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矩陣的運(yùn)算演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)一、矩陣的加法下頁(yè)
1.定義2.3設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣ABa11+b11
a12+b12
a1n+b1na21+b21
a22+b22
a2n+b2nam1+bm1
am2+bm2
amn+bmn=。a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amnA=,b11
b12
b1nb21
b22
b2nbm1bm2
bmnB=,A與B對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和,記為AB。即目前二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
例1.設(shè)357
22043012
3A=,132
02157064
8B=,則357
22043012
3A+B=132
02157064
8+3+15+37+2
2+02+20+14+53+70+01+62+4
3+8=489
241910076
11。=下頁(yè)矩陣的加法:設(shè)A(aij)mn與B(bij)mn,則A+B=(aij+bij)mn。目前三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)2.運(yùn)算規(guī)律注意:
只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),
設(shè)A,B,C為同型矩陣,則
(1)A+B=B+A(加法交換律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法結(jié)合律);加法運(yùn)算。二者才能進(jìn)行目前四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)3.負(fù)矩陣與矩陣減法
若記-A=(-aij),則稱-A為矩陣A的負(fù)矩陣.顯然有A+(-A)=O.定義矩陣的差為:
A-B=A+(-B).其中O
是與
A
同型的零矩陣;例如,C
的負(fù)矩陣為:目前五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amnA=,
定義4.4設(shè)A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積,記為kA。即ka11
ka12
ka1nka21
ka22
ka2nkam1
kam2
kamnkA=。下頁(yè)二、數(shù)與矩陣相乘(數(shù)乘)目前六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)矩陣的數(shù)乘:設(shè)A(aij)mn,則kA=(kaij)mn。
例2.設(shè)357
22043012
3A=,則3A357
22043012
3=3333537
3232303433303132
33=91521
66012
9036
9=。下頁(yè)目前七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
行列式的某行(或列)有公因子即可提出,
但矩陣的每一個(gè)元素都有公因子時(shí)才可以提出.思考:數(shù)與行列式相乘和數(shù)與矩陣相乘有什么區(qū)別?答:數(shù)與行列式相乘,是將數(shù)乘到行列式中的某一行(或列);而數(shù)與矩陣相乘,是將數(shù)乘矩陣中的每一個(gè)元素。即:目前八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)2.數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算律設(shè)A,B為同型矩陣,λ,μ為常數(shù),則(1)(λμ)A=λ
(μA);結(jié)合律(2)(λ+μ)A=λ
A+μA.分配律(3)λ(A+B)=λA+λB.分配律矩陣加法與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。目前九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
例3.設(shè)357
22043012
3A=,132
02157064
8B=,求3A-2B。
解:3A-2B
357
22043012
3=3132
02157064
8-2264
04210140128
16-91521
66012
9036
9=。7917
62-22
-50-9-2
-7=9-215-621-4
6-06-40-212-10
9-140-03-126-8
9-16=下頁(yè)目前十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
例4.已知357
22043012
3A=,132
02157064
8B=,且A+2X=B,求X。下頁(yè)練習(xí)目前十一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
定義2.5設(shè)A是一個(gè)ms矩陣,B是一個(gè)sn矩陣:構(gòu)成的mn矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積,記為CAB。下頁(yè)則由元素cijai1b1jai2b2j
aisbsj(i1,2,,m;j1,2,,n)。
a11
a12
a1sa21
a22
a2sam1
am2
amsA=,b11
b12
b1nb21
b22
b2nbs1
bs2
bsnB=,c11
c12
c1nc21
c22
c2ncm1
cm2
cmnAB=。即三、矩陣的乘法目前十二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)B=,求AB及BA。A=,
例5.設(shè)231-2311-2-32-10解:231-2311-2-32-10AB==-6-78下頁(yè)目前十三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)B=,求AB及BA。A=,
例5.設(shè)231-2311-2-32-10解:231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3;下頁(yè)目前十四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)B=,求AB及BA。A=,
例5.設(shè)231-2311-2-32-10解:231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35;下頁(yè)目前十五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)B=,求AB及BA。A=,
例5.設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983,解:231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35;下頁(yè)目前十六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
例6.設(shè)A=,4-2-21B=,求AB及BA。4
2-6-3AB=4-2-214
2-6-3解:-32-16168=,BA=4-2-214
2-6-30
000=,B=,求AB及BA。A=,
例5.設(shè)231-2311-2-32-10解:AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983。下頁(yè)目前十七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
例6.設(shè)A=,4-2-21B=,求AB及BA。4
2-6-3AB=解:-32-16168,BA=0
000,B=,求AB及BA。A=,
例5.設(shè)231-2311-2-32-10解:AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983??梢?,矩陣乘法一般不滿足交換律,即ABBA。兩個(gè)非零矩陣相乘,可能是零矩陣,從而AB=O推不出A=O或B=O。下頁(yè)練習(xí)目前十八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)1110
例7.設(shè)A=,B=,求AB及BA。2110解:11102110AB=3110=,21101110BA=3110=,顯然AB=BA。如果兩矩陣A與B相乘,有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換。下頁(yè)目前十九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)解:設(shè)可交換的一切矩陣。
例8.求與矩陣A=010001000B=,abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么,,下頁(yè)目前二十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)解:設(shè)可交換的一切矩陣。
例8.求與矩陣A=010001000B=,abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=,BA0ab0a1b10a2b2=。令A(yù)B=BA,則有a1=a2=b2=0,b1=c2=a,c1=b。于是與A可交換的矩陣為Babc0ab00a=,其中a,b,c為任意數(shù)。下頁(yè)目前二十一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)顯然AC=BC,但AB。矩陣乘法不滿足消去律。下頁(yè)目前二十二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)(1)(AB)C=A(BC);(2)(A+B)C=AC+BC;(3)C(A+B)=CA+CB;(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)。應(yīng)注意的問題:
(1)ABBA;
(3)AB=OA=O或B=O。/(2)AC=BCA=B。/下頁(yè)
例11.證明:如果CA=AC,CB=BC,則有(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB)。證:因?yàn)镃A=AC,CB=BC,所以有(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B),(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)。矩陣乘法的性質(zhì):目前二十三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)四、方陣的冪
如果A
是n
階矩陣,那么AA
有意義,也有意義,(1)定義k個(gè)A相乘稱為A的k
次冪,記為Ak,
定義
設(shè)A
是n
階矩陣,k是正整數(shù),
規(guī)定
A1=A,
A2=A?A,…,
Ak+1=Ak?A,即因此有下述定義:目前二十四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)(2)運(yùn)算規(guī)律設(shè)A為方陣,k,l為正整數(shù),則對(duì)n階方陣A
與B一般來(lái)說(shuō),由于矩陣乘法一般不滿足交換律,
AkAl=注意的乘法公式不一定成立.
所以初等數(shù)學(xué)中(AB)k
AkBk
;(A+B)2
A2+2AB+B2;(A+B)(A-B)A2-B2;(Ak)l=Ak+l,Akl.目前二十五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)
定義2.6將mn矩陣A的行與列互換,得到的nm矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A。即如果a11a21…am1
a12a22…am2
a1na2n…amn
…………
A=,a11a12…a1n
a21a22…a2n
am1am2…amn
…………
AT
=則。例如,設(shè)x=(x1
x2
xn),y=(y1
y2
yn),則(y1
y2
yn)xTyx1x2xn
==x1y1x2y1…xny1
x1y2x2y2…xny2
x1ynx2yn…xnyn
…………
。下頁(yè)五、矩陣的轉(zhuǎn)置目前二十六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì):(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;下頁(yè)a11a21…am1
a12a22…am2
a1na2n…amn
…………
A=,a11a12…a1n
a21a22…a2n
am1am2…amn
…………
AT
=則。
定義2.6將mn矩陣A的行與列互換,得到的nm矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A。即如果五、矩陣的轉(zhuǎn)置(4)(AB)T=BTAT
。目前二十七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于十六點(diǎn)例設(shè)A與B是兩個(gè)n階矩陣。證明:AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換。
證:因?yàn)锳、B是對(duì)稱矩陣,所以1、若AB是對(duì)稱矩陣,則有于是有所以A與B可交換。2、若A、B是可交換,則有于是有所以AB是對(duì)稱矩陣。
證畢目前二
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