出函數(shù)y1及y2的待定系數(shù)．解：y2=k2x2(k2≠0)解方程組，得當(dāng)x=8時(shí)說明：此例題中，y1和y2表示兩個(gè)不同的正比例函數(shù)，因此x的系數(shù)必須用k1和k2兩個(gè)不同的非零實(shí)數(shù)表示．求k1、k2的值，用的是待定系數(shù)法．例5已知y-3與x成正比例函數(shù)，且x=2時(shí)，y=7．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)求當(dāng)x=2時(shí)y的值．(3)求當(dāng)y=-3時(shí)x的值．分析：y-3與x成正比例函數(shù)；把y-3看成一個(gè)變量，首先就可設(shè)y-3=kx(k≠0)解：(1)∵(y-3)是x的正比例函數(shù)∴設(shè)y-3=kx(k≠0)把x=2時(shí)y=7代入上式得k=2∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+3y是x的一次函數(shù)(2)當(dāng)x=2時(shí)，y=2×2+3=7(3)當(dāng)y=-3時(shí)，-3=2x+3∴x=-3說明：①把y-3當(dāng)作一個(gè)整體變量來看待．②凡是正比例函數(shù)，一律設(shè)成y=kx(k≠0)形式．③已知自變量的值求函數(shù)值，或已知函數(shù)值求自變量的值都只需代入函數(shù)關(guān)系式通過計(jì)算求得．例6已知y+p與x-q成正比例(其中p、q是常數(shù))(1)求證y是x的一次函數(shù)．(2)如果x=-1時(shí)，y=-15；x=7時(shí)，y=1，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式分析：要證明y是x的一次函數(shù)，只需證明y與x的關(guān)系式是y=kx+b的形式，其中k、b為常數(shù)，且k≠0．證明：(1)∵y+p與x-q成正比例，則y+p=k(x-q)(k為非零常數(shù))整理，得y=kx-(kq+p)∵k、p、q均為常數(shù)，∴-(kq+P)也是常數(shù)，且k≠