河北省高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)知識點(diǎn)檢測 3.2指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件 舊人教版 課件

第二節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)梳理1.整數(shù)指數(shù)(1)整數(shù)指數(shù)冪概念:①=a·a·…·a(n個(gè)a）

(n∈N*);②=(a≠0);③(a≠0,n∈N*).(2)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):①(m,n∈Z);②(m,n∈Z);③(m,n∈Z,a≠0);④(n∈Z).12.分?jǐn)?shù)指數(shù)一般地,如果=a，那么x叫做，其中n>1,且n∈N*.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),,(a>0);(a>0,m,n∈N*,且n>1);(a>0,m,n∈N*,且n>1).3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)a>0,b>0,則

(r,s∈Q);

(r,s∈Q);

(r∈Q).4.指數(shù)函數(shù)的定義形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)a的n次方根ay=(a>0,且a≠1)5.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>0

0<a<1

圖像

定義域值域性質(zhì)過定點(diǎn)當(dāng)x>0時(shí),;當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)x>0時(shí),;當(dāng)x<0時(shí),在(-∞,+∞)上是在(-∞,+∞)上是y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)(0,1)典例分析題型一指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例1】化簡或計(jì)算.(1)(2)(3)已知a,b是方程-6x+4=0的兩根,且a>b>0,求的值.分析有理指數(shù)冪的運(yùn)算應(yīng)注意“化小數(shù)為分?jǐn)?shù)”、“化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的原則.解

(1)原式=(2)原式=(3)由條件知a+b=6,ab=4,又a>b>0,所以學(xué)后反思

(1)當(dāng)條件給出小數(shù)或根式形式時(shí),一般要化小數(shù)為分?jǐn)?shù),化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.(2)對于計(jì)算結(jié)果,如果條件用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給出,結(jié)果一般也用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出;如果條件用根式形式給出,結(jié)果也往往采用根式形式.(3)結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).總之應(yīng)符合化簡結(jié)果的要求.舉一反三1.計(jì)算:(1)(2)(3)若=3,求的值.解析：

(1)原式=(2)原式=(3)因?yàn)?3,所以則所以所以題型二指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用【例2】已知函數(shù)y=,(1)作出函數(shù)的圖象;(2)指出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)求函數(shù)的值域.分析本題要考慮去絕對值符號,把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式,再作出圖象,然后根據(jù)圖象尋求其單調(diào)遞增區(qū)間和值域.解

(1)由函數(shù)解析式可得其圖象分成兩部分:一部分是y=(x≥-2)的圖象,由下列變換可得到:另一部分y=(x<-2)的圖象,由下列變換可得到:如圖為函數(shù)y=的圖象.(2)由圖象觀察知函數(shù)在(-∞,-2]上是增函數(shù).(3)由圖象觀察知,x=-2時(shí),函數(shù)y=有最大值,最大值為1,沒有最小值,故其值域?yàn)?0,1].學(xué)后反思（1）本例也可以不考慮去掉絕對值符號,而是直接用圖象變換（平移、伸縮、對稱）作出,作法如下:(2)舉一反三2.如圖是指數(shù)函數(shù)：①y=;②y=;③y=;④y=的圖象，則a、b、c、d與1的關(guān)系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c題型三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例3】求下列函數(shù)的定義域和值域.(1)y=;(2)y=(3)y=分析指數(shù)函數(shù)y=(a>0,a≠1)的定義域?yàn)镽,所以y=的定義域與f(x)定義域相同;值域則要應(yīng)用其單調(diào)性來求,復(fù)合函數(shù)則要注意“同增異減”的原則.解析:方法一：在①②中底數(shù)小于1且大于零，在y軸右邊，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，故有b<a;在③④中底數(shù)大于1,在y軸右邊，底數(shù)越大圖象越靠近y軸，故有d<c.方法二：設(shè)x=1與①②③④的圖象分別交于點(diǎn)A、B、C、D，則其坐標(biāo)依次為(1,a)、(1,b)、(1,c)、(1,d)，由圖象觀察可知c>d>1>a>b.答案:B解

(1)定義域?yàn)镽.因?yàn)?|x+1|≤0,所以,所以值域?yàn)椋?,+∞).(2)因?yàn)?1>0恒成立,所以定義域?yàn)镽.又因?yàn)閥=,而0<<1,所以-1<<0,解得0<y<1,所以值域?yàn)?0,1).(3)令--3x+4≥0，解得-4≤x≤1,所以函數(shù)y=的定義域?yàn)閇-4,1].設(shè)u=(-4≤x≤1),易得u在x=-時(shí)取最大值,在x=-4或1時(shí)取最小值0,即0≤u≤.所以函數(shù)y=的值域?yàn)?即函數(shù)y=的值域?yàn)閇1,].學(xué)后反思

(1)弄清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程.(2)利用“同增異減”結(jié)論，準(zhǔn)確判斷其單調(diào)性.舉一反三3.下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的是()A.y=B.y=C.y=D.y=解析：

A中，∵y=的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集,而1-x∈R,∴y=的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集;B中,當(dāng)x=0時(shí),-1=0;C中,y取不到1;D中，函數(shù)值域?yàn)閇0,1).答案：

A題型四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】(12分)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)求證:f(x)在(0,1)上是減函數(shù).分析求f(x)在[-1,1]上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0)上的解析式,再去關(guān)注x=±1,0時(shí)的函數(shù)值;函數(shù)的單調(diào)性可利用單調(diào)性定義來證明.解

(1)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),-x∈(0,1).∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=.…2′由f(0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.……4′∴在區(qū)間[-1,1]上,有

.…………6′(2)證明：當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=.設(shè)0<<1,………………7′則

……9′∵0<<1,∴∴>0,即,………………11′∴f(x)在(0,1)上是減函數(shù).…………12′學(xué)后反思本題以指數(shù)運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)進(jìn)行整合,考查了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的掌握情況.第(1)問求f(x)的解析式時(shí),易漏掉對x=-1,0,1的討論.舉一反三4.已知f(x)=(x>0),g(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),g(x)=f(x),則g(x)的解析式為.解析：∵x<0,∴-x>0,∴g(x)=-g(-x)=-f(-x)=-=-.∴答案：易錯(cuò)警示【例】設(shè)a>0且a≠1,如果函數(shù)f(x)=在[-1,1]上的最大值為14,求a的值.錯(cuò)解當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最大值,即+2a-1=14,∴+2a-15=0,∴a=3(a=-5舍去).錯(cuò)解分析錯(cuò)解中：(1)忽略了字母參數(shù)a>1與0<a<1的不同情況,默認(rèn)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增;(2)對于f(x)=,沒有從的本身范圍與f(x)單調(diào)性之間關(guān)系去考慮問題.正解

y=,x∈[-1,1].(1)當(dāng)a>1時(shí),∈,令t=,則y=,t∈,易知y=在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)t=a,即=a時(shí),==14,∴a=3(a=-5舍去).(2)當(dāng)0<a<1時(shí),∈；同(1)得當(dāng)t=,即=時(shí),==14,解得a=（a=-舍去.）綜上所述,a=或a=3.10.（2009·山東）若函數(shù)f(x)=-x-a(a>0,且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.考點(diǎn)演練解析:函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x+a交點(diǎn)的個(gè)數(shù).由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)a>1時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)0<a<1時(shí)兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，故a>1.答案:(1,+∞)11.（2009·江西)設(shè)函數(shù)f(x)=.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若k>0,求不等式f′(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.解析：（1）f′(x)=由f′(x)=0，得x=1.因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0;所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是［1,+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0),(0,1］.(2)由f′(x)+k(1-x)f(x)=得(x-1)(kx-1)<0.當(dāng)0<k<1時(shí)，解集是

;當(dāng)k=1時(shí)，解集是;當(dāng)k>1時(shí)，解集是

.12.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).(1)求a,b的值;(2)若對任意的t∈R,不等式f(-2t)+f(2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.解析：

(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即=0，解得b=1，從而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知解得a=2.所以a=2,b=1.(2)方法一:由(1)知由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)