三考研復(fù)習(xí)配套光盤2000年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分

入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)（一11

2xx2dx 4曲面x22y23z221在點(1,-2,2)的法線方程 x1y2z y 1x1

已知方程組 a2x3無解，則a 2x 3 設(shè)兩個相互獨立 A和B都不發(fā)生的概率為1，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)9A不發(fā)生的概率相等,則 3設(shè)f(x),g(x) 于零的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當(dāng)ax時,

f(x)g(b)f(x)g(x)

ff

f(x)g(a)f(x)g(x)

ff設(shè)S:x2y2z2a2z0,S1為S在第一卦限中的部分，則 xdS4 (B)ydS4 (C)zdS4 (D)xyzdS4S

設(shè)級數(shù)un收斂,則必收斂的級數(shù) f

f'

x

g

??5 y2

y3

xdyL

y

y2

,Q4x2

4x2

(4x2y2)2

x (xy0,0).??1x

作足夠小橢圓C: ([0,2],C取逆時針方向 ?2 由

xdyydx0 ??42LC4x2即得xdyydxxdyydx

212d ??6 4x2

4x2 Sxfxdydzxyfxdzdxe2xzdxdy0,fx在(0,+)內(nèi)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)S

fx1fS解：由題設(shè)和高 得0xf(x)dydzxyf(x)dzdxSV(xf(xf(xxf(xe2x)dV ??1V面S的法向量指向內(nèi)側(cè)時，取“－”號.S的任意性，知 1xf(xf(xxf(xe2x x0 1即f(x)(1)f(x) e

11(1)dx

(1

ex f

e2xe

dxC

e2x.xexdxC (exC.??5

2x由于limf(x)lime2xCex1故必有 )0即C10，從而C2x

于是f(x) x

??7求冪級數(shù)

nn1

[1

n)n解：因為 [3(2) 1 ?2)n[3n1(2)n1](n n3[1(2)

3所以收斂半徑為3，收斂區(qū)間為(3,3) ?3 當(dāng)x3時，因 ，3n(2)n

1x3處發(fā)散.??4n

1=(1)n1

3n

n1

(2)n都收斂（后者可用比值判別法判定，所以原級數(shù)在點x3收斂 ?6設(shè)有一半徑為R的球體,p0是此球的表面上的一個定點,球體上任意一點的密度與該點到P0距離的平方成正比(比例常數(shù)k>0),求球體的中心位置.記所考慮的球體為以的球心為原點，射線OP0x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的重心位置為(x,y,z)，由對稱性，得y0,z ?2xk[(xR)2y2z2]dVx k[(xR)2y2z2 而[(xR)2y2z2]dV(x2y2z2)dV 82

2d

sindr

4

??4 x[(xR)2y2z2]dv2Rx2dV2R(x2y2z2dV8R6.6

故x .因此.球體的重心位置為(

0,0) ??74x2y2z22Rz設(shè)的重心位置為(x,y,z)，由對稱性，得x0,y0 ?2kz(x2y2z2)dVz k(x2y2z2(x2y2z2 42d2d2Rcosr4sindr32 4 z(x2y2z2

42d2d2Rcosr5sin 6 3

20

sind 3

??6(0,0, 故z5R.因此.球體的重心位置(0,0,

??7fx在0,上連續(xù)，且f(x)dx0,f(xcosxdx0，試證：在0, 存在兩個不同的點1,2f(1f(20x證一：F(x0

f 0x ??1F(0)0,F(0. 0 f(x)cosxdx cosxdF(x)F(x)cosx F(x)dcosx F(x)sinxdx 所以存在(0,F(sin0.如若不然，則在(0,F(xsinxF(xsinx0

F(xsinxdx .但當(dāng)(0,sin0F()0.由上證得F(0)F()F() (0) ?4再對F(x)在區(qū)間[0,],[,]分別用羅爾定理，知至少存在1(0,),2(,)，F(xiàn)(1)F(2)0，即f(1)f(2)0 ?6證二：由0f(x)dx0知存在10,f(10.因若不然，則在(0,f(x)恒為正，或f(x)恒為負(fù)，均與0f(x)dx ?1若在(0,f(x)0x1，則由0f(x)dx0f(x (0,1)與(1,內(nèi)異號，不妨設(shè)在(0,1f(x)0，在(1,f(x)0 0f(xcosxdx與0f(x)dx0及cosx在[0,001f(x)(cosx f(x)(cosxcos)dx f(x)(cosxcos)dx0，得 ?51 1從而推知，在(0,內(nèi)除1f(x)0至少還有一個實根2，故知存在1,2(0,12，使f(1)f(2)0 ?6注：證法一中的和證法二中的1也可用積分中值定理得到 00 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A* 00，且ABA1BA13E，其中E為4階單 10030 解一：由|A*||A|n1，有|A|38，得|A|2. ?2分又(AE)BA13E，有(AE)B3A.從而A1(AE)B3E，由此得(EA1)B3E，即(E

|A

)B3E，亦即(2EA*)B6E又2EA*為可逆矩陣，于是B6(2EA*)1 ?4 0

0 0

0由2EA* ，有(2EA*)1 1 0 0 60 006 0030因此B0301

6 6

??6解二：由|A*||A|n1,有|A|38,得|A|2 ?2 0 0 0 0又AA*|A|E，得A|A|(A*)12(A*)12 ?3 0 可見AE為可逆矩陣，于是由(AE)BA13E，有B3(AE)1 ?4 0 0AE

，得AE)1

??5 0 0 3 4 4 3

2 0 0 0

0 因此B3 0 0 0

??6 1 4 3 4十一、(本題滿分8分

162成為熟練工.設(shè)第年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為x和 xn量 ynxn1 xn xn1 xn求 與y的關(guān)系式并寫成矩陣形式： =Ayn1 n

n1 n驗證1,2 是A的兩個線形無關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值1 1x1 1

xn1

y

2y 時，求 y11 2

n1 5x2 y

6 53

??2 5

xnyn 9x2y

2 2 10 5

xn

化簡得

3 ?3 x y n1

10P

5

55(,)5

，則由|P|50

A

4

1,故A的特征向量，且相應(yīng)的特征值 11 因A 2，故為A的特征向量,且相應(yīng)的特征值

??4 1 2 2

1xn1 n

n1 n2 AyA AyA1 ??5n1 n n1 1 2 0 0 0由P1AP ,有AP P1 ?6 2 2 0

24

1 1n 1 1 1

1 1 (2 44(2)又 ，故An5 4

5 1

(

n 45

1n

( 14()1 8 1n

x 2 1 3(2)yn1 1 102 1n因此n1yn1 1 102 1n 3()2 十二、(本題滿分8分p0p1，各產(chǎn)品合格與否相互獨立，解：記q1p，X的概率分布為P{Xi}qi1 i1, ?3 pXEXp

iqi1p

(q)p

i

q1

1 ??5 i2qi1p

2

)

p

(qi)p(1q)2

??7 所以XDXEX2[EX)]22p

1p ??8十三、(本題滿分6分

2e2(x),x設(shè)某種元件的使 X的概率密度為f(x;) x

，其中0參數(shù).x1x2xn是X的一組樣本觀測值，求參數(shù)的最大似然估計值n2解：似然函數(shù)為

(xi

xi(i1,2,, ??2nxi(i12,nL()0，取對數(shù)，得lnL(nln22(xidlnL(

2n0，所以L()單調(diào)增加 ?4由于必須滿足xi(i1,2,,n)，因此當(dāng)取x1,x2,xn中的最小值時，L()取最大值，所以的最大似然估計值為min(x1,x2,,xn) ?6（二limarctanxx1x0ln(12x2 設(shè)函數(shù)yy(x由方程2xyxy所確定，則dy|x0ln21)dx (x 1y2x1exy2x 設(shè)A 0，E為4階單位矩陣，且BEA1(EA)，0 0 67EB1

0 0 0 3 設(shè)函數(shù)f(x) a

在內(nèi),連續(xù)，且

f(x)0，則常數(shù)a,b滿 (A)a0,b (B)A0,B (C)a0,b (D)a0,b設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)f(x)2x，且f(0)0， f(0)f(xf(0)f(x點（0f(0）yf(xf(0)f(x的極值，點（0f(0)）yf(x

6f若

0,,則

(A) (B) (C) (D)具有特解y1ex,y2xex,y33ex的3階常系數(shù)齊次線性微分方程

yyyyy6y11y6y

yyyyy2yy2y ln1設(shè)flnx ，計算ft ln(1ett解：設(shè)lnxt，則xe，f(t) ?1ln(1ex f(x)dx dxln(1e ln(1e1ex ??3

ln(1e)(11ex)dx ln(1e)xln(1e)x1ex)ln(1exC ??5注：若結(jié)論中沒有常數(shù)C1分xoyD{xy0x1,0y1}及直線lxyt(t0)xS(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求0S(t)dt(xx解：S(t

1t2 0t21t22t1,1t2 ??22

t 所以，當(dāng)0x1時，xS(t)dtx1t2dt1x3 當(dāng)1x2時xS(t)dt1S(t)dtxS(t)dt1x3x2x1x 2

x 當(dāng)x2時，0S(t)dt0S(t)dt2S(t)dtx1 ?4 1 0xx因此

S(t)dt

6 x3x2x x

,1x2 ??5xf(xx2ln(1xx=0處的nf(n0)(n解一：由萊布尼 (uv)(n)u(n)v(0)C1u(n1)vC2u(n2)v及[ln(1

(1)k1(k(1

(k為正整數(shù)) ?2 2(1)n1(n (1)n2(n (1)n3(n得 (x)

(1

(1

n(n1)

(1

??4f(n(0)

nn(n1)(n3)!(1)n1 ??5 ??5解二：由麥克勞f f(n)(0) f(x)f(0) x

x

， 2 n1xn2

n2xln(1x)xx2

n

x3

x5(1)n1

O(xn) 23 n (0)比較xn的系數(shù)得f(n)(0)(1)n1，所以f ?5(0)x

n nS(x0|cost|dt（1）當(dāng)n為正整數(shù),且nx(n1)時，證明2nS(x)2(n1)sin（2）求 0|cosx|dxS(x |cosx|dx ??1又因為|cosx|是以為周期的函數(shù)，在每個周期上積分相等，所 |cosx|dx

|cosx|dx2n0

|cosx|dx2(n1) ??3因此當(dāng)nx(n1)時，有2nS(x)2(n1) ?4（2）由（1）知，當(dāng)nxn1)

??5(n 令x， 準(zhǔn)則得

S(x2 ??6 VA的污水量為V，流入湖泊內(nèi)不含A6水量為V，流出湖泊的水量為V.1999年底湖中A的含量為5m0 標(biāo).2000年初起,限定排入湖泊中含Am0.V經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以內(nèi)？（A的濃度是均勻的解：設(shè)從2000年初（令此時t0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為m，濃m，則在時間間隔[ttdt]內(nèi)，排入湖泊中的Am0Vdtm0dt m 中Adt

dt，因而在此時間間隔內(nèi)湖泊中污染物A的改變dm

m0

??3 由分離變量法解得mmCe3.代入初始條件m 5m，得C

9m2

于是m

(12

3 ??6令mm0，得t6ln3，即至多需經(jīng)過6ln3年，污染物A的含量將至m0以內(nèi) ?7已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x0的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式f(1sinx3f(1sinx)8x(x，其中(x)x0xf(x)x1yf(x在點6,f6處的切線方程.解：由limf(1sinx3f(1sinxlim[8x(x0f(1)3f10 f(10 ??1又limf(1sinx3f(1sinxlim[8x(x)

x]8 sin x0sin sin設(shè)sinxtlimf(1sinx)3f(1sinx)limf(1t)f(1)3limf(1t)f(1)4f(1) sin 所以f(1)2 ?4由于f(x5)f(x)，所以f(6)f(1)0,f(6)f(1)2， ?6分故所求的切線方程為y2(x6)，即2xy120 ?7yax2a0x0)y1x2AO和點Ay 解：當(dāng)x0時，由y1x2，解得x ,y1a ?1OAy

1

??211a2 1V1a a2x4dx x3 x5 5 ??4 1 15(1 2 22a(1a)2a (4aa2 15(1

(a0)令dV0,并由a0得唯一駐點a4 ?6 由題意知此旋轉(zhuǎn)體在a4時取最大值，其最大體積為V

32

??8十一、(本題滿分8分

函數(shù)f(x)在0,上可導(dǎo)，f(0)1，且滿足等式f'(x)f(x) xf(t)dt0x1fx（2）x0exf(x解：（1）由題意知(x1)f(xx1f(xxf(t)dt00上式兩邊對x求導(dǎo)，得(x1)f(x)(x2)f(x) ?2設(shè)u

(x

dux x

(x)u

Cexx

ef(0) 1及f f 0，知f 1，從而 1.因此f（2）證法一：x0f(x0f(x

x

.??4又f(0)1，所以f(x)f(0)1 ?5設(shè)(x)f(x)ex，則(0)0,(x)f(x)ex x

exx0時，(x)0，即(x)單調(diào)增加，因而(x)(0)0f(xex綜上所述，當(dāng)x0時，成立不等式exf(x) ?8xx

(t)dtf(xf(0)f(x1f(xx x

x0t1dt.注意到當(dāng)x0時，00t1dt0edt1 ?7因而exf(x) ?8十二、(本題滿分6分設(shè)

11

2

80,8

,B

T，其

2B2A2xA4xB4x

011/ 0

解：A2

0,B

0

2 ??1 2 11

11/ 0

1 1A2TT(T)T2AA48A.代入原方程，得16Ax8Ax16x即8(A2E)x(其中E為3階單位矩陣). ?3分令x(x1,x2,x3)T，代入上式，得到非齊次線性方程組x1x 1 22xx ，解其對應(yīng)的齊次方程組，得通解k2.(k為任意常數(shù))

1x1x2x 2 顯然，非齊次線性方程組的一個特解為

??5 0.1/ 0.k2x*xk2

0

k為任意常數(shù) ?6十三、(本題滿分7分0 a

1 1 9 112231與向量組12,20,36 1 解法一：1和2線性無關(guān)，33122，所以向量組1,2,3線性相關(guān)，且秩2，1,2是它的一個極大線性無關(guān)組 ?2 a由于向量組1,2,3與1,2,3具有相同的秩，故1,2,3線性相關(guān)，從由此解得a3b

21011??53可由1,2,3線性表示，從而可由1,2線性表示，所以1,23線性相關(guān) 于是 10，解之得2b100，于是得a15,b5 ?7 解法二：3可由1,2,3

2

有解 ?1 7

x 3 9b

9

9b

9 61 121

22b-1 22b-

6 7

23b 03b2b-1

10

6 2b由非齊次線性方程組有解的條件知 0，得b5 ?4 又1和2線性無關(guān),33122,所以向量組1,2,3的秩為 ?5 10，解之得a15 ?7 （三一、填空題：(本題共5小題，每小題3分，滿設(shè)z x y,其中f,g均可微,

z15分) yf f f(sy,y

g()

y

ex 若四階A矩陣與B相似,A

,1

1,

則行列式|

E 2341若x 設(shè) 量X的概率密度為f(x)2,若x[3,6],若k使得p{xk} ，則k的值范圍是

9391,若X 設(shè) 量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布; 量Y0,若X0,則方差 1,其他 設(shè)對任意的x,總有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]0，則limf (A)存在且等于 (B)存在但不等于 (C)一定不存 (D)不一定存設(shè)函數(shù)f(x)在xa處可導(dǎo),則函數(shù)|f(x)|在xa處不可導(dǎo)的充分條件

f(a)0且f'(a)f(a)0且f'(a)

f(a)0且f'(a)f(a0且f'(a設(shè)1,2,3AXb的三個解向量，且秩A)31(1,2,3,4)T,23(0,1,2,3)T，c表示任意常數(shù)則線性方程組的通解X 1 0 1 1 (A) (B) 1 (C) 5 6設(shè)A為n階實矩陣,AT是A的轉(zhuǎn)置,則對于線性方程組(Ⅰ):AXO,(Ⅱ):ATAXO必 (Ⅱ)的解是(Ⅰ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解器顯示的溫度不低于臨界溫度t0，電爐就斷電,E表示時間“電爐斷電”，而 (B){T2 (C){T3 (D){T4y2ye2x0y(0)1,y(0)1的解解：y2y0的特征方程為220由此求得特征根10,22 ?1 ?2設(shè)非齊次方程的特解為y*Axe2x， ?3(y*)A2Ax)e2x,(y*4A(1x)e2x.A1，y*1xe2x yy

C1(C

1x)e2x ??52y(0)1和y(0)1代入通解，求得C3,C1y31(12x)e2x

??6D

x2y ，其中D4a2x2yya a2x2a0)和直線yx圍成的區(qū)域D{(r,)|4

DID0

x24a2x24a2x24a20d0

dr 2r2asint，0I

d2a2(1cos 42 2 2a( sin2

a ) ??6

假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是p1182Q1,p212Q2，其中p1p2分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格(單位：萬元/噸)，Q1和Q2分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售量(即需求量,單位:噸)，并且該企業(yè)生 表示該產(chǎn)品在該產(chǎn)品在兩個市場的銷售總量，即QQ1Q2.LRCpQpQ(2Q5)2Q2Q216Q10Q ??11 2 L4Q116令

.解得Q4,Q5 2Q10 則p110(萬元/噸),p27(萬元/噸). ?2分因駐點(4,5)唯一，且實際問題一定存在最大值，故最大值必存在駐點處達(dá)到.最大利潤為L24252164105552(萬元 ?3p1p2，于是有約束條件2Q1Q26構(gòu)造拉格朗日函F(Q,Q,2Q2Q216Q10Q5(2QQ6??4 F4Q1162Q1令F2Q2100，解得Q15,Q24,2，則p1p2 ?5F2Q1Q26最大L25242165104549(萬元 ?6求函數(shù)y(x1)e x2xarctan

1

2e ?1x(,0(0,00y↗↘↗由此可見，遞增區(qū)間為(,1),(0,)，遞減區(qū)間為(1,0) ?3 極小值為f(0)e2，極大值為f(1)2e4. ?4分由于alimf(x)e，blimf(x)ax2e， alimf(x)1，blimf(x)ax 可見漸近線為；yaxbe(x ?6 y2a2xb2x2 ??7I4sinnxcosxdxn0,12,，求I

n

n1解：由I 40 0

xd(sinx)

n

(sin

1(2)n1 n 1(2有Inn

??2S(x

xn1R1，在(1,1)S(x

1.??3n0n 1x 于是S(x)01tdtln|1x ?4 x

2(1,1)，則S

2)

(2

ln 2

n0n 從而

4sinnxcosxdxln(200

??6可由1,2,3線性表出，且表示唯一不能由1,2,3線性表出可由1,2,3線性表出，但表示不唯一?并求出一般表達(dá)式解法一：設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3,使得k11k22k33 ?1 該方程組的系數(shù)行列式|A

a4 ??2當(dāng)a4時|A|0可由1,2,3線性表出,且表示唯一??3當(dāng)a4時, 11 b b 0

若3bc1，則秩(A)秩(A)，方程組無解，不能由1,2,3線性表出 ?5當(dāng)a4，且3bc1時，秩(A秩(A23 ?6解得k1t,k22tb1k32b1t為任意常數(shù)因此有t1(2tb1)2(2b1)3 ?8解法二：設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3，使得k11k22k33. ?1分 11

A b

1ab ??2 c

0 c2 當(dāng)2a0時,即a4時，秩(A秩(A32當(dāng)2a0，即a42A 2 A 0 1 013bc 若3bc1,則秩(A)秩(A),方程組無解,不能由1,2,3線性表出 ?5同解法一f(x,x,,x)(xax)2(xax)2 x)2(xax)2 1 2 n1 n其中aii1,2,na1,a2,f(x1x2xn)為正定二次型

滿足何種條件時，二次型解：有題設(shè)條件知，對于任意的x1x2xn，有f(x1x2xn)0，其中等號成xax 2當(dāng)且僅當(dāng) ?2 x n11010 001 0

11)n1aaa0 ??6 1 f(x1x2xn ??8即當(dāng)aaa(1)n時,二次型f(x,x,,x)為正定二次型 ?91 十一、(本題滿分8分0.50，1.25，0.80，2.00X的簡單隨機(jī)樣本值.已知YlnN(,1)X的數(shù)學(xué)期EXEX為b利用上述結(jié)果求b的置信度為0.95的置信區(qū)間yu解：(1)Y的概率密度為f(y) ,y，于是，(令tybEXEey

2 ??2

22dy

12

(t1e2 ??31

e2 ??4當(dāng)置信度為10.95時,0.05.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平為0.05141)于1.96.故由YN(141)4

Y }0.95，5其中Y1(ln0.5ln0.8ln1.25ln2)1ln10.P{0.980.98}0.95 從而(0.98,0.98)就是的置信度為0.95的置信區(qū) ?6由ex的嚴(yán)格遞增性，可 0.95P{0.48 1.48}P{e0482

2e1 ??7因此b的的置信度為0.95的置信區(qū)間為(e048,e148) ?8 1,若A出現(xiàn) 1,若 1,若A出現(xiàn) 1,若B出現(xiàn) 量X ,Y 1，若A不出現(xiàn) 1，若B不出現(xiàn)試證明隨量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨立解：P(Ap1P(Bp2P(ABp12.由數(shù)學(xué)期望定義，可EXP(AP(A2p11EY2p2 ??2EXY.XY1和1P{XY1P(ABP(AB2p12p1p2 ??3P{XY11P{XY1p1p22p12 ??4 ??5從而Cov(X,Y)EXYEXEY4P124p1p2, ?7分因此，Cov(X,Y)0當(dāng)且僅當(dāng)P12p1p2，即X和Y不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)A與B相互獨立 ?8（四 xdx 22 x21x 3若a0,b0均為常數(shù)，則limaxbxx x0 設(shè)1,0,1TATn為正整數(shù)，則|aEAn|a2a2n)已知四階矩陣A相似于B，A的特征值為2，3，4，5，E|BE| 同數(shù)學(xué)第一、（5）題同數(shù)學(xué)第二、（1）題同數(shù)學(xué)第二、（2）題同數(shù)學(xué)第二、（3）題設(shè)A,B,C三個兩兩獨立,則A,B,C相互獨立的充分必要條件 A與BC獨 (B)AB與AC獨(C)AB與AC獨 arctan同數(shù)學(xué)第二、（5）arctan

ABAC三、(本題滿分6分)已知zuv,u

v y，求dz Z Z

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