大數定律及中心極限定理

大數定律及中心極限定理第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一1在數學中大家都注意到這樣的現象：有時候一個有限的和很難求,但一經取極限由有限過渡到無限,則問題反而好辦.例如,若對某一x,要計算和

而一經取極限，則有簡單的結果

第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一2事實證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見正態(tài)分布的重要性。對和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理的研究，在長達兩個世紀的時期內成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱。本章將列述這類定理中最簡單，然而也是最重要的情況。

第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3在概率論中，另一類重要的極限定理是所謂“大數定律”。

在第一章中我們已經討論了“頻率的穩(wěn)定性”。

大量的重復試驗中，事件A發(fā)生的頻率接近某個常數，這個常數實際上就是事件發(fā)生的概率。“大數”的意思，就是指試驗數目是大量的。

第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一4§1大數定律隨機變量的方差是刻畫它圍繞其期望值的離散程度的，因此我們希望用方差來估計隨機變量與其期望值之間的偏差大于某一給定正數的概率的上界。

定理成立.一、切比雪夫不等式第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一5證設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則

定理成立.第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一6上式可改寫為切比雪夫不等式具體地估算了隨機變量X取值時，以數學期望E(X)為中心的分散程度。不難看出，方差D(X)越小，則隨機變量X的取值越集中在數學期望E(X)的附近，由此可以進一步體會到方差的概率意義，它刻劃了隨機變量的分散程度。如取第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一7例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率.設每毫升白細胞數為X，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002

，解由切比雪夫不等式，第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一8例2根據過去統(tǒng)計資料，某產品的次品率為p=0.05，試用切比雪夫不等式估計1000件產品中，次品數在40~60之間的概率.解設X表示1000件產品中的次品數，則由切比雪夫不等式，第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一9該數值是非常保守的估計，事實上，由中心極限定理可知，概率約為

注：第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一10記作第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一11幾個常見的大數定律定理1（切比雪夫大數定律）

設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤C，i=1,2,…，則對任意的有或依概率收斂第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一12證兩邊夾,即得結論.第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一13解釋：取值接近于其數學期望的概率接近于1.當n充分大時，差不多不再是隨機的了,第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一14定理2（貝努里大數定律）或

下面給出的貝努里大數定律,是定理1的一種特例.

設nA是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的

,有第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一15引入i=1,2,…,n則

而

由切比雪夫大數定律，第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一16是事件A發(fā)生的頻率，

伯努里大數定律表明，當重復試驗次數n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋。

歷史上，貝努里第一個研究了這種類型的極限定理，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認為，概率論的真正歷史應從出現貝努里大數定律的時刻算起。

第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一17

下面給出的獨立同分布下的大數定律，不要求隨機變量的方差存在.

設隨機變量序列X1,X2,…獨立同分布，具有有限的數學期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，定理3（辛欽大數定律）辛欽

辛欽大數定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一18

例如要估計某地區(qū)的平均畝產量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計算其平均畝產量，則當n

較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產量的一個估計.第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一19例3解切比雪夫大數定理條件有兩條：

1、隨機變量序列要相互獨立；2、各個隨機變量的方差均存在且有界.

四個選項中，獨立性條件均滿足，但惟獨(D)中，

故選(D).第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一20將一枚均勻對稱的骰子重復擲n次，則當n時，求n次擲出點數的算術平均值依概率收斂的極限．

例4解其共同的數學期望為第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一21練習：P104習題5-11.第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一22§2中心極限定理中心極限定理從理論上證明，對于大量的獨立隨機變量來說，只要每個隨機變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個隨機變量的分布函數是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數必然和正態(tài)分布函數很近似。這就是為什么實際中遇到的隨機變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數理統(tǒng)計中占有極其重要的地位。

第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一23下面介紹幾個常用的中心極限定理。

在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一24

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不直接研究n個隨機變量之和，本身而考慮它的標準化的隨機變量的分布函數的極限.第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一25列維一林德伯格中心極限定理第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一26（證略）

第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一27此定理說明,當n充分大時,有

或第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一28將n個觀測數據相加時，首先對小數部分按“四舍五入”舍去小數位后化為整數．試利用中心極限定理估計，

例1解(1)當n=1500時,舍入誤差之和的絕對值大于15的概率；(2)n滿足何條件時，能以不小于0.90的概率使舍入誤差之和的絕對值小于10．根據列維-林德伯格中心極限定理，當n充分大時第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一29(1)第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一30(2)數據個數n應滿足條件：即當

時，才能使誤差之和的絕對值小于10的概率不小于0.90．第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一31

一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的,假設每箱的平均重50千克,標準差5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運,試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.例2解由列維-林德伯格中心極限定理,有

總重量第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一32所以n必須滿足即最多可以裝98箱.

第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一33下面給出上述定理的一個重要特例。

棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)中心極限定理證由列維一林德伯格定理可知，

第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一34由列維一林德伯格定理可知，

第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一35由列維一林德伯格定理可知，

第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一36或即有近似計算公式

第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一37例3設在某保險公司有1萬個人參加投保，每人每年付120元保險費.在一年內一個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險公司領得1萬元，問:(1)該保險公司虧本的概率為多少?(2)該保險公司一年的利潤不少于40,60,80萬元的概率各是多少?

解設一年內死亡的人數為X,則

由D-L中心極限定理,

即該保險公司虧本的概率幾乎為0.

第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一38第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一39

(供電問題)某車間有200臺車床,在生產期間由于需要檢修、調換刀具、變換位置及調換零件等常需停車.設開工率為0.6,并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產?例4解某一時刻開動的車床數要求最小的k,使由D-L中心極限定理,第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一40查表得所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產的可能性不到0.001，相當于8小時內約有半分鐘受影響，這一般是允許的。

第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一41例5某產品次品率p=

0.05,試估計在1000件產品中次品數在40~60之間的概率.解次品數由D-L中心極限定理,第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一42次品數注由切比雪夫不等式,顯然這是過于保守的估計.

第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一43解例6已知生男孩的概率為0.515，試用中心極限定理求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率。

設X為10000個新生嬰兒中男孩的個數,

由D-L中心極限定理,

所以第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一44練習：P107習題5-21.第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一45補充題：3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現獨立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率.第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一46解由中心極限定理知,第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一47解由中心極限定理知,第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一48解由中心極限定理，

3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現獨立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率.第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一49習題課第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一501、將一枚硬幣拋擲10000次，出現正面5800次，是否有理由認為這枚硬幣不均勻?解:設X為10000次試驗中出現正面的次數，若硬幣是均勻的,則X~B(10000,0.5),由D-L定理,此概率接近于0，故認為這枚硬幣不均勻是合理的.第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一512、假設生產線組裝每件成品的時間服從指數分布,統(tǒng)計資料表明每件成品的組裝時間平均為10分鐘.設各件產品的組裝時間相互獨立.

(1)試求組裝100件成品需要15到20小時的概率；

(2)以95%的概率在16小時內最多可以組裝多少件成品?

解設第i件組裝的時間為Xi分鐘,i=1,…,100.

利用獨立同分布中心極限定理.

(1)第52頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一52(2)