2023屆遠(yuǎn)程授課山西省大同市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，函數(shù)，若對(duì)任意給定的，總存在，使得，則的最小值為（）A． B． C．5 D．62．已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．53．已知曲線的一條切線的斜率為2，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．1 B．ln2 C．2 D．e4．我們正處于一個(gè)大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的時(shí)代，對(duì)于大數(shù)據(jù)人才的需求也越來越大，其崗位大致可分為四類：數(shù)據(jù)開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)產(chǎn)品.以北京為例，2018年這幾類工作崗位的薪資（單位：萬元/月）情況如下表所示.由表中數(shù)據(jù)可得各類崗位的薪資水平高低情況為A．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)分析 B．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析C．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)產(chǎn)品 D．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)開發(fā)5．已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若且的周長為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個(gè)長方體沿不在同一表面上的相對(duì)兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A． B． C．-2 D．29．設(shè)為隨機(jī)變量，，若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則等于（）A． B．C． D．10．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．這是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“…”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)=（）A．2 B．3 C．4 D．611．從一口袋中有放回地每次摸出1個(gè)球，摸出一個(gè)白球的概率為0.4，摸出一個(gè)黑球的概率為0.5，若摸球3次，則恰好有2次摸出白球的概率為A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.29212．已知，則的最小值是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則_______.14．設(shè)集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)是________.15．已知是與的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是__________．16．已知函數(shù)，且過原點(diǎn)的直線與曲線相切，若曲線與直線軸圍成的封閉區(qū)域的面積為，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．18．（12分）隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國擁有世界上最大的快遞市場(chǎng).某快遞公司收取快遞費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，在收費(fèi)10元的基礎(chǔ)上，每超過（不足，按計(jì)算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（1）計(jì)算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤，其余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？19．（12分）已知,,設(shè),且,求復(fù)數(shù),.20．（12分）選修4一5:不等式選講已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí),解不等式；(2)若對(duì)任意,存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為非負(fù)半軸為極軸，與坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若直線與曲線有公共點(diǎn)，求傾斜角的取值范圍；(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：先化簡函數(shù)的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再討論a=0的情況得到w的范圍，再綜合即得w的最小值.詳解：當(dāng)a≠0時(shí)，，由f(x)=0得，因?yàn)樗裕鶕?jù)三角函數(shù)的圖像得只要coswx=1滿足條件即可，這時(shí)，所以當(dāng)a=0時(shí)，，令f(x)=0，所以coswx=0，須滿足綜合得故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查三角恒等變換，考查函數(shù)的零點(diǎn)和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合思想方法.(2)解答本題的難點(diǎn)在討論a≠0時(shí)，分析推理出.2、D【解析】由題意得，根據(jù)，可得的值可以是：，共有5個(gè)值，所以集合中共有5個(gè)元素，故選D.考點(diǎn)：集合的概念及集合的表示.3、D【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于2，最后求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】，由題意可知，因此切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、B【解析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算出各類崗位的平均薪資，比較大小后得出結(jié)論?！驹斀狻坑杀砀裰械臄?shù)據(jù)可知，數(shù)據(jù)開發(fā)崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)分析崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)挖掘崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)產(chǎn)品崗位的平均薪資為（萬元）。故選：B。【點(diǎn)睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，熟練利用平均數(shù)公式計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是解本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力與數(shù)據(jù)分析能力，屬于中等題。5、D【解析】

設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得為矩形，如圖，.又的周長為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的對(duì)稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.6、B【解析】

首先根據(jù)題意得到“塹堵”是半個(gè)長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【詳解】由題知：“塹堵”是半個(gè)長方體的直三棱柱，如圖所示：設(shè)外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱柱的外接球，同時(shí)考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.7、B【解析】分析：通過f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個(gè)交點(diǎn)的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時(shí)，f（x）遞減；-1＜x＜0時(shí)，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題干所給的垂直關(guān)系，得到方程，進(jìn)而求解.【詳解】由題意得，，∵在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的求導(dǎo)法則，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)解得，所以.【詳解】因?yàn)?，得，?所以.故選【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)期望，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.10、B【解析】

先閱讀理解題意，再結(jié)合題意類比推理可得：設(shè)，解得，得解．【詳解】解：依題意可設(shè)，解得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查類比推理，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

首先分析可能的情況：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)槊淮吻?，是白球的概率是，不是白球的概率是，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查有放回問題的概率計(jì)算，難度一般.12、B【解析】

將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式求出代數(shù)式的最小值，然后在不等式兩邊同時(shí)除以可得出答案．【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由題意可得解得.【名師點(diǎn)睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的運(yùn)算：.14、1.【解析】

求出A中不等式的解集，確定出解集的自然數(shù)解確定A，求出B中x的范圍確定出B，找出兩集合的交集，即可作出判斷．【詳解】由A中不等式變形得：2﹣2≤2x≤24，即﹣2≤x≤4，x∈N，∴A={0，1，2，3，4}，由B中y=ln（x2﹣3x），得到x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，即B={x|x＜0或x＞3}，則A∩B={4}，即A∩B中元素個(gè)數(shù)為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．15、或【解析】分析：根據(jù)等比中項(xiàng)，可求出m的值為；分類討論m的不同取值時(shí)圓錐曲線的不同，求得相應(yīng)的離心率。詳解：由等比中項(xiàng)定義可知所以當(dāng)時(shí)，圓錐曲線為橢圓，離心率當(dāng)時(shí)，圓錐曲線為雙曲線，離心率所以離心率為或2點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，基本概念和簡單的分類討論，屬于簡單題。16、【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點(diǎn)以及切線方程，再根據(jù)定積分求封閉區(qū)域的面積，解得的值.詳解：設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)封閉區(qū)域的面積為因此，當(dāng)時(shí)，同理可得，即點(diǎn)睛：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）可以通過取計(jì)算出，再通過取時(shí)計(jì)算出,得出答案。（2）可通過裂項(xiàng)相消求解?！驹斀狻浚?）當(dāng)時(shí)，有，解得.當(dāng)時(shí)，有，則，整理得：，數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）由（1）有，則所以易知數(shù)列為遞增數(shù)列，所以?！军c(diǎn)睛】本題考察的是求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及構(gòu)造數(shù)列然后求和，求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以先求首項(xiàng)和公比，求和可以通過裂項(xiàng)相消求解。18、（1）（2）①平均值可估計(jì)為15元.②公司不應(yīng)將前臺(tái)工作人員裁員1人.【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估計(jì)樣本中包裹件數(shù)在之間的概率為，服從二項(xiàng)分布，從而可得結(jié)果；（2）①整理所給數(shù)據(jù)，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁員，求出公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若裁員一人，求出公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，比較裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望即可得結(jié)果.詳解：（1）樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)為36，頻率，故可估計(jì)概率為，顯然未來5天中，包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，故所求概率為（2）①樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）12345快遞費(fèi)（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為，故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為15元.②根據(jù)題意及（2）①，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加15（元），若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利潤的期望值為（元）因，故公司不應(yīng)將前臺(tái)工作人員裁員1人.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；③“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對(duì)于某些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項(xiàng)分布），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度19、【解析】

明確復(fù)數(shù),的實(shí)部與虛部，結(jié)合加減法的運(yùn)算規(guī)則，即可求出復(fù)數(shù)，從而用表示出，接下來根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出關(guān)于的方程組求解，即可得出,.【詳解】∵.∴.又∵∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于中檔題.復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)是：若兩復(fù)數(shù)相等則它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等.20、（1）；（2）.【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，分段討論即可；（2）由題意可得函數(shù)的值域是的值域的子集，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1)當(dāng)時(shí)，，或，或，解得.即不等式解集為.(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的值域?yàn)?又在區(qū)間上單調(diào)遞增.即的值域?yàn)?，要滿足條件，必有，解得的取值范圍為點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.21、(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2），為函數(shù)零點(diǎn)，可得，要證，只需證，，令，在上是增函數(shù)，∴，∴，從而可得結(jié)論.詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，所以在上無極值；當(dāng)時(shí)，若，，在上是減函數(shù).當(dāng)，，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，在上的極小值為.（2）證明