2009年全國(guó)入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二真題及答案

1

1

12（22（Ⅰ）

k10，其中k

k10 ，其中k 1

2

0 0 （23（Ⅰ）（Ⅱ）x函數(shù)fx xx fxxx3011

x

lim(1

) ，

x

12，2x0sinxx1sin

x0sinx1x1cosx

22

x1sin

x1cos 當(dāng)x0時(shí)，fxxsinax與gxx2ln1bx等價(jià)無窮小，則 （A）a1,b1 （B）a1,b16（C）a1,b6

（D）a1,b6

x0f(x)xsinaxg(x)x2ln(1bx

xsin

1即limxsinax1（x0ln(1

bxx0x2ln(1

x2lim1acosax1lim(1acosax)0a

1acos

1cos

sin 于是

1bx0 所以本題選設(shè)函數(shù)zfx,y的全微分為dzxdxydy，則點(diǎn)0,0 解析：因dzxdxydy可得zxzy 2z

2z

2z

2zA 0,C 1

又在00ACB210A0故00zf(xy 4fxy連續(xù)，則1dxxfxydy1 4 4

（A）1 4 （C）1dy

（B）1 fx,ydx

fx,yD1(x,y)1x2,xy2,D2(x,y)1y2,yx4y,DD1D2D(xy1y2,1x4 4 故二重積分可以表示為1dy

f(x,y)dx,故答案為C

fxyfx在點(diǎn)1,1x2y22fx 12f(xf''(x0，且在點(diǎn)(1,112 |y''

3

在[12f'(xf'(110f(x對(duì)于f(2)f(1)f'()1 f(2)0而f(11由零點(diǎn)定理知，在[12f(x有零點(diǎn).OO-0-123xFxx

ftdt的圖形為 1-1-0123-

- - 1-01-01231-0123 0F(0)0f(t)dt02xx2F(x)0f(t)dt20dtF(2)F(xx22xxx[10)f(t)1F(x)x

f(t)dt0，故排除A,B2A*B*A,BA2B3 塊矩陣 2B*（A）2 O O O （D） O 解析

AB60矩陣 1B*B B

A

B1

2B*

6

6 A A

O O

1 O故選

設(shè)A，P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且PTAP 0 P(,,)，Q(,,) （A）

（D）

Q

,,)(,,) 0，即QP 0

T T于是QTAQP 0AP 0 0(PTAP)

0 0 0 0

二、填空題：9-14424分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上曲線

在(0,0)處的切線方程 y解析：曲線上點(diǎn)(00)對(duì)應(yīng)t曲線在點(diǎn)(00)

t

y

t

2tln(22tln(2t2)t22t2e(1t2

2因此曲線在點(diǎn)(00)y2x已知ekxdx1，則k 【答案】b解析：ekxdx2ekxdxlim2 b

b 因?yàn)闃O限存在，所以k0（否則極限不存在bekxdxlim2 21k b 1 【答案】

sinnxdx 00In1exsinnxdx1sinnxd(ex(exsinnx1n1excos 00e1sinnn1cosnxd(ex)e1sinnn(excosnx)1n21exsin ne1sinnne1cosnnn2nIn

11

lim0 sinnxdx

1

0yy(xxy【答案】

x1

yxyyey

d2d2

2yxyeyy2eyy

當(dāng)x0時(shí)，y0，y(0)1，代入（**）式 y(0)3函數(shù)yx2x在區(qū)間(0,1]上的最小值 【答案】yx2x2lnx2y0xe1yx2x2lnx22x2x2xxe1y2e2e110xe1yx2xye2e1 (14)設(shè)，為3維列向量，T為的轉(zhuǎn)置，若矩陣T相似于 0 T 【答案】 因?yàn)門相似于 2,0,0矩陣T2，即T2三、解答題：15－2394分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說（15（求極限

sin4 法解析：當(dāng)x0時(shí)，sin x，1cos1lim(1cosx)[xln(1tanx)]lim[

1x22xln(1tan

sin4

1

1tanxcos2x1lim(1tanx)

x11limtanx

x

x2

2x02x(1tanx)cos2

4 tanxcos2xsin2

1(10)4 （16（計(jì)算不定積分ln(1

1x)dx

(x1x解析：令t 得1x

,dx

t2 (t2 原式ln(1t(t21)2dtln(1t(t21)2d

ln(1t)d

1)ln(1t)

1 t2

t2

t2

tln(1t) (t1)(tt2 2(t1)(t ln(1t) t (t

dt (t1)(tln(1t)

dt1(1

1t2 2(t

4t

tln(1t)1

1 ttt2 2ttx

1x) 1 11x11xx1xx1xx1x11x11x

) x(

x)

xCC為任意常數(shù) （17（

2zfxyxyxyf具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與xyzffyfzffxf dzzdxzdy(ffyf)dx(ffxf

2

y(f1f2yf3

（18（yyxx0xyy20yyx過原點(diǎn)時(shí)，x1y0D2Dy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。xyy20yypp1p

f(x,y型的p

(2

dxC1)

1dxC)x(

C12C1x 中C1

y2x1Cx2CCC為任意數(shù)2 yy(x過原點(diǎn)，可得C0.y2xC yy(xx1y0D21 1y(x)dx (Cx2x)dx(Cx3x2

1C12C1 1

1 1 y3x22x(x11V21xy(x)dx21x(3x22x)dx2(311

2

)2(32)17 （19（

計(jì)算二重積分xydxdyDxyx12y122yDxrcosyrsinD0r2(cossin)，3 3

2(cossin)I

(xy)d4

r(cossin

2(cossin

84(cossin)

d 3

(cossin)(cossin8

8

8 4(cossin)3d(cossin) 3 3

(cossin)44

(4)3 （20（22yy(x是區(qū)間(,內(nèi)過點(diǎn)(22

,

的光滑曲線，當(dāng)x0點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)0xy(xyyx0.y(x解析：當(dāng)x0Yy(x)

(Xx)其中X,Y是法線上點(diǎn)的坐標(biāo)由于法線均過原點(diǎn)，故X,Y)(00)y(x)

ydyxdx0d(x2y2x2y222因?yàn)榍€過點(diǎn)(22

,

，代入計(jì)算得C2因此得y (2當(dāng)0xy(xyyx0 y''y0y*Ccosx y1Axbyyx0

sin0Axbx0A1,by1xy''yx0yC1cosxC2sinxx

， 22

2x2 0C1，C2ycosxsinx

2x2

x

y 0x（21（證 日中值定理：若函數(shù)fx在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則abfbfafbafxx0處連續(xù)，在0,0limfxA （Ⅰ）

f(b)fb

(xa)F(x在[ab上連續(xù)，在(abf(b)fF(a)f(a)

b

(aa)f(a)F(b)f(b)

f(b)f(a)(ba)f(a)b根據(jù)羅爾定理，存在(abF(f(fbfafb

f(bf(a)0b

f(x)f.xx(0,)，在[0,x]上 日中值定理得，(0,x)，f(x)f(0)f(xx0時(shí)0f(0)

f(x)f(0)

f()

f(x)A

（22（

設(shè)A 1，1

的.A2的所有向量 （Ⅰ） ) 1 1 011

的特解為(0 故00,1)Tk(112)T或kk2k1)Tk 由于A2 0，對(duì)A2x，由增廣矩陣作初等行變換，

) 1 A2x0的基礎(chǔ)解系為(1,10)T(00,1)T.A2x有特解(100)T 100)Tt(1,10)Tt(00,1)T或1ttt)T，其中tt為任意常數(shù) 11 1（Ⅱ） 1 ,,