2023屆浙江金華市浙師大附中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上，不同的種植方法共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．若a=72-12，b=27A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．c<a<b3．已知命題,那么命題為A． B．C． D．4．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．（2018年天津卷文）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．6 B．19 C．21 D．456．函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．7．已知曲線，給出下列命題：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②曲線關(guān)于軸對(duì)稱；③曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④曲線關(guān)于直線對(duì)稱；⑤曲線關(guān)于直線對(duì)稱，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機(jī)變量的是()A．出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù) B．出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)C．出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù) D．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)9．在區(qū)域內(nèi)任意取一點(diǎn)，則的概率是（）A．0 B． C． D．10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，垂足為A，如果為正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．1211．已知是四面體內(nèi)任一點(diǎn)，若四面體的每條棱長(zhǎng)均為，則到這個(gè)四面體各面的距離之和為（）A． B． C． D．12．已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上,則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則_________;14．已知，則=________.15．觀察下列等式：按此規(guī)律，第個(gè)等式可為__________．16．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則公比__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在矩形中，為CD的中點(diǎn)，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.18．（12分）為了了解甲、乙兩校學(xué)生自主招生通過情況，從甲校抽取51人，從乙校抽取41人進(jìn)行分析.通過人數(shù)末通過人數(shù)總計(jì)甲校乙校31總計(jì)51（1）根據(jù)題目條件完成上面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為自主招生通過情況與學(xué)生所在學(xué)校有關(guān)；（2）現(xiàn)已知甲校A，B，C三人在某大學(xué)自主招生中通過的概率分別為，用隨機(jī)變量X表示A，B，C三人在該大學(xué)自主招生中通過的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．參考公式：.參考數(shù)據(jù)：1．141．111．141．1241．111．1141．1112．1622．6153．8414．1245．5346．86911．82819．（12分）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，曲線C由以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的半圓和中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的半橢圓構(gòu)成，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線與曲線C交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.20．（12分）已知函數(shù)（1）若在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值；（2）若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（Ⅰ）求橢圓的方程．（Ⅱ）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．22．（10分）在中，角，，的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）已知等差數(shù)列的公差不為零，若，且，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、先在4種蔬菜品種中選出3種，有種取法，②、將選出的3種蔬菜對(duì)應(yīng)3塊不同土質(zhì)的土地，有種情況，則不同的種植方法有種；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意本題問題要先抽取，再排列．2、D【解析】

利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算比較得解.【詳解】因?yàn)?7-1故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結(jié)論,故選C.4、C【解析】，故答案選5、C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.6、A【解析】

先求出切點(diǎn)的坐標(biāo)和切線的斜率，再寫出切線的方程.【詳解】當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=-2+0=-2，所以切點(diǎn)為（1,-2）,由題得，所以切線方程為y+2=-1·(x-1),即：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

根據(jù)定義或取特殊值對(duì)曲線的對(duì)稱性進(jìn)行驗(yàn)證，可得出題中正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱，命題①正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱，命題②正確；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題③正確；在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，則曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，命題④錯(cuò)誤；在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，則曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，命題⑤錯(cuò)誤.綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線對(duì)稱性的判定，一般利用對(duì)稱性的定義以及特殊值法進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.8、A【解析】

根據(jù)隨機(jī)變量的定義可得到結(jié)果.【詳解】拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)點(diǎn)，出現(xiàn)點(diǎn)為不可能事件出現(xiàn)點(diǎn)的次數(shù)不能作為隨機(jī)變量本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的定義，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計(jì)算公式，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域?yàn)橐哉叫蜲ABC的內(nèi)部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計(jì)算公式，可得點(diǎn)P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的圖形的面積，進(jìn)而由其公式計(jì)算．10、C【解析】

設(shè)準(zhǔn)線l與軸交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，這兩個(gè)條件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)準(zhǔn)線l與軸交于點(diǎn)，所以，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本題選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義．11、A【解析】

先求出正四面體的體積，利用正四面體的體積相等，求出它到四個(gè)面的距離.【詳解】解：因?yàn)檎拿骟w的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和，

設(shè)它到四個(gè)面的距離分別為，

由于棱長(zhǎng)為1的正四面體，四個(gè)面的面積都是；

又頂點(diǎn)到底面的投影在底面的中心，此點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的，

又高為，

所以底面中心到底面頂點(diǎn)的距離都是；

由此知頂點(diǎn)到底面的距離是；

此正四面體的體積是.

所以：，

解得.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的體積計(jì)算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力與計(jì)算能力.12、A【解析】

分析：等式分子分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理，得出，再將的坐標(biāo)代入中求解即可.詳解：，所以．解得故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式，在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)在直線上，則坐標(biāo)滿足直線方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先結(jié)合分段函數(shù)的解析式計(jì)算，代入可求出的值．【詳解】由題意可知，，因此，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，在計(jì)算多層函數(shù)值時(shí)，遵循由內(nèi)到外逐層計(jì)算，同時(shí)要注意自變量的取值，選擇合適的解析式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、-1【解析】試題分析：把給出的函數(shù)求導(dǎo)，在其導(dǎo)函數(shù)中取x=1，則f′（1）可求．解：由f（x）=x1+3xf′（1），得：f′（x）=1x+3f′（1），所以，f′（1）=1×1+3f′（1），所以，f′（1）=﹣1．故答案為﹣1．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．15、(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)【解析】

試題分析：題目中給出的前三個(gè)等式的特點(diǎn)是第一個(gè)等式的左邊僅含一項(xiàng)，第二個(gè)等式的左邊含有兩項(xiàng)相乘，第三個(gè)等式的左邊含有三項(xiàng)相乘，由此歸納第n個(gè)等式的左邊含有n項(xiàng)相乘，由括號(hào)內(nèi)數(shù)的特點(diǎn)歸納第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個(gè)等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1開始幾個(gè)相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)等于左邊的括號(hào)數(shù)，由此可知第n個(gè)等式的右邊為?1?3?5…（2n-1）．所以第n個(gè)等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=?1?3?5…（2n-1）．故答案為16、【解析】分析：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把等式改寫成含有和的式子，聯(lián)立方程組求解即可.詳解：由題意得：，兩式相除消去并求解得：，，.故答案為：.點(diǎn)睛：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而證明平面平面；（2）結(jié)合（1），如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值．【詳解】（1）證明：設(shè)，在矩形中，由為的中點(diǎn)，易求得：，所以．所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平?（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即不妨取，得，設(shè)平面與平面所成二面角為θ，，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空間向量解決問題的能力，屬于中檔題．18、（1）填表見解析，有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過情況與所在學(xué)校有關(guān)（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，并計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表找出犯錯(cuò)誤的概率，于此可對(duì)題中的結(jié)論正誤進(jìn)行判斷；（2）列出隨機(jī)變量的可能取值，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出隨機(jī)變量在每個(gè)可能值處的概率，可列出隨機(jī)變量的概率分布列，并由此計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：通過人數(shù)未通過人數(shù)總計(jì)甲校214151乙校312141總計(jì)4151111由算得：，所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過情況與所在學(xué)校有關(guān)；（2）設(shè)自主招生通過分別記為事件，則.∴隨機(jī)變量的可能取值為1，1，2，3.，，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為：.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，考查隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解，解題時(shí)要判斷出隨機(jī)變量所服從的分布列，結(jié)合分布列類型利用相關(guān)公式計(jì)算出相應(yīng)的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，分別求出曲線上半部分和下半部分直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，即可得到曲線的極坐標(biāo)方程；（2）由題可知要使面積最大，則點(diǎn)在半圓上，且，利用極坐標(biāo)方程求出，由三角形面積公式即可得到答案。【詳解】（1）由題設(shè)可得，曲線上半部分的直角坐標(biāo)方程為，所以曲線上半部分的極坐標(biāo)方程為.又因?yàn)榍€下半部分的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以曲線下半部分極坐標(biāo)方程為，故曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）由題設(shè)，將代入曲線的極坐標(biāo)方程可得：.又點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，所以．由面積公式得：當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，利用極坐標(biāo)的幾何意義求三角形面積，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，屬于中檔題20、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由不等式求得增區(qū)間，由不等式得減區(qū)間，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值從而求得最大值和最小值．（2）由（1）可求得的極大值和極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則極大值大于0，且極小值小于0，做賬昢的范圍．也可把問題轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)解，只要求得的極大值和極小值，就可得所求范圍．詳解：(1)因?yàn)樗院瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為又由，，點(diǎn)睛：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，解不等式可得增區(qū)間，解不等式可得減區(qū)間，從而可得極值，而要求函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值時(shí)，可求得函數(shù)在相應(yīng)開區(qū)間上的極值，再求出區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較可得最大值和最小值．21、（Ⅰ）（Ⅱ）的最大值為．【解析】試題分析：（Ⅰ）結(jié)合題意可得所以，由可解得，故得橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)圓的圓心為，由向量的知識(shí)可得，從而將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而的最大值為．試題解析：（I）由題