差分方程方法與應(yīng)用應(yīng)用舉例

差分方程方法與應(yīng)用應(yīng)用舉例第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一差分方程建模?處理動(dòng)態(tài)的離散型的問題?處理對象雖然涉及的變量(如時(shí)間)是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問題

第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一1市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2銀行復(fù)利問題3抵押貸款買房問題4差分形式的阻滯增長模型5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)6按年齡分組的種群增長7差分基礎(chǔ)知識(shí)第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一1蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一2銀行復(fù)利問題

背景所付利息一年內(nèi)復(fù)合n次，即把一年分n個(gè)相等的時(shí)間段，而所付利息為每一時(shí)間段的未尾.給出一個(gè)可以預(yù)測在任意給定時(shí)間的帳目余額

分析帳目余額與時(shí)間直接相關(guān)，而時(shí)間是離散的本期結(jié)束時(shí)的總存款等于前一時(shí)期余下的本利，及本利得到的利息與第本期內(nèi)新存入的存款之和

任何時(shí)候都可以存款第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一模型假設(shè)1.儲(chǔ)蓄的年利率為

r2.任何時(shí)候都可以存款，但存款利息只從下一時(shí)期開始計(jì)算，如時(shí)間段開始第一天的存款即開始計(jì)算利息

t期結(jié)束時(shí)的總存款

記號(hào)第t期內(nèi)的新存款

第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一模型注：上式中n=2時(shí)，相應(yīng)于半年的復(fù)利，而n=365則是相應(yīng)于逐日計(jì)算的復(fù)利第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一3抵押貸款買房問題

背景每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但又沒有足夠的資金一次買下。這就產(chǎn)生了貸款買房問題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則理想的房產(chǎn)廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價(jià)40.2萬元。若不能一次性付款也沒關(guān)系，只付首期款為15萬元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清。(公積金貸款月利息為3.675‰）。問題公寓原來價(jià)多少？每月等額付款如何算出來？第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)貸款期限內(nèi)利率不變

銀行利息按復(fù)利計(jì)算

記號(hào)A（元）：貸款額（本金）

n（月）：貨款期限r(nóng)

：月利率B(元):月均還款額

Ck：第k個(gè)月還款后的欠款第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一模型求解代入n=180、r=0.003675、B=1977.04結(jié)果：A=260000（元）一次性優(yōu)惠價(jià)9.8折還款總額？利息負(fù)擔(dān)總額？第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一4差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無關(guān))離散形式x(t)~某種群t時(shí)刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點(diǎn)第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點(diǎn)y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點(diǎn)第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一(1)的平衡點(diǎn)x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一01的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性x*穩(wěn)定x*不穩(wěn)定另一平衡點(diǎn)為x=0不穩(wěn)定第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一01/2101的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一初值x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果b<3,xb=3.3,x兩個(gè)極限點(diǎn)b=3.45,x4個(gè)極限點(diǎn)b=3.55,x8個(gè)極限點(diǎn)0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點(diǎn)x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的進(jìn)一步討論出現(xiàn)4個(gè)收斂子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性需研究時(shí)有4個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)2n倍周期收斂,n=1,2,…bn~2n倍周期收斂的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不穩(wěn)定b>3.57,不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一基本模型w(k)~第k天(末)體重c(k)~第k天吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異):因運(yùn)動(dòng),每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(千卡)(因運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目而異)t:每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)),14周即可。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))基本模型第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一6按年齡分組的種群增長不同年齡組的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設(shè)與建模種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2,…,n時(shí)間離散為時(shí)段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…以雌性個(gè)體數(shù)量為對象第i年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi第i年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di,存活率為si=1-di第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)與建模xi(k)~時(shí)段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布向量預(yù)測任意時(shí)段種群按年齡組的分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個(gè)bi>0)第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)L矩陣存在正單特征根1，若L矩陣存在bi,bi+1>0,則P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)決定的常數(shù)且解釋L對角化第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布,與初始分布無關(guān)。~各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，

稱固有增長率與基本模型比較3）=1時(shí)~各年齡組種群數(shù)量不變第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一

~1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析~存活率si是同一時(shí)段的xi+1與xi之比（與si的定義比較）3）=1時(shí)第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一處一階向前差分

7差分基礎(chǔ)知識(shí)一差分

1.概念

（h為非零實(shí)數(shù)稱為步長）處k階向前差分

第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一處一階向后差分

處k階向后差分

處一階中心差分

處k階中心差分

第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一2.性質(zhì)第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一二常微分方程化為差分方程

用導(dǎo)數(shù)近似式替代導(dǎo)數(shù)或者說用適當(dāng)近似式替代含有導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程----差分方程

以二階常微分方程邊值問題為例

目的求差分法第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期一一般k階常系數(shù)線性差分方程為差分方程第46頁，共54頁，2023