大學(xué)原子物理學(xué)答案

1.8試由氫原子的里德伯常數(shù)計(jì)算基態(tài)氫原子的電離電勢(shì)和第一激發(fā)電勢(shì)。1.8解：電離能為E=E—-氣，把氫原子的能級(jí)公式E=-Rhc/n2代入，得:「.I1小二RHhc(偵_—)=Rhc=13.60電子伏特。電離電勢(shì)：匕=%=13何伏特11、3z3,第一激發(fā)能：Ei=RHhc（偵-22）=4RhC=4*13.60=10.20電子伏特第-激發(fā)電勢(shì)：匕

E=—=10.20伏特e1.9用能量為12.5電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷時(shí)，會(huì)出現(xiàn)那些波長(zhǎng)的解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4?…等能級(jí)上去所需要的能量是：E=hcR(1-一」-)其中hcR=13.6電子伏特E1=13.6x(1-￡)=10.2電子伏特E2=13.6x(1-§)=12.1電子伏特E3=13.6x(1-￡)=12.8電子伏特其中%和氣小于12.5電子伏特，E3大于12,5電子伏特。可見具有心電子伏特能量的電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到n>4的能級(jí)上去，所以只能出現(xiàn)n<3的能級(jí)間的躍遷。躍遷時(shí)可能發(fā)出的光譜線的波長(zhǎng)為：=Rh（土-3^=5Rh/36力11F2=6565A=R=Rh（土-3^=5Rh/36力11F2=6565A=RHG-221）1.10試估算一次電離的氦離子H：、二次電離的鋰離子L+的第一玻爾軌道半徑、電離電勢(shì)、第一激發(fā)電和賴曼系第一條譜線波長(zhǎng)分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動(dòng)，這樣簡(jiǎn)單些。a)氫原子和類氫離子的軌道半徑：

TOC\o"1-5"\h\z4雙h2n2n2r=4——『^——=a~z，n=1,2,3其中％=4^m_-=0.529177x10-io米，是氫原子的玻爾第一軌道半徑;3是核電荷數(shù)，對(duì)于H,Z=1；對(duì)于H,Z=2；對(duì)于〃++，Z=3；r+Z1因此，玻爾第一軌道半徑之比是、=W=-rHZ2Heb）氫和類氫離子的能量公式：2丸2me4Z2_"Z2（4龍）2n2h2=i云'"=1,2,3……

02兀2me4

其中氣=—（4SE

0電離能之比：2兀2me4

其中氣=—（4SE

0電離能之比：J13.6電子伏特，是氫原子的基態(tài)能量。0-E+He-0-EH0—E++Li0—EHc）第一激發(fā)能之比:Z2__HeZ2H=4,Z2―Li++=9Z2H如。一E'h,

eh—eh2222E1云—立=4-12-121元―112E32_E32E2—E1氣云氣偵q—LiL^==9E2一E1e12e*1121石d）氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式:~=z2r（_￡—_￡）12{~=z2r（_￡—_￡）12{n]=1,2,3n2=（%+1）,（n+2）……（4?！辏?h3氫原子賴曼系第一條譜線的波數(shù)為:TOC\o"1-5"\h\z11、=R（一一）=1222相應(yīng)地，對(duì)類氫離子有:~He+=22R(L-_￡)=111222人He+TOC\o"1-5"\h\z?-,11、1vLi++=32R(_—._)=—_._1因此，—He+1—Li++1—H-4，—h91.11試問二次電離的鋰離子L++從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子，是否有可能使處于基態(tài)的一次i電離的氦粒子H+的電子電離掉？e解：L++由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子的能量“/I1、.v+=4hcR(__—一)=4hcRh+的電離能量為：hv_27R_271+m/M€吐-16Rh=16?1+m/Ml.由于MHe<Ml,所以1+m/MH〉1+m/ML.，從而有hVLi++〉hVHe+，所以能將He+的電子電離掉。由于MHe3.1已知Li原子光譜主線系最長(zhǎng)波長(zhǎng)—=6707A，輔線系系限波長(zhǎng)—“=3519又。求鋰原子第一激發(fā)電勢(shì)和電離電勢(shì)。解：主線系最長(zhǎng)波長(zhǎng)是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)生的。輔線系系限波長(zhǎng)是電子從無窮處向第一激發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢(shì)為、，電離電勢(shì)為V/則有：eV=hC1—V]=h=1.850伏特eV=hC+h二8——sV8=?（1+』）=5.375伏特。83.2Na原子的基態(tài)3S。已知其共振線波長(zhǎng)為5893A，漫線系第一條的波長(zhǎng)為8193A，基線系第一條的

波長(zhǎng)為18459A，主線系的系限波長(zhǎng)為2413A。試求3S、3P、3D、4F各譜項(xiàng)的項(xiàng)值。解：將上述波長(zhǎng)依次記為pmaxdmaxfmaxps即人=5893務(wù),人=8193務(wù),人=18459務(wù),人=2413務(wù)pmaxdmaxfmaxps容易看出：T=~=—=4.144x106米-iPsT3p=白-^^=2.447x106米-1PspmaxT3D=T3-^^=1.227x106米-1；=「-二=0.685x106米-14F3D入fmax3.4Li原子的基態(tài)項(xiàng)2S。當(dāng)把Li原子激發(fā)到3P態(tài)后，問當(dāng)3P激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)可能產(chǎn)生哪些譜線(不考慮精細(xì)結(jié)構(gòu))？答：由于原子實(shí)的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中n相同而l不同的能級(jí)有很大差別，即堿金屬原子價(jià)電子的能量不僅與主量子數(shù)n有關(guān)，而且與角量子數(shù)l有關(guān)，可以記為E=E(n,l)。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明l越小，能量越低于相應(yīng)的氫原子的能量。當(dāng)從3P激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)，考慮到選擇定則：△/=±1，可能產(chǎn)生四條光譜，分別由以下能級(jí)躍遷產(chǎn)生：3P—3S;3S—2P;2P—2S;3P—2S。3.6計(jì)算氫原子賴曼系第一條的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂的波長(zhǎng)差。解：賴曼系的第一條譜線是n=2的能級(jí)躍遷到n=1的能級(jí)產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷只能發(fā)生在22P—12S之間。而S能級(jí)是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細(xì)結(jié)構(gòu)是由P能級(jí)分裂產(chǎn)生的。氫原子能級(jí)的能量值由下式?jīng)Q定:—Rhc(Z-Q)2ERhca2(Z—S)4

n334n其中—Rhc(Z-Q)2ERhca2(Z—S)4

n334n一一一c0E(22P/2)—E(12S1/2)-h—1、hc.?.人E(22P/2)—E(12S/)c0E(22P/2)—E(12S/)-h—2hc.?.人—E(22P/2)—E(12S1/2)

因此，有:因此，有:AX=x—人=hc[E(22P2)—E(12M)]TOC\o"1-5"\h\z[E(22P)—E(12S*)][E(22P"j—E(12S)]3/21/21/21/2E(22P)=—Rhc16+a23/264E(22PQ=—Rhc16+5a264"-4+a2E(12S1/2)E(22PQ=—Rhc16+5a264"-4a248+11a248+15a2Rx6464644a2=~R(48+11a2)(48+15a2)=5.39x10-13米=5.39x10-3A4.1H.原子的兩個(gè)電子處在2p3d電子組態(tài)。問可能組成哪幾種原子態(tài)?用原子態(tài)的符號(hào)表示之。已知電子間是LS耦合。解：因?yàn)?1=1,12=2,[=s2=2，S=s+s或s—s;1212L=1+1,1+1—1,...,|1—1I,121212???S=0,1;L=3,2,1所以可以有如下12個(gè)組態(tài)：L=1,S=0,1P1L=1,S=1,3P0,1,2L=2,S=0,1D2L=2,S=1,3D1,2,3L=3,S=0,1F3L=3,S=1,3F2,3,44.3鋅原子（Z=30）的最外層電子有兩個(gè)，基態(tài)時(shí)的組態(tài)是4s4s。當(dāng)其中有一個(gè)被激發(fā)，考慮兩種情況:（1）那電子被激發(fā)到5s態(tài)；（2）它被激發(fā)到4p態(tài)。試求出LS耦合情況下這兩種電子組態(tài)分別組成的原子狀態(tài)。畫出相應(yīng)的能級(jí)圖。從（1）和（2）情況形成的激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷分別發(fā)生幾種光譜躍遷？解：（1）組態(tài)為4s5s時(shí)11=12=0,s1=s2=2，L=0,S=0,1S=0時(shí)，J=L=0,單重態(tài)1S0S=1時(shí);J=1,三重態(tài)3S1根據(jù)洪特定則可畫出相應(yīng)的能級(jí)圖，有選擇定則能夠判斷出能級(jí)間可以發(fā)生的5種躍遷：51S—41尸,53S—43P;011053S—43P；53S—43P41P—41S所以有5條光譜線。（2）外層兩個(gè)電子組態(tài)為4s4p時(shí)：l=0,l=1,s=s=2，.L=1,S=0,1S=0時(shí)，J=L=1,單重態(tài)1P1S=1時(shí);J=2,1,0,三重態(tài)3P2,1,0根據(jù)洪特定則畫出能級(jí)圖，根據(jù)選擇定則可以看出，只能產(chǎn)生一種躍遷，41P—41S0，因此只有一條光譜線。4.4試以兩個(gè)價(jià)電子1]=2和12=3為例說明,不論是LS耦合還是jj耦合都給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).證明：（1）LS耦合S=0,1;L=5,4,3,2,1,S=0時(shí);J=L5個(gè)L值分別得出5個(gè)J值，即5個(gè)單重態(tài).S=1日寸;J=L+1,L,L-1;代入一個(gè)L值便有一個(gè)三重態(tài).5個(gè)L值共有5乘3等于15個(gè)原子態(tài)：3匕12;3D23;3F234;3G345;3H456因此，LS耦合時(shí)共有20個(gè)可能的狀態(tài).（2）jj耦合：5出3?7出5j=1+s或j=1-s;j=2或2：j2=2或—J=j+j,j+j,」j-J\121212將每個(gè)j、2合成丁得:j=M和7=［，合成J=6,5,4,3,2,1i222TOC\o"1-5"\h\z一7?，、j=—和j=—，合成J=5,4,3,21222j=己和7=M，合成J=5,4,3,2,1,012223一5?，、j=—和j=—，合成J=4,3,2,1122257375535共2。個(gè)狀態(tài)：（=,=），（=，=）；（=，=）；（=，=）226,5,4,3,2,1225,4,3,2225,4,3,2,1,0224,3,2,1所以，對(duì)于相同的組態(tài)無論是LS耦合還是jj耦合，都會(huì)給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).4.6。。原子的能級(jí)是單層和三重結(jié)構(gòu)，三重結(jié)構(gòu)中J的的能級(jí)高。其銳線系的三重線的頻率AvV>v>v，其頻率間隔為Av=v-v,Av=v-v。試求其頻率間隔比值L210110221Av1解：Ca原子處基態(tài)時(shí)兩個(gè)價(jià)電子的組態(tài)為4s4s。Ca的銳線系是電子由激發(fā)的s能級(jí)向4p能級(jí)躍遷產(chǎn)生的光譜線。與氦的情況類似，對(duì)4s4P組態(tài)可以形成14和3[j,。的原子態(tài)，也就是說對(duì)L=1可以有4個(gè)能級(jí)。電子由諸激發(fā)3S能級(jí)上躍遷到3%能級(jí)上則產(chǎn)生銳線系三重線。根據(jù)朗德間隔定則，在多重結(jié)構(gòu)中能級(jí)的二相鄰間隔Av=v-v,Av=v-v同有關(guān)的J值中較大的那110221一個(gè)成正比，因此，Avx2,Avx1，所以當(dāng)2=1。12Av125.1有兩種原子，在基態(tài)時(shí)其電子殼層是這樣添充的：（1）n=1殼層、n=2殼層和3s次殼層都填滿，3p次殼層填了一半。（2）n=1殼層、n=2殼層、n=3殼層及4s、4p、4d次殼層都填滿。試問這是哪兩種原子？解：根據(jù)每個(gè)殼層上能容納的最多電子數(shù)為2n2和每個(gè)次殼層上能容納得最多電子數(shù)為2（2/+D。（1）n=1殼層、n=2殼層填滿時(shí)的電子數(shù)為：2x12+2x22=103s次殼層填滿時(shí)的電子數(shù)為：2（2x0+1）=23p次殼層填滿一半時(shí)的電子數(shù)為：1x2（2x1+1）=3所以此中原子共有15個(gè)電子，即Z=15，是P（磷）原子。（2）與（1）同理：n=1,2,3三個(gè)殼層填滿時(shí)的電子數(shù)為28個(gè)5.5利用LS耦合、泡利原理和洪特定責(zé)來確定碳Z=6、氮Z=7的原子基態(tài)。解:碳原子的兩個(gè)價(jià)電子的組態(tài)2p2p，屬于同科電子.這兩個(gè)電子可能有的mi值是1,0,-1；可能有mJ直是2,-2，兩個(gè)電子的主量子數(shù)和角量子數(shù)相同,根據(jù)泡利原理，它們的其余兩個(gè)量子數(shù)mi和％至少要有一個(gè)不相同.它們的m和m，的可能配合如下表所示.為了決定合成的光譜項(xiàng),最好從Ml=￡m萬的最高數(shù)值開始，因?yàn)檫@就等于L出現(xiàn)的最高數(shù)值?，F(xiàn)在，ML得最高數(shù)值是2,因此可以得出一個(gè)D項(xiàng)。又因?yàn)檫@個(gè)Ml只與Ms=0相伴發(fā)生，因此這光譜項(xiàng)是1D項(xiàng)。除了Ml=2以外，Ml=+1,0,—1,—2也屬于這一光譜項(xiàng)，它們都是Ms=0。這些譜項(xiàng)在表中以Ml的數(shù)字右上角的記號(hào)“?！北硎尽９灿袃身?xiàng)是ML=±1,MS=0；有三項(xiàng)是ML=0,MS=0。在尋找光譜項(xiàng)的過程中，把它們的哪一項(xiàng)選作1D項(xiàng)的分項(xiàng)并不特別重要。類似地可以看出有九個(gè)組態(tài)屬于3P項(xiàng)，在表中以mL的碳原子mS1ms2mi1m12Xm=MsiXm「=MLi1/21/21011*1/21/21-110*1/21/20-11-1*1/2-1/21102o1/2-1/2100101/2-1/21-10001/2-1/20101*1/2-1/200001/2-1/20-10-1*1/2-1/2-1100*1/2-1/2-100-101/2-1/2-1-10-20-1/2-1/210-11*-1/2-1/21-1-10*-1/2-1/20-1-1-1*氮原子mS1ms2ms3mi1m12m13Xm=MiXm=Mi1/21/21/210-13/201/21/21/201-13/20*1/21/21/2-1013/20-1/2-1/2-1/210-13/20*-1/2-1/2-1/201-13/20-1/2-1/2-1/2-1013/20*.???????????????????????1/21/2-1/21011/221/21/2-1/21001/211/21/2-1/210-11/20*1/21/2-1/2-1001/2-1

1/21/2-1/2-10-11/2-21/21/2-1/21-111/211/21/2-1/21-101/201/21/2-1/21-1-11/2-1.???????????????????????數(shù)字右上角的記號(hào)“*”表示。剩下一個(gè)組態(tài)肱乙=0,Ms=0,它們只能給出一個(gè)iS項(xiàng)。因此，碳原子的光譜項(xiàng)是iD、3P和iS，而沒有其它的項(xiàng)。因?yàn)樵谔荚又?P項(xiàng)的S為最大，根據(jù)同科電子的洪特定則可知，碳原子的3P項(xiàng)應(yīng)最低。碳原子兩個(gè)價(jià)電子皆在p次殼層，p次殼層的滿額電子數(shù)是6，因此碳原子的能級(jí)是正常次序，3P0是它的基態(tài)譜項(xiàng)。氮原子的三個(gè)價(jià)電子的組態(tài)是2p2p2p，亦屬同科電子。它們之間滿足泡利原理的可能配合如下表所示。表中刪節(jié)號(hào)表示還有其它一些配合，相當(dāng)于此表下半部給出的”，間以及mi間發(fā)生交換。由于電子的全同性，那些配合并不改變?cè)拥臓顟B(tài)，即不產(chǎn)生新的項(xiàng)。由表容易判斷，氮原子只有2D、2P和4S。根據(jù)同科電子的洪特定則，斷定氮原子的基態(tài)譜項(xiàng)應(yīng)為4S3/2。第六章磁場(chǎng)中的原子6.1已知帆原子的基態(tài)是4F3/2。（1）問帆原子束在不均勻橫向磁場(chǎng)中將分裂為幾束？（2）求基態(tài)帆原子的有效磁矩。解：（1）原子在不均勻的磁場(chǎng)中將受到力的作用，力的大小與原子磁矩（因而于角動(dòng)量）在磁場(chǎng)方向的分量成正比。帆原子基態(tài)4F3/2之角動(dòng)量量子數(shù)J=3/2，角動(dòng)量在磁場(chǎng)方向的分量的個(gè)數(shù)為2J+1=2x3+1=4，因此，基態(tài)帆原子束在不均勻橫向磁場(chǎng)中將分裂為4束。（2）七=g：Pj2mJTOC\o"1-5"\h（2）七=g：Pj2mJP=^J(J+1)h=*h1J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)621+按LS耦口：g=1+2J(J+1)155=2?匕?史?h=岌5日牝0.7746日J(rèn)52m25b-b6.5氦原子光譜中波長(zhǎng)為6678.1A(1s3d1D2T1s2pPp及7065.1A(1,3,%—1s2p3P)的兩條譜線，在

磁場(chǎng)中發(fā)生塞曼效應(yīng)時(shí)應(yīng)分裂成幾條？分別作出能級(jí)躍遷圖。問哪一個(gè)是正常塞曼效應(yīng)？哪個(gè)不是？為什么？解：(1)1D2譜項(xiàng)：L=2,S=0,J=2,M2=±2,±1,0,g2=1。iP譜項(xiàng)：L=1,S=0,J=1,M=±1,0,g=1Av=(-1,0,+1)L?？梢园l(fā)生九種躍遷，但只有三個(gè)波長(zhǎng)，所以人=6678.1A的光譜線分裂成三條光譜線，且裂開的兩譜線與原譜線的波數(shù)差均為L(zhǎng)，是正常塞曼效應(yīng)。(2)對(duì)3S『N級(jí)：L=0,S=1,J=1,M2=±1,0,g2=2對(duì)3［能級(jí)：L=1,S=1,J=0,M1=0,g1=0，M1g1=0A~=(-2,°,+2)L，所以攔7065.1A的光譜線分裂成三條，裂開的兩譜線與原譜線的波數(shù)差均為2L，所以不是正常塞曼效應(yīng)。6.7Na原子從3P—3S躍遷的精細(xì)結(jié)構(gòu)為兩條，波長(zhǎng)分別為5895.93埃和5889.96埃。試求出原能級(jí)2P3/2在磁場(chǎng)中分裂后的最低能級(jí)與2P1/2分裂后的最高能級(jí)相并合時(shí)所需要的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。TOC\o"1-5"\h\z13314解.對(duì)2p能級(jí)：/=1,s=,j=-,M=±-,±,g=-；解?對(duì)3/2222232P能級(jí)：1=1,s=—,j=—,M=±—,g=—；磁場(chǎng)引起的附加能量為.AE=Mg腥B1/勺QQQC2JIKUl-IJrlJ/-JhnoJ=eL/V:xrAo~1/222234兀m設(shè)2P,2設(shè)2P,2P,2S,對(duì)應(yīng)的能量分別為E,E,E3/21/21/2210躍遷2P3/2T2S1/2,2P1/2T2M,產(chǎn)生的譜線波長(zhǎng)分別為人,人;那么，人=5889.96務(wù),人=5895.93務(wù)。2P2121能級(jí)在磁場(chǎng)中發(fā)生分裂，21”,2%的附加磁能分別記為AE2,AE「現(xiàn)在尋求E2+AE2=%+AE］時(shí)的B。E-E=AE-AE=(Mg-Mg)-^BeB211211224兀m由此得：(氣-E1)一嚴(yán)1-AE「=(Mg-Mg)』hc11224兀mc即：r-「=(Mg一Mg)-—eB九人11224兀mc4兀mc111因此，有:(—因此，有:eMg-Mg人人112221其中M1g1=3,M2g2=-2，將它們及各量代入上式得:B=15.8特斯拉。7.1某X光機(jī)的高壓為10萬伏，問發(fā)射光子的最大能量多大？算出發(fā)射X光的最短波長(zhǎng)。解：電子的全部能量轉(zhuǎn)換為光子的能量時(shí)，X光子的波長(zhǎng)最短。而光子的最大能量是：￡max=片=105電子伏特_1c而￡mL—min.7c6.63X10-34X3X108q所以、二hL105X1.60X10一19=°.1241max7.4鋁(Al)被高速電子束轟擊而產(chǎn)生的連續(xù)X光譜的短波限為51。問這時(shí)是否也能觀察到其標(biāo)志譜K系線？解：短波X光子能量等于入射電子的全部動(dòng)能。因此￡=hCR2.48X103電子伏特電力要使鋁產(chǎn)生標(biāo)志譜K系，則必須使鋁的1S電子吸收足夠的能量被電離而產(chǎn)生空位，因此轟擊電子的能量必須大于或等于K吸收限能量。吸收限能量可近似的表示為：E=性(Z-Q)2Kn2這里，n=1,。=0,Z=13；所以有：E=132Rhc牝132Rhc=169x1.097x107x6.63x10-34x3x108=2.30x103電子