賦值法的解題功能

PAGEPAGE2賦值法的解題功能浙江省奉化中學(xué)孫偉奇315500所謂賦值，就是給命題中某些字母（或量）賦上一定的數(shù)值，這樣做，?？梢源蛲ń忸}思路、簡化某些解題過程，收到以簡馭繁、化難為易的效果．本文就賦值法的解題功能談?wù)勛约旱墓芤姡?、探路功能對變量賦以某些滿足命題條件的特殊值，常能有效地打通解題思路．例1、求1，2，3，……，中所以數(shù)字之和．分析：取，易求出數(shù)字和為，其特點是“數(shù)字和”通過“數(shù)值和”而求得．再取，即求1，2，3，……，99中所有的數(shù)字的和，依照上述“數(shù)值和”的配對方法：1+99=100，2+98=100，…，不能得出數(shù)字和：1+9+9=19，2+9+8=19，…，究其原因，是配對中的進(jìn)位干擾，造成了數(shù)字和的失真，若能找到一個不進(jìn)位的的配對，如1+98=99，則兩邊的數(shù)字和與數(shù)值和就完全統(tǒng)一起來了．據(jù)此，我們設(shè)中的所有數(shù)字和為則解：=２、篩選功能這里的篩選包括“篩”和“選”兩種形式。“篩”就是把一些特殊的不滿足條件的元素篩除，“選”就是把一些特殊的滿足條件元素選出。例2、對于每一對實數(shù)函數(shù)滿足，若則滿足的整數(shù)有多少對？解：將代入已知式可得：……①（1）用連續(xù)代入①可知為正整數(shù)時，對于正整數(shù)有，從而可知無大于1的整數(shù)解，又……②，得，現(xiàn)有，以及對有，這樣對有無小于的整數(shù)解，由此得滿足的整數(shù)有2個。以上對所進(jìn)行的賦值，不僅起到了“篩”的作用，也發(fā)揮了“選”的功能。３、轉(zhuǎn)化功能大家熟知的多項式的因式分解，是一種帶有較強(qiáng)技巧性的數(shù)學(xué)問題，對于一些次數(shù)較高或元數(shù)較多的多項式因式分解，解答就更加困難，而利用賦值法可把式中的字母用數(shù)字代換，這樣因式分解的問題就可以轉(zhuǎn)化為質(zhì)因數(shù)的分解問題，從而“化難為易”．例3、因式分解解：用10代將924分解質(zhì)因數(shù)：考慮到常數(shù)項是進(jìn)行適當(dāng)組合：４、構(gòu)造功能通過賦值構(gòu)造一些等式也是賦值法的一個常用的解題功能例4、因式分解解：設(shè)原式可以分解為,令則上式變?yōu)樗裕?可得.經(jīng)檢驗知，原式＝例5、（2001年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）若的展開式為的值．解：令令則以上三式相加得：本題利用賦值法．首先，令，其次，又令．構(gòu)造出三個等式，然后通過疊加，巧妙的得出了結(jié)果．5、模式識別功能我們知道解題中生發(fā)思路的過程，就其實質(zhì)而言是模式識別與模式構(gòu)造的過程，而恰到好處的賦值有時可以幫助我們將待解決的陌生問題轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個我們比較熟悉的問題．例5、在線段AB的兩個端點處，一個標(biāo)以紅色，一個標(biāo)以藍(lán)色，在線段中間插入個分點，在各個分點上隨意地標(biāo)上紅色或者藍(lán)色，這樣就把原來的線段分成為段不重合的線段，這些小線段的兩端顏色不同叫做標(biāo)準(zhǔn)線段．試證：標(biāo)準(zhǔn)線段的個數(shù)是奇數(shù)．證明：這是一道可用數(shù)學(xué)歸納法證明的問題，其思路和證明過程是較復(fù)雜的．現(xiàn)先把這些涂色的點賦值，比如紅色賦上，再把這些賦了值的點在圖上標(biāo)出，然后把相鄰點間連以線段，組成折線，這些標(biāo)準(zhǔn)線段都穿過線段AB，而非標(biāo)準(zhǔn)線段則不然．（如圖）因A、B異色，它們分別賦以,這樣折線穿過線段AB的次數(shù)應(yīng)為奇數(shù)，些即說標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)為奇數(shù)．例6、男女若干人圍坐一圓桌，若相鄰為同性者中間插一紅花，異性者中間插一藍(lán)花，若所插紅花與藍(lán)花朵數(shù)一樣，則男女總?cè)藬?shù)必是4的整數(shù)倍．證明：我們把男人女人分別用和表示，這樣或時插紅花，或時插藍(lán)花，即：兩“數(shù)”積為“時插紅花，為“”時插藍(lán)花，這樣問題化為：是一種排列，它們均為或，若，則必為4的倍數(shù)．由上題的結(jié)論知，在點之間的標(biāo)準(zhǔn)線段個數(shù)人偶數(shù)(),即在中的個數(shù)是偶數(shù)個，不妨記為又這些和為0，故其中的個數(shù)亦為，故共有和()，從而證明了命題．6、批判功能對于一些些問題解答，賦于一些特殊值可檢驗答案是否正確，如果發(fā)現(xiàn)不對，可引導(dǎo)我們?nèi)プ穼そ獯鸬腻e誤之所在．例6、求函數(shù)的最小正周期．分析：很多學(xué)生是這樣求解的：上述過程從表面上看，似乎沒有有問題，但如果給予賦以特殊值，即令時，對題目中的如果周期是，那么應(yīng)有無意義，可知解答是錯誤的．錯誤的原因是變形擴(kuò)大了原來函數(shù)的定義域，從而影響其周期．解：考慮到原函數(shù)的定義域，應(yīng)有如下變形：且．注意到的周期為，…，但由于有意義，而不在的定義域內(nèi)故因此不是的周期，從而