復(fù)變函數(shù)與積分變換課件

復(fù)變函數(shù)與積分變換課件1第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)表示及運(yùn)算平面點(diǎn)集復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)性2第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)表示及運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)形如z=x+iy的數(shù)被稱(chēng)為復(fù)數(shù)，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分別為z的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為i2=-1z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz1復(fù)數(shù)不能比較大小3第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)平面復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)z平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實(shí)軸模幅角主幅角并規(guī)定幅角按逆時(shí)針?lè)较蛉≈禐檎槙r(shí)針?lè)较蛉≈禐樨?fù).4第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而幅角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:說(shuō)明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，5第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3求和解第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示：z=x+iy三角表示：指數(shù)表示：注意在三角表示和指數(shù)表示下，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)模相等且幅角相差7第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4求的三角表示式與指數(shù)表示式.解因?yàn)樗栽O(shè)則又因?yàn)槲挥诘贗I象限所以于是第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此9第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算z1+

z2=(x1+x2)

+i(y1+y2)復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則z1+(-

z2)-

z210第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一乘法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加11第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減12第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)律：（1）加法交換律（2）乘法交換律（3）加法結(jié)合律（4）乘法結(jié)合律（5）乘法對(duì)于加法的分配律13第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一共軛運(yùn)算復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)為是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)14第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）為實(shí)數(shù).15第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一.

例1化簡(jiǎn)解16第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2設(shè)，求及解所以第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)為正整數(shù)，個(gè)非零相同復(fù)數(shù)的乘積，稱(chēng)為的次冪，記為，即若，則有當(dāng)時(shí)，得到著名的棣莫弗公式18第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例7求解因?yàn)樗岳?已知，求解因?yàn)榈?9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)數(shù)的方根稱(chēng)滿足方程的復(fù)數(shù)為的次方根，記作或記作令解出由即21第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可求出6個(gè)根，它們是例解方程解因?yàn)樗缘?2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2計(jì)算解因?yàn)樗约吹?3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一練習(xí)24第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平面點(diǎn)集鄰域平面上以為心，為半徑的圓：內(nèi)部所有點(diǎn)的集合稱(chēng)為點(diǎn)的—鄰域，記為，即稱(chēng)集合為的去心—鄰域，記作z025第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一開(kāi)集如果點(diǎn)集的每一個(gè)點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)為開(kāi)集.閉集如果點(diǎn)集的余集為開(kāi)集，則稱(chēng)為閉集.連通集設(shè)是開(kāi)集，如果對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可用折線連接起來(lái)，且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱(chēng)開(kāi)集是連通集.Dz1z2p第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一區(qū)域區(qū)域（或開(kāi)區(qū)域）連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起，稱(chēng)為閉區(qū)域，記為.27第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平面圖形的復(fù)數(shù)表示很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來(lái)表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來(lái)確定所表示的平面圖形。例1：Z平面上以原點(diǎn)為中心、R為半徑的圓周方程為Z平面上以Z0為中心、R為半徑的圓周方程為連接z1和z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為過(guò)兩點(diǎn)z1和z2的直線L的參數(shù)方程為28第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2：考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。（1）該方程表示到點(diǎn)2i和－2距離相等的點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和－2的線段的垂直平分線，它的方程為y=－x。（2）設(shè)z=x+iy,29第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）表示實(shí)軸方向與由點(diǎn)i到z的向量之間交角的主值，因此滿足方程的點(diǎn)的全體是自i點(diǎn)出發(fā)且與實(shí)軸正向夾角為45度的一條半射線。（不包括i點(diǎn)）（4）30第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3：指出不等式中點(diǎn)z的軌跡所在范圍。解：因?yàn)樗杂谑怯?1第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一它表示在圓外且屬于左半平面的所有點(diǎn)的集合32第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖11.簡(jiǎn)單曲線、簡(jiǎn)單閉曲線平面曲線若存在滿足且的使重點(diǎn)，無(wú)重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線或則稱(chēng)此曲線C有，約當(dāng)（Jordan）曲線；除外無(wú)其它重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線，例如是一條簡(jiǎn)單閉曲線（如圖1）.第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在幾何直觀上，簡(jiǎn)單曲線是平面上沒(méi)有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡(jiǎn)單曲線自身是不會(huì)相交的；簡(jiǎn)單閉曲線除了沒(méi)有“打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的是簡(jiǎn)單曲線，是簡(jiǎn)單閉區(qū)域，圖1.11中的，不是簡(jiǎn)單曲線，但是閉曲線.圖1.10圖1.11第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.光滑曲線、分段光滑曲線設(shè)曲線的方程為

若，在上可導(dǎo)且，連續(xù)不全為零，則稱(chēng)曲線為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱(chēng)為分段光滑曲線.3.單連通域、多連通域設(shè)是復(fù)平面上一區(qū)域，如果在內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部的所有點(diǎn)都在中，則稱(chēng)區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域；否則稱(chēng)為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域.第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個(gè)沒(méi)有“空洞（點(diǎn)洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線所圍成的區(qū)域中挖掉幾個(gè)洞，除去幾個(gè)點(diǎn)或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12）.圖1.12第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一練習(xí)考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形，并指明它是有界還是無(wú)界，是單連通還是多連通。37第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)之定義設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則，對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)ω=u+iv與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為ω=f(z)。說(shuō)明1如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著ω的唯一一個(gè)值，那么我們稱(chēng)f(z)是單值的；如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著多個(gè)ω的值，那么我們稱(chēng)f(z)是多值函數(shù)。38第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明2復(fù)變函數(shù)ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一個(gè)映射。復(fù)變函數(shù)ω=f(z)可以寫(xiě)成ω=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iyω=f(z)z平面ω平面39第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一舉例求0<argz<π,0<r<1經(jīng)ω=iz變換后在ω平面上的圖形。z平面ω平面ω=iz=zexp(iπ/2)40第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù)化為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù).解設(shè)，，代入得比較實(shí)部與虛部得，第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2將定義在全平面除原點(diǎn)區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)化為一個(gè)復(fù)變函數(shù).解設(shè)，，則將，以及代入上式，經(jīng)整理后，得第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.函數(shù)極限的定義1.4.1:一.函數(shù)極限:43第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一幾何意義:

xyOz0dzOuvAef(z)44第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)變函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則：與實(shí)變函數(shù)的極限性質(zhì)類(lèi)似.惟一性復(fù)合運(yùn)算等45第45頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理1.4.12.極限計(jì)算的性質(zhì)46第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3試求下列函數(shù)的極限.（1）（2）解（1）法1設(shè)，則，且得第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一法2解：

設(shè)，則，得（2）第48頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2證明函數(shù)在時(shí)極限不存在.證設(shè)，而考慮二元實(shí)函數(shù)當(dāng)沿著（為任意實(shí)數(shù)）趨向于，即

顯然，極限值隨值的不同而不同，所以根據(jù)二元實(shí)變函數(shù)極限的定義知，在趨向于時(shí)的極限不存在，即得結(jié)論.第49頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、函數(shù)的連續(xù)性定義1.4.2

設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).若在區(qū)域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理1.4.2

函數(shù)，在處連續(xù)的充要條件是和都在點(diǎn)