2022-2023學(xué)年浙江省寧波市寧波十校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝2．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）A． B． C． D．3．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．4．若，則的值為（）A． B． C． D．5．已知直線與圓相交所得的弦長為，則圓的半徑（）A． B．2 C． D．46．要將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分到三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到班的概率為（）A． B． C． D．7．如圖所示，在一個邊長為2.的正方形AOBC內(nèi)，曲和曲線圍成一個葉形圖陰影部分，向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的，則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是（）A． B． C． D．8．在去年的足球甲聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年失球個數(shù)的標準差是0.4，你認為下列說法中正確的個數(shù)有（）①平均來說一隊比二隊防守技術(shù)好；②二隊比一隊防守技術(shù)水平更穩(wěn)定；③一隊防守有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；④二隊很少不失球.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．已知函數(shù)在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．10．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計，如果年該公司的收入為億元時，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元11．三世紀中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．12．某公共汽車上有5名乘客，沿途有4個車站，乘客下車的可能方式（）A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)（，均為正數(shù)），若在上有最小值10，則在上的最大值為__________．14．集合，若，則實數(shù)的值為__________．15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.16．若對任意實數(shù)，都有，則__________。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革，某校啟動了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索,學(xué)校將髙一年級部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué)，乙班實施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過一年的教學(xué)實驗，將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學(xué)生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制）為優(yōu)秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分數(shù)段中,按分層抽樣隨機抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言,記來自[80，90)發(fā)言的人數(shù)為隨機變量x，求x的分布列和期望.18．（12分）某校選擇高一年級三個班進行為期二年的教學(xué)改革試驗，為此需要為這三個班各購買某種設(shè)備1臺.經(jīng)市場調(diào)研，該種設(shè)備有甲乙兩型產(chǎn)品，甲型價格是3000元/臺，乙型價格是2000元/臺，這兩型產(chǎn)品使用壽命都至少是一年，甲型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是，乙型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是.若某班設(shè)備在試驗期內(nèi)使用壽命到期，則需要再購買乙型產(chǎn)品更換.(1)若該校購買甲型2臺，乙型1臺，求試驗期內(nèi)購買該種設(shè)備總費用恰好是10000元的概率；(2)該校有購買該種設(shè)備的兩種方案，方案：購買甲型3臺；方案：購買甲型2臺乙型1臺.若根據(jù)2年試驗期內(nèi)購買該設(shè)備總費用的期望值決定選擇哪種方案，你認為該校應(yīng)該選擇哪種方案？19．（12分）觀察以下等式：13＝1213+23＝（1+2）213+23+33＝（1+2+3）213+23+33+43＝（1+2+3+4）2（1）請用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，求S1．20．（12分）4個不同的紅球和6個不同的白球放入同一個袋中，現(xiàn)從中取出4個球．（1）若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)，則有多少不同的取法？（2）取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取出4個球所得總分不少于5分，則有多少種不同取法．21．（12分）在平面直角坐標系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1-22（1）寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程（2）若直線l與曲線的C兩個交點分別為M,N,直線l與x軸的交點為P,求PM?22．（10分）在數(shù)列中，，，其中實數(shù)．(1)求，并由此歸納出的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由函數(shù)的奇偶性的定義和常見函數(shù)的單調(diào)性，即可得到符合題意的函數(shù)．【詳解】對于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定義域為R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，當x＜0時，由y＝2x，y＝﹣2﹣x遞增，可得在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞增，故A正確；y＝f（x）＝x2+1滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故B不滿足條件；y＝f（x）＝（）|x|滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故C不滿足題意；y為奇函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞減，故D不滿足題意．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

解：根據(jù)題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生2次，由n次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得，故選B．3、C【解析】

由已知求出正方體內(nèi)切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積．【詳解】正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，．故選C．【點睛】本題考查球的體積的求法，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A5、B【解析】

圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：圓心到直線的距離，故，解得.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、B【解析】

根據(jù)題意，先將四人分成三組，再分別分給三個班級即可求得總安排方法；若甲被安排到A班，則分甲單獨一人安排到A班和甲與另外一人一起安排到A班兩種情況討論，即可確定甲被安排到A班的所有情況，即可求解.【詳解】將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分到三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1，1，2；則共有種方法，分配給三個班級的所有方法有種；甲被分到A班，有兩種情況：一，甲單獨一人分到A班，則剩余兩個班級分別為1人和2人，共有種；二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個班級各1人，共有種；綜上可知，甲被分到班的概率為，故選：B.【點睛】本題考查了排列組合問題的綜合應(yīng)用，分組時注意重復(fù)情況的出現(xiàn)，屬于中檔題.7、C【解析】

欲求所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率，須結(jié)合定積分計算葉形圖（陰影部分）平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計算公式求解．【詳解】聯(lián)立得.由圖可知基本事件空間所對應(yīng)的幾何度量，滿足所投的點落在葉形圖內(nèi)部所對應(yīng)的幾何度量：（A）．所以（A）．故選：．【點睛】本題綜合考查了幾何概型及定積分在求面積中的應(yīng)用，考查定積分的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8、D【解析】在（1）中，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，

∴平均說來一隊比二隊防守技術(shù)好，故（1）正確；

在（2）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故（2）正確；

在（3）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，故（3）正確；

在（4）中，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊很少不失球，故（4）正確.故選：D．9、A【解析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進而求得的圖象在處的切線方程.【詳解】，函數(shù)在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)極值點求參數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當時，支出為億元，故選B.11、A【解析】設(shè)圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內(nèi)的概率，故選A.12、D【解析】

5名乘客選4個車站，每個乘客都有4種選法．【詳解】每個乘客都有4種選法，共有種，選D【點睛】每個乘客獨立，且每個乘客都有4種選法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：將函數(shù)變形得到函數(shù)是奇函數(shù)，假設(shè)在處取得最小值，則一定在-m處取得最大值，再根據(jù)函數(shù)值的對稱性得到結(jié)果.詳解：，可知函數(shù)是奇函數(shù)，假設(shè)在處取得最小值，則一定在-m處取得最大值，故在上取得的最大值為故答案為：-4.點睛：這個題目考查了函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點中心對稱，在對稱點處分別取得最大值和最小值；偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，在對稱點處的函數(shù)值相等，中經(jīng)常利用函數(shù)的這些性質(zhì)，求得最值.14、【解析】

根據(jù)并集運算法則計算得到答案.【詳解】集合，若則故答案為：【點睛】本題考查了集合的并集運算，屬于簡單題.15、【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，在上解不等式可得的單調(diào)減區(qū)間．【詳解】，其中，令，則，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，填．【點睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)減函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為減函數(shù)，則．注意求單調(diào)區(qū)間前先確定函數(shù)的定義域．16、6【解析】

將原式變?yōu)?，從而可得展開式的通項，令可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：則展開式通項為：當，即時，本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的形式來進行展開.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析，有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.(2)分布列見解析，【解析】分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)作比較得結(jié)論，（2）先根據(jù)分層抽樣得抽取人數(shù)，再確定隨機變量取法，利用組合數(shù)確定對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.詳解：（1)依題意得有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.（2）從乙班分數(shù)段中抽人數(shù)分別為2、3、2.依題意隨機變量的所有可能取值為點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.18、（1）（2）選擇B方案【解析】【試題分析】（1）由于總費用為10000元，說明試驗期內(nèi)恰好有1臺設(shè)備使用壽命到期，因此可運用獨立事件的概率公式可求得；（2）可將問題轉(zhuǎn)化為兩類進行求解：（1）若選擇方案，記試驗期內(nèi)更換該種設(shè)備臺數(shù)為，總費用為元，則，所以，又，所以；（2）若選擇B方案，記試驗期內(nèi)更換該種設(shè)備臺數(shù)為，總費用元，則，，，，所以，又，所以因為，所以選擇B方案．解：（1）總費用為10000元，說明試驗期內(nèi)恰好有1臺設(shè)備使用壽命到期，概率為：；（2）若選擇方案，記試驗期內(nèi)更換該種設(shè)備臺數(shù)為，總費用為元，則，所以，又，所以；若選擇B方案，記試驗期內(nèi)更換該種設(shè)備臺數(shù)為，總費用元，則，，，，所以，又，所以因為，所以選擇B方案．19、（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明見解析（2）2【解析】

（1）根據(jù)式子猜想出一般性結(jié)論，然后當時，證明成立，假設(shè)時，式子也成立，然后對時的式子進行化簡，從而證明結(jié)論成立；（2）對進行分組求和，然后根據(jù)（1）中所得到的求和公式，進行求和計算，得到答案.【詳解】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明：當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；假設(shè)n＝k時，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，當n＝k+1時，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3，可得n＝k+1時，猜想也成立，綜上可得對任意的正整數(shù)n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；（2）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，S1＝（13+23+…+13）+（1+2+3+…+1）＝（1+2+…+1）2＝552+55＝2．【點睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，數(shù)列分組求和，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)，則有紅、紅白、紅白三種情況，然后利用分類計數(shù)原理可得出答案；（2）若取出的球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況，然后利用分類計數(shù)原理可得出答案.【詳解】（1）若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有紅、紅白、紅白三種情況，其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法.因此，共有種不同的取法；（2）若取出的個球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況.其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法，紅白有種不同的取法.因此，共有種不同的取