常微分方程 微分方程的向量場

常微分方程微分方程的向量場1第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一將這個方向場稱為由微分方程所確定的向量場。就是該曲線上的點(diǎn)處的切線斜率，曲線上點(diǎn)的切線斜率就是。的一條曲線，幾何意義:解就是通過點(diǎn)解曲線在區(qū)域中任意點(diǎn)的切線斜率是。如果我們在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都畫上一個以值為斜率中心在點(diǎn)的線段，我們就得到一個方向場.盡管我們不一定能求出方程的解，但我們知道2第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一向量場中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的每一點(diǎn)都與從幾何上看，方程的一個解就是位于向量場在這一點(diǎn)的方向相切。方向行進(jìn)的曲線，求方程滿足初始值的解，的一條曲線。就是求通過點(diǎn)形象的說，解就是始終沿著向量場中的3第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一因?yàn)?，可根?jù)向量場的走向來近似求積分曲線，同時也可根據(jù)向量場本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。在該點(diǎn)的向量相重合。

定理1.3L為的積分曲線的充要條件是：曲線在L上任一點(diǎn)，L的切線與所確定的向量場

向量場對于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要，4第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例1.3.1在區(qū)域內(nèi)畫出方程的向量場和幾條積分曲線。解：可以用計算各點(diǎn)斜率的方法在網(wǎng)格點(diǎn)上手工畫出向量場的方向可以得到向量場，但手工繪圖誤差較大。我們用Maple軟件包來完成。5第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一Maple指令：DEtools[phaseportrait]#畫向量場及積分曲線([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),#定義微分方程x=-2..2,#指定x范圍[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]],#給出3個初始值dirgrid=[17,17],#定義網(wǎng)格密度arrows=LINE,#定義線段類型axes=NORMAL;#定義坐標(biāo)系類型類型6第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一回車后Maple就在三條積分曲線。

的圖形，并給出了過點(diǎn)的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了向量場的7第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一所謂圖解法就是不用求微分方程解的具體表達(dá)式，根據(jù)右端函數(shù)和向量場作出積分曲線的大致圖形。圖解法只是定性的反映積分曲線的一部分主要特征。該方法的思想十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄇ蠼獾姆匠虡O少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。二、積分曲線的圖解法8第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一方程所決定的曲線上任意一點(diǎn)處方程的向量場的方向都相同。稱為微分方程我們把所確定的曲線的等傾線。9第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例如：微分方程的等傾線為的等傾線為零等傾線稱為極值曲線。10第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一拐點(diǎn)曲線：設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則一個點(diǎn)成為的拐點(diǎn)的必要條件是，11第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例1.3.4討論方程的拐點(diǎn)曲線。解：由方程得,令,得容易驗(yàn)證不是方程的積分曲線，在區(qū)域上，是方程的拐點(diǎn)曲線。上，在區(qū)域平面分為和兩部分，它將12第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一13第13頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一