測量誤差與平差

測量誤差與平差第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一平差——削平差異，消除不符。由于測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測的個數(shù)，也就是要進行多余觀測。有了多余觀測，勢必在觀測結果之間產生矛盾，測量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結果并評定測量成果的精度。測量平差采用的原理是“最小二乘法”。測量平差是德國數(shù)學家高斯于1821～1823年在漢諾威弧度測量的三角網平差中首次提出并應用的。以后經過許多科學家的不斷完善，得到發(fā)展，測量平差已成為測繪學中很重要的、內容豐富的基礎理論與數(shù)據(jù)處理技術之一。

第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一測量平差是測繪工程專業(yè)的主干課程，一般需要講授70學時以上。平差分為簡易平差和嚴密平差。嚴密平差又分為條件平差和間接平差。在高程測量一章中水準路線閉合差的計算與分配實際上就是一種簡易平差工作（消除高差不符值）。簡易平差的相關內容將結合具體的控制測量計算（如導線計算）加以介紹；對于嚴密平差方法，有興趣的同學可自學。本章主要介紹測量誤差的基本知識。目的是了解測量誤差產生的原因和評定精度的標準；掌握偶然誤差的特性、誤差傳播定律及其在測量數(shù)據(jù)處理中的應用方法。第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一§8－1誤差與精度一、測量誤差的概念誤差是指由各種原因引起的觀測值與真實值，或真實值與其應有值之間存在的差異。比如：三角形的內角和為180o，觀測值為180o00'30″；標尺刻劃間距的真實值為0.97cm，其應有值即理論設計值為1cm。要點：“要測量就會有誤差”，即誤差與測量同在。誤差來源于三個方面：儀器誤差、觀測誤差和外界環(huán)境的影響。觀測條件與誤差的關系。與誤差的三個來源相對應的測量儀器、觀測者和作業(yè)環(huán)境叫觀測條件。觀測條件的好壞決定誤差的大小。第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一二.誤差的類型測量誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差及粗差。系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下作多次觀測（或對某類數(shù)據(jù)進行同種處理），如果觀測結果包含的誤差在大小及符號上表現(xiàn)出一致的傾向，如按一定的函數(shù)關系變化，或保持常數(shù)，或保持同號，則這種誤差叫系統(tǒng)誤差。比如：鋼尺尺長誤差，光電測距中的加常數(shù)、剩余常數(shù)，傳統(tǒng)的“五入”等。偶然誤差：在相同的觀測條件下作多次觀測（或對同類數(shù)據(jù)進行同種處理），如果觀測結果包含的誤差在大小及符號上均沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即從表面看沒有任何規(guī)律性，則這種誤差叫偶然誤差。比如：水準讀數(shù)估讀、照準偏左或偏右等。粗差：數(shù)值超出了某種規(guī)定范圍的誤差。如讀錯、記錯等。第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一粗差實際上是一種不太容易發(fā)現(xiàn)的錯誤，嚴格來講，粗差不應屬于測量誤差的范疇。三.偶然誤差的特性系統(tǒng)誤差具有傾向的一致性，即單向性、同一性，其影響具有積累性，對測量成果精度的影響很大，必須設法消除或減小，比如施加尺長改正、加常數(shù)改正、剩余常數(shù)改正、氣象改正等。偶然誤差是一種隨機性誤差，不能直接通過加改正數(shù)的方法來消除，在觀測結果中總是不可避免地包含偶然誤差，因此，偶然誤差是測量誤差理論的主要研究對象。偶然誤差雖然從表面上看沒有規(guī)律，但實際上具有統(tǒng)計性規(guī)律，即特性。下面先給出真誤差的定義，然后介紹偶然誤差的四個特性。第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一任何一個被觀測量，客觀上總存在一個能代表其真正大小的數(shù)值，稱作“真值”。設某量的真值為X，已剔除了系統(tǒng)誤差的觀測值為l，則它們的差值叫做該觀測值的真誤差，簡稱誤差，用△表示，即：

△＝l－

X真誤差△僅指偶然誤差。如果對某量作一系列的觀測，得到n個觀測值li(i=1,2,···,n)；則有n個真誤差△i(i=1,2,···,n)與之相對應。這種僅包含偶然誤差的真誤差具有以下四個特性：有界性在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。（這個限值不是固定的，與觀測條件有關）第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一例如，某項試驗中，在相同的觀測條件下共觀測了358個三角形的全部內角，計算出每個三角形的和角真誤差（即閉合差，三角之和與180o之差）。分別對正、負誤差按絕對值由小到大排列，然后以d△＝3″為誤差區(qū)間統(tǒng)計各區(qū)間的誤差個數(shù)k，并計算其相對個數(shù)（k/n，也稱作頻率，n＝358

）。結果列于下表：第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.趨向性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。誤差分布的趨向性在統(tǒng)計表中十分明顯。誤差分布的趨向性在頻率直方圖中更易看出。偶然測量誤差是隨機變量，服從于標準正態(tài)分布。第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一對稱性絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同。同樣，誤差分布的對稱性可從統(tǒng)計表和直方圖中得到驗證。第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一4.抵償性偶然誤差的算術平均值將隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即：在測量平差中，方括號[]用來表示求和。第四個特性是由第三個特性即對稱性導出的。必須指出，偶然誤差的以上特性，尤其是后面的三個特性，只有當觀測數(shù)目較多（一般n為20以上）時才會比較明顯。第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一精度及其衡量指標（一）.精度的含義精度是指一組觀測誤差分布的密集或離散的程度。若分布集中，即小誤差多、大誤差少，則說明該組觀測值的質量好、精度高；反之，精度就低。據(jù)此可判別下圖中哪組觀測精度相對較高。誤差分布曲線一誤差分布曲線二第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一精度是一組觀測成果質量高低的標志，它與觀測條件的好壞密切相關。在相同的觀測條件（觀測者、儀器和外界環(huán)境）下進行的一組觀測，叫做“同精度觀測”。所有的觀測值對應著同一種誤差分布，因此，對于組中的每一個觀測值（即使是誤差為零或誤差很大的觀測值），都稱為“同（等）精度觀測值”；反之，則稱為“非等精度觀測”。例如，同一個觀測者同一天用同一臺儀器對同一個三角形的內角和觀測了10次，閉合差w有+8″的，有-2″的，也有為0的。w=0并不意味著高精度，w=8″也不表示低精度，所有的觀測結果應認為是相同精度的。只有在不同的觀測條件下所作的觀測，才可以看作精度不同。第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一（二）.衡量精度的指標除了用誤差分布圖表示觀測精度之外，還可用簡明的數(shù)字來作為衡量精度的指標。精度的高低雖然不能用觀測列中的某個誤差的大小來判別，但與一組誤差絕對值的平均大小有直接聯(lián)系，所以常用一組誤差絕對值的平均大小來作為衡量精度高低的指標。此處的“平均大小”并非簡單的算術平均大小，而是指均方差。測量上常用的衡量精度的指標主要有以下三種：第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一中誤差（在概率統(tǒng)計學中叫標準差σ）在一定的觀測條件下，同精度觀測列中各真誤差平方的平均值的極限叫做中誤差m的平方，即：式中：開平方后得：上式是中誤差的極限表達式。在實際工作中，觀測次數(shù)不可能為無窮大，所以中誤差通常用其估值表達式計算：第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一中誤差的大小反映出一組觀測值誤差的集中與離散的程度。右圖中，m1較小,誤差分布比較集中，說明相應的觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，則觀測值精度較低。

數(shù)學期望(均)方差第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.極限誤差極限誤差也叫容許誤差，即觀測中可能出現(xiàn)的最大誤差值，用△容表示。由偶然誤差的有界性知：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值，這個限值就是極限誤差。由概率論知，在誤差群中，絕對值大于2m的真誤差個數(shù)只占誤差總個數(shù)的5％，大于3m的個數(shù)僅0.3％。由此可見，絕對值大于2m或3m的真誤差實際上不可能出現(xiàn)。因此一般用兩倍或三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即：

△容＝2m，或△容＝3m第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一3.相對誤差真誤差和中誤差都是絕對誤差。有時，僅用絕對誤差還不能完全表達觀測精度的高低。例如，分別丈量了1000米和10米的兩段距離，觀測值的中誤差均為±0.01米，雖然從表面上看，兩者的觀測精度相同，但就“單位長度”而言，兩者的精度并不相同（且實現(xiàn)的難度也不相同），顯然前者的相對精度比后者要高。第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一為此，通常又采用另一種衡量精度的指標，即“相對中誤差”，它是中誤差（絕對值）與相應的觀測值之比，為一“不名數(shù)”，無量綱，常用分子為1的分式表示：相對誤差僅可用作線量（即長度）觀測精度的衡量指標，在角度測量中沒有意義。第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一§8－2誤差傳播定律簡介在實際工作中經常會遇到這樣的情況：某一個量的大小并不是直接測定，而是由一個或一系列的觀測量通過一定的函數(shù)關系間接計算出來的（比如EDM測高）。很顯然，觀測值誤差必然會“傳遞”給函數(shù)，使其函數(shù)也包含誤差。闡述觀測量函數(shù)的中誤差與觀測量本身的中誤差之間關系的定律，叫誤差傳播定律。獨立觀測值的概念——

設x、y為兩個觀測值，如果它們之間沒有任何聯(lián)系，并且都是直接觀測量，則稱它們是“獨立觀測值”，它們之間是“互相獨立”的。比如，三角高程測量中的斜距和垂直角，三角形中的兩個內角等。與此對應，若兩個觀測值之間存在一定的聯(lián)系，或包含同一因素，則它們就不是“互相獨立”的。如方向觀測法中各方向的歸零方向值（零方向相同）。第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一一般函數(shù)形式的誤差傳播定律：設有一般函數(shù):式中，x1、x2、……xn為互相獨立的觀測值，相應的中誤差分別為mx1、mx2、……mxn；Z是各觀測值的函數(shù)。經推導(教材P150），函數(shù)Z的中誤差計算式為：是函數(shù)Z對各觀測值（變量）的偏導數(shù)，它們都是觀測值的函數(shù)，將觀測值代入后便都是常數(shù)。例如，h=S×sinα，則第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一1、和差函數(shù):2、倍乘函數(shù)：函數(shù)表達式：函數(shù)中誤差為：函數(shù)中誤差為：函數(shù)表達式：上述一般函數(shù)形式的誤差傳播定律可以用于各種函數(shù)。幾種常用函數(shù)形式的誤差傳播律第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一3、線性函數(shù)：函數(shù)表達式：根據(jù)誤差傳播律有：第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一求觀測值函數(shù)中誤差的步驟(1).列出函數(shù)式；(2).對函數(shù)式求全微分；(3).套用誤差傳播定律，寫出函數(shù)中誤差公式；(4).計算各偏導數(shù)之值；(5).將偏導數(shù)值和觀測值中誤差之值代入公式計算函數(shù)的中誤差。第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一例:對一個三角形，觀測了A、B兩個角：

A=64o21'06″±8.0″，B=70o35'40

″±6.0″。試求第三個角C及其中誤差。C=45o03?

14?±10?解：由題意可得:

A+B+C=180°

于是：C=180°－A－B=45o03'14″

根據(jù)誤差傳播定律，有:第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一關于誤差傳播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函數(shù)中誤差計算式”，它是“通式”。需要指出的是，當函數(shù)與觀測值的量綱不一致時，應注意量綱的統(tǒng)一。例如——函數(shù)h=S×sinα，h與α的量綱不同，按誤差傳播定律求h的中誤差時，需注意各誤差的單位：關鍵是角度中誤差平方這一項須除以ρ2。ρ＝206265?第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一§8－3算術平均值與加權平均值一、算術平均值及其中誤差1.算術平均值設對某未知量進行了n次等精度獨立觀測。n個觀測值為

：其算術平均值為：第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一2.觀測值中誤差計算式設觀測量的真值為X，各觀測值的真誤差為：由于真值X一般未知，故△i亦為未知，無法直接采用§8－1中介紹的估值式求中誤差，必須尋找別的途徑。對n個真誤差計算式求和，然后取平均，有：第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一于是：對上式左右兩邊取極限：由此可見，當n為無窮大時，n個觀測值的算術平均值趨向于其真值。當n為有限時，算術平均值是一個接近于真值的近似值。測量中將接近于真值的近似值稱為觀測量的最可靠值或最或然值。為了介紹觀測值中誤差計算式，有必要引入“觀測值改正數(shù)”的概念。某個觀測量的最或然值與其觀測值之差叫做觀測值的改正數(shù)，用V表示。顯然，有n個觀測值就有n個改正數(shù)。第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一改正數(shù)V又叫做“最或然誤差”。由上可知，對某量的n次等精度觀測的算術平均值x是該量的最或然值，故x與各觀測值l之差就是相應的觀測值改正數(shù)V，共有n個：在等精度觀測條件下，所有觀測值改正數(shù)的總和為零。由上式容易得到：第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一有了觀測值改正數(shù)的定義之后，由改正數(shù)計算觀測值中誤差的公式（推導見教材P155）如下：該式叫做計算同精度觀測值中誤差的白塞爾公式（Bessel

）。第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一3.算術平均值中誤差n個同精度觀測值的平均值計算式為：由誤差傳播定律，得：因為是等精度觀測，各觀測值中誤差相等，即：

m1=m2=…=mn=m，所以：將白塞爾公式代入，有：第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一例：對某水平角同精度觀測了5次，求算術平均值、觀測值中誤差和平均值中誤差。次序觀測值VVV備注176o42'49"-416276o42'40"+525376o42'42"+39476o42'46"-11576o42'48"-39平均76o42'45"[V]=0[VV]=60解：由觀測值改正數(shù)計算中誤差的過程見下表。算術平均值：x=76°42′45"第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期一二.權的概念觀測條件不同時，觀測量的觀測精度也就不同。在不同條件下進行的觀測叫非等精度觀測。除了用中誤差來衡量非等精度觀測值的精度高低之外，還可以用“權”來表征此類觀測值的可靠程度。此處的“權”是權衡輕重、比較好壞的指標，是一個數(shù)值指標，用P

表示。某觀測值的權按下式計算：其中的u2為任意大于零的常數(shù)，一旦確定則不再變動，常取某個典型觀測值中誤差（單位權中誤差，即權為1的觀測值的中誤差）作為u