矩陣及其運(yùn)算演示文稿

矩陣及其運(yùn)算演示文稿目前一頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)第五講

矩陣及其運(yùn)算一、矩陣二、矩陣的運(yùn)算目前二頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例1

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣1.引例目前三頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)為了便于計(jì)算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況.目前四頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例2

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．目前五頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作2.矩陣的定義

定義1由

m×n

個(gè)數(shù)排成的

m行

n列的數(shù)表目前六頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.簡記為目前七頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)行數(shù)不等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式目前八頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)（1）行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.（2）只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).（3）元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：3.特殊的矩陣目前九頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)（4）形如的方陣稱為對角矩陣．當(dāng)時(shí)，稱為數(shù)量矩陣.

特別地，方陣稱為單位矩陣．記作記作．目前十頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)4.同型矩陣與矩陣相等（1）

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.（2）兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對應(yīng)

元素相等，即

則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.目前十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)注：不同型的零矩陣是不相等的.

矩陣之間不能比較大小.例如目前十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)例3某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．二、矩陣的運(yùn)算目前十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量目前十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)1.矩陣的加法定義2設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.目前十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)知識點(diǎn)比較目前十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣．顯然目前十七頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例4（續(xù)例2）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．目前十八頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．目前十九頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)2.數(shù)與矩陣相乘定義3數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA或

Al

，規(guī)定為目前二十頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)知識點(diǎn)比較目前二十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.目前二十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例5（續(xù)例2）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．目前二十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．目前二十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)可用矩陣表示為一般地，目前二十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)3.矩陣的乘法定義4設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．目前二十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)例6設(shè)則目前二十七頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)知識點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.目前二十八頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)例7

結(jié)論：（1）矩陣乘法不一定滿足交換律.（2）矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．目前二十九頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)結(jié)合律(3)分配律(2)結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論1矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.數(shù)量陣不同于對角陣目前三十頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立目前三十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)4.矩陣的轉(zhuǎn)置定義5把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例目前三十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)目前三十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)例8已知解法1目前三十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)解法2目前三十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)定義6設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱矩陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱矩陣.對稱矩陣反對稱矩陣目前三十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十六點(diǎn)5.方陣的行列式定義7由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)定義8設(shè)A是

n階方陣，當(dāng)|A|=0時(shí)，稱A為奇異矩陣（或退