有限元基礎(chǔ)三

2.3廣義坐標有限單元法的一般格式常用二維單元3結(jié)點單元6結(jié)點單元4結(jié)點單元8結(jié)點單元常用三維單元2.3.1選擇單元位移函數(shù)的一般原則原則1：廣義坐標的個數(shù)應與單元結(jié)點自由度數(shù)相等否則待定廣義坐標無法以單元結(jié)點位移來表示。例如：3結(jié)點三角形單元有6個自由度，因此其廣義坐標個數(shù)只能是6，每個方向3個。

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y原則2：多項式中常數(shù)項和坐標的一次項必須完備例：u=1+2x+3y

v=4+5x+6y目的：確保所選位移模式能反映單元的剛體位移和常應變特性原則3：多項式選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式對于平面問題：一次完全多項式：x,y二次完全多項式：x2,xy,y2三次完全多項式：x3,x2y,xy2,y3若由于項數(shù)限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應具有坐標對稱性。且一個方向的次數(shù)不應超過完全多項式的次數(shù)。如二次：xy三次：x2y,xy22.3.2廣義坐標有限元的一般格式1.以廣義坐標為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移uu=(2.3.1)對于二維問題3結(jié)點三角形單元

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y2.用單元結(jié)點位移表示廣義坐標慣用的單元結(jié)點位移排列是

ae=[u1

v1

u2

v2

]T為清楚地表明求解廣義坐標的過程，可暫時采用另一表示方法=[u1

u2v1

v2]T將單元結(jié)點坐標代入位移模式(2.3.1)得：(2.3.2)對于二維問題由(2.3.2)式解出(2.3.3)對于二維問題為的伴隨矩陣其中3.以單元結(jié)點位移ae表示單元位移函數(shù)u將(2.3.3)式代入(2.3.1)式，得(2.3.4)對于二維問題將結(jié)點位移改為一般排列順序ae，則有(2.3.5)4.以單元結(jié)點位移ae表示單元應變和應力應變：(2.3.6)應力：由彈性變形產(chǎn)生的應力當有初應力和初應變時，應力的一般表達式為(2.3.7)5.用最小位能原理建立離散體系的結(jié)點平衡方程系統(tǒng)總位能的離散形式(2.3.8)將，，u等代入，并以結(jié)構(gòu)結(jié)點位移a來表示單元結(jié)點位移ae，即ae＝Ga則系統(tǒng)總位能為：（2.3.9）總位能的變分p＝0，得有限元求解方程

Ka＝P（2.3.10）其中K＝GTKeG（2.3.11）（2.3.12）方程（更2.3瀉.10產(chǎn)）中載社荷項：（2.3始.13）其中（2.際3.1條4）6.閉引入具強制邊休界條件懲7.罷解甘方程得挖到結(jié)點犁位移攜8.禾進行皺必要的岸輔助計仇算廣義坐偽標有限葉元可能瞇產(chǎn)生的庭困難：當位移函暖數(shù)選擇不驅(qū)恰當時，A-1可能不存易在，使得鉗求解廣義急坐標成為不可能。當單元象結(jié)點較而多時，貨求解廣居義坐標的過程太才復雜。2.4蜜有限元譜解的性質(zhì)廣和收斂性2.4鞏.1柔有限質(zhì)元解的愿收斂準筍則以一個標組量場函數(shù)染為例討論緒：微分方雄程巖A()＝屯L（）＋b包＝0相應的龍泛函為假定中包含和它直至m階的各序階導數(shù)峰，若m階導數(shù)吐非零，翅則近似疾函數(shù)呼至少必姜須是m次多項式鋤。若取p次完全多師項式為試付探函數(shù)，岔則必須滿詠足p≥m，這時知及訪其各階導藥數(shù)為：收斂準則測1：完奪備性要求如果出攀現(xiàn)在泛滿函中的辯場函數(shù)餡的最高衛(wèi)階導數(shù)商是m階，則有束限元解收事斂的條件玻之一是單塔元內(nèi)場函紛數(shù)的試探頸函數(shù)至少獲是m次完全多傭項式?；虺凑哒f，試躍探函數(shù)中番必須包含呀本身和直靠至m階導數(shù)塊為常數(shù)嫂的項。單元的插嫁值函數(shù)滿勾足上述要彈求時，稱喚單元是完備的。收斂準屈則2冤：協(xié)調(diào)芝性要求如果出廳現(xiàn)在泛牽函中的籃最高階臂導數(shù)是m階，則試鉤探函數(shù)在茂單元交界酬面上必須術(shù)具有Cm-1連續(xù)性，肯即在相鄰確單元的交吸界面上應土有函數(shù)直漆至m-1鑰階的連解續(xù)導數(shù)熱。當單元廢的插值蒜函數(shù)滿練足上述擊要求時陽，我們養(yǎng)稱單元劈燕是協(xié)調(diào)的。當選取的矛單元既完桑備又協(xié)調(diào)析時，有限勇元解是收泥斂的，即電當單元的驅(qū)尺寸趨于亮零時，有此限元解趨徑于真解。這種單元倦稱為是協(xié)調(diào)元。需要指出惹，在某些沙情況下，菠可以放松蠶對協(xié)調(diào)性銅的要求，跳只要這種香單元能通然過分片試摘驗，有限場元解仍然窩可以收斂職于正確的卸解答。這瘋種單元稱笛為非協(xié)調(diào)質(zhì)元。2.4逆.2厚收斂被準則的峽物理意西義以平面問變題為例，覺泛函中出現(xiàn)氏的是位亂移u和v及其一誕階偏導薪數(shù)，xyxy，因此m＝1費。收斂準則獲1要慢求插值函叛數(shù)至少是x、y的一次貧完全多宋項式。u＝1+2x+3yv＝4+5x+6y這樣才六能保證的由此構(gòu)漆成的有孩限元解柿能夠反降映單元零的剛體中位移和宇常應變規(guī)狀態(tài)。收斂準則村2要歌求位移函站數(shù)在單元億交界處具茂有C0連續(xù)性。粘即要求位盲移函數(shù)本鼠身在單元偉交界處連錦續(xù)。如果位獅移不連顏續(xù)，將戶出現(xiàn)兩季個問題燦：不連續(xù)嬌位移將認導致無溉限大應辱變，從航而使應止變能增暢大。位移不連挽續(xù)意味著東出現(xiàn)裂縫襖或相互嵌蛙入。梁單元僚，泛函匙中出現(xiàn)脖4輩階導數(shù)滑，即m＝40階矛導數(shù)，某即位移聽本身表利示梁的菜撓度；1階裝導數(shù)表哀示梁的肝轉(zhuǎn)角，波或梁軸蒸線的傾軟角2階導課數(shù)表示梁次的軸線曲沫率或彎矩3階導粥數(shù)表示梁午的剪力4階導零數(shù)表示梁懸的載荷集穴度2.4羞.3座收斂湊速度和奪精度估而計位移場函盈數(shù)的精確季解總可以勾在域內(nèi)一塑點的領(lǐng)域?qū)?nèi)展開成妙一個多項采式：在尺寸為h的單元內(nèi)望，如果插債值函數(shù)采羨用p階完全多志項式，則秒它能擬合政上式直到粒第p階，所以貼誤差為O(hp+1)。例如：泡3結(jié)閉點三角緒形單元俗，p=1，刻則u的誤差為O(h2)。當單包元尺寸減帖半時，誤墊差是前次必網(wǎng)格的(怒1/2)2=1/摧4。誤差估慌計與解析帳解相比盟、與同升類問題賭相比不同單壇元尺寸真的解相夾比對于協(xié)調(diào)丈元，如已妙知收斂速奧度為O(hr)，則傲可由下顏式預測敘精確解濃：對于3顫結(jié)點三孕角形單元疾，如r=2，n=2，升則可推得思：u＝(免4u2—u1)/榴3離散誤差惱與截斷誤程差離散誤差撓是有限元拒方法本身頭的誤差截斷誤書差和舍頂入誤差沙是計算額機有效丸位數(shù)造呆成的誤誼差結(jié)構(gòu)的病熊態(tài)和網(wǎng)格派畸形會嚴覽重擴大截些斷誤差和宵舍入誤差輝的影響。2.4.渠4位弟移有限元材解的下限靜性質(zhì)系統(tǒng)總墳位能由變分P=0得有限差元求解桌方程：Ka=P代入總椒位能式身得：即在平票衡狀態(tài)漸下，系列統(tǒng)總位痕能等于竭負的應亮變能。因此，炊當P→Pmi距n時，U→Umax在有限閉元解中由于：則有即因為所以可見近似