2023北京高三一模數學匯編：隨機變量及其分布章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京高三一模數學匯編隨機變量及其分布章節(jié)綜合1．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）從，，，，這個數中任取個不同的數，記“兩數之積為正數”為事件，“兩數均為負數為事件．則________．2．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇．某小區(qū)物業(yè)對本小區(qū)三月份參與網購生鮮蔬菜的家庭的網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和B組，這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下圖：假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響·(1)從一單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的概率；(2)從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數為X，估計X的數學期望；(3)從A組和B組中分別隨機抽取2戶家庭，記為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，為B組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，比較方差與的大?。ńY論不要求證明）3．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）“綠水青山就是金山銀山”，某地區(qū)甲乙丙三個林場開展植樹工程，2011-2020年的植樹成活率（%）統(tǒng)計如下：（表中“/”表示該年末植樹）：2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5規(guī)定：若當年植樹成活率大于，則認定該年為優(yōu)質工程．(1)從乙林場植樹的年份中任抽取兩年，求這兩年都是優(yōu)質工程的概率；(2)從甲、乙、丙三個林場植樹的年份中各抽取一年，以X表示這3年中優(yōu)質工程的個數，求X的分布列；(3)若乙丙兩個林場每年植樹的棵數不變，能否根據兩個林場優(yōu)質工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數的大小？4．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）某高校“植物營養(yǎng)學專業(yè)”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數據整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數92092第2組雞冠花株數416164第3組雞冠花株數1312132假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數學期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關系.（結論不要求證明）5．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）某地區(qū)組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統(tǒng)計結果如下：性別人數獲獎人數一等獎二等獎三等獎男生200101515女生300252540假設所有學生的獲獎情況相互獨立．(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；(2)用頻率估計概率，從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數，求X的分布列和數學期望；(3)用頻率估計概率，從該地區(qū)高一學生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為；從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為；從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為，試比較與的大小．（結論不要求證明）6．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）交通擁堵指數（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標，TPI越大代表擁堵程度越高．某平臺計算TPI的公式為：，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個等級：TPI不低于4擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的統(tǒng)計數據如下圖：(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數記為，求的分布列及數學期望；(3)把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為，將2022年同期TPI依次記為，記，．請直接寫出取得最大值時的值．7．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）根據《國家學生體質健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下（單位：cm）：立定跳遠單項等級高三男生高三女生優(yōu)秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下從某校高三男生和女生中各隨機抽取名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下（精確到）：男生女生假設用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立．(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率；(2)從該校全體高三男生中隨機抽取人，全體高三女生中隨機抽取人，設為這人中立定跳遠單項等級為優(yōu)秀的人數，估計的數學期望；(3)從該校全體高三女生中隨機抽取人，設“這人的立定跳遠單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件，“這人的立定跳遠單項至多有個是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨立．（結論不要求證明）8．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）甲、乙兩名同學積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內甲進行了6次測試，乙進行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學的測試成績如下表：次數同學第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；(2)從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，設X表示這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數，求X的分布列及數學期望EX；(3)從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，設Y表示這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數，試判斷數學期望EY與（2）中EX的大小.（結論不要求證明）9．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）某社區(qū)組織了一次公益講座.向社區(qū)居民普及垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民.讓他們在講座前和講座后分別回答一份垃圾分類知識向卷.這10位社區(qū)居民的講座前和講座后答卷的正確率如下表：1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號講座前講座后(1)從公益講座前的10份垃圾分類知識答卷中隨機抽取一份.求這份答卷正確率低于的概率；(2)從正確率不低于的垃圾分類知識答卷中隨機抽取3份，記隨機變量X為抽中講座前答卷的個數.求隨機變量X的分布列和數學期望；(3)判斷此次公益講座的宣傳效果.并說明你的理由.

參考答案1．##【分析】根據古典概型的概率公式求出，，再由條件概率的概率公式計算可得.【詳解】從，，，，這個數中任取個不同的數有種取法，其中滿足兩數之積為正數的有種取法，滿足兩數之積為正數且兩數均為負數的有種取法，所以，，所以.故答案為：2．(1)(2)1(3)【分析】（1）根據古典概型的概率公式即可求出；（2）由題可知，X的可能取值為0，1，2，再分別求出對應的概率，由期望公式即可求出；（3）根據方差公式計算可知，．【詳解】（1）設“該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20”為事件，在組10戶中超過20次的有3戶，由樣本頻率估計總體概率，則.（2）由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為，二單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為，X的可能取值為0，1，2，所以，，，，．（3）依題可知，，的可能取值為0，1，2，且，服從超幾何分布，，，，，，，因為，，所以，，，所以，．3．(1)(2)分布列見解析(3)不能，理由見解析【分析】（1）由古典概率的計算公式代入即可得出答案；（2）求出X的可能取值，分別計算出其概率，即可得出分布列；（3）分別求出兩個林場植樹成活率平均數即可判斷.【詳解】（1）乙林場植樹共年，其中優(yōu)質工程有年，從乙林場植樹的年份中任抽取兩年，這兩年都是優(yōu)質工程為事件，所以.（2）甲林場植樹共年，其中優(yōu)質工程有年，乙林場植樹共年，其中優(yōu)質工程有年，丙林場植樹共年，其中優(yōu)質工程有年，則X的可能取值為，，，，.則X的分布列為：（3）不能根據兩個林場優(yōu)質工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數的大小.因為乙、丙兩個林場優(yōu)質工程概率分別為，且.則設乙、丙林場植樹成活率平均數分別為，,所以乙、丙這兩個林場植樹成活率平均數分別為：，，且丙林場植樹成活率大于乙林場植樹成活率.所以不能根據兩個林場優(yōu)質工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數的大小.4．(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）根據表格數據，第1組所有雞冠花中隨機選取1株，得厘米的總數，由古典概型概率公式可得結果；（2）首先估計各組雞冠花增量為厘米的概率，然后可確定所有可能的取值，根據獨立事件概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據數學期望計算公式可求得期望；（3）由兩點分布方差計算公式可求得，，的值，由此可得大小關系．【詳解】（1）設事件為“從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據題中數據，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,所以估計為；（2）設事件為“從第2組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，設事件為“從第3組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據題中數據，估計為，估計為，根據題意，隨機變量的所有可能取值為0,1,2.3，且；；；，則的分布列為：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.5．(1)(2)分布列見解析，期望(3)【分析】（1）直接計算概率；（2）的所有可能取值為0,1,2，求出高一男生獲獎概率和高一女生獲獎概率，再計算概率得到分布列，最后計算期望即可；（3）計算出，，比較大小即可.【詳解】（1）設事件為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名,抽到的2名學生都獲一等獎”，則，（2）隨機變量的所有可能取值為0,1,2.記事件為“從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名,該學生獲獎”,事件為“從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名,該學生獲獎”.由題設知,事件,相互獨立,且估計為估計為.所以,,.所以的分布列為012故的數學期望（3），理由：根據頻率估計概率得，由（2）知，，故，則.6．(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據隨機事件的概率公式即可求解；（2）結合題意先求出的分布列，再結合數學期望的公式求解即可；（3）結合題意先求得，進而即可求解.【詳解】（1）由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的共2天，所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為.（2）由圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天數只有1月3日和1月4日這2天，所以，，，所以的分布列為：012數學期望.（3）由題意，，，，，，，，所以，所以取得最大值時，.7．(1)(2)(3)與相互獨立【分析】（1）樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數為，獲得優(yōu)秀的女生人數為，計算頻率得到優(yōu)秀率的估計值；（2）由題設，的所有可能取值為．算出對應概率的估計值，得到的數學期望的估計值；（3）利用兩個事件相互獨立的定義判斷即可.【詳解】（1）樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數為，獲得優(yōu)秀的女生人數為，所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為；估計高三女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為．（2）由題設，的所有可能取值為．估計為；估計為；估計為；估計為．估計的數學期望．（3）估計為；估計為；估計為，，所以與相互獨立．8．(1)(2)的分布列為所以.(3)【分析】（1）根據表格中的數據，代入古典概型的概率計算公式即可求解；（2）根據題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應的概率，列出分布列并計算出期望即可求解；（3）根據題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應的概率，計算出期望與（2）中期望即可求解；【詳解】（1）由題意可知：甲、乙兩名同學共進行的13次測試中，測試成績超過90分的共4次，由古典概型的概率計算公式可得，所以從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率.（2）由題意可知：從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數的可能取值為1，2，3，則；；，所以的分布列為所以.（3）由題意可知：從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數的可能取值為0，1，2，3，則；；；；所