結(jié)構(gòu)力學(xué)課件之結(jié)構(gòu)動力學(xué)

§14-1

概述§14-2結(jié)構(gòu)的振動自由度§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第十四章結(jié)構(gòu)動力學(xué)§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-8振型分解法§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動§14-10計算頻率的近似方法靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變化非常緩慢，不會促使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的運動狀態(tài)的變化，結(jié)構(gòu)將處于平衡狀態(tài)。計算平衡狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形問題稱為靜力計算。

注意：區(qū)分靜力荷載與動力荷載，不是單純從荷載本身性質(zhì)來看，要看其對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。一、結(jié)構(gòu)動力計算的特點和任務(wù)1.動力荷載與靜力荷載的區(qū)別：隨時間變化的結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，稱為動位移和動內(nèi)力，并稱為動力反應(yīng)。計算動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)問題，稱為動力計算。動力荷載（干擾力）：隨時間迅速變化的荷載§14-1概述結(jié)構(gòu)動力計算的特點：在動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生振動，其位移和內(nèi)力都是隨時間變化的。在運動過程中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量具有加速度，必須考慮慣性力的作用?？紤]慣性力的作用是結(jié)構(gòu)動力計算的最主要特征。

結(jié)構(gòu)靜力計算的特點：結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力只取決于靜力荷載的大小及其分布規(guī)律，與時間無關(guān)。2.結(jié)構(gòu)動力計算的特點3.結(jié)構(gòu)動力計算可分為兩大類：自由振動：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動，而在以后的振動過程中不再受外部干擾力作用。強迫振動：如果結(jié)構(gòu)在振動過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強迫振動。

4.結(jié)構(gòu)動力計算的任務(wù)：(2)分析計算動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)，確定動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移、內(nèi)力等量值隨時間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作為設(shè)計的依據(jù)。(1)分析計算自由振動，得到的結(jié)構(gòu)的動力特性(自振頻率、振型和阻尼參數(shù))；§14-1概述周期荷載——

隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是簡諧荷載(按弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化)。二、動力荷載的分類簡諧荷載1.周期荷載非簡諧性周期荷載

例：打樁時落錘撞擊所產(chǎn)生的荷載。

§14-1概述在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇減小(或增加)，如爆炸時所產(chǎn)生的荷載。2.沖擊荷載

3.突加常量荷載突然作用于結(jié)構(gòu)上、荷載值在較長時間內(nèi)保持不變。例：起重機起吊重物時所產(chǎn)生的荷載。上述荷載是時間的確定函數(shù)，稱之為確定性動力荷載。

§14-1概述

隨機荷載（非確定性荷載）——荷載的變化極不規(guī)則，在任—時刻的數(shù)值無法預(yù)測。地震荷載和風(fēng)荷載都是隨機荷載。隨機荷載（非確定性荷載）4.隨機荷載§14-1概述結(jié)構(gòu)振動的自由度:結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目單自由度結(jié)構(gòu)多自由度結(jié)構(gòu)（自由度大于1的結(jié)構(gòu)）§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度當(dāng)梁本身的質(zhì)量遠小于電動機的質(zhì)量時，可以不計梁本身的質(zhì)量，同時不考慮梁的軸向變形和質(zhì)點的轉(zhuǎn)動，則梁上質(zhì)點的位置只需由撓度y(t)就可確定。由質(zhì)點豎向撓度為獨立參數(shù)的單自由度結(jié)構(gòu)確定絕對剛性桿件上三個質(zhì)點的位置只需桿件轉(zhuǎn)角(t)便可，故為單自由度結(jié)構(gòu)?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度雖然只有一個集中質(zhì)點，但其位置需由水平位移x和豎向位移y兩個獨立參數(shù)才能確定，因此振動自由度等于2，為多自由度體系。三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮大，結(jié)構(gòu)振動時橫梁不能豎向移動和轉(zhuǎn)動而只能作水平移動，故振動自由度等于3，多自由度體系?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意兩點之間的距離保持不變的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加剛性鏈桿法來確定結(jié)構(gòu)的振動自由度。剛性鏈桿法：在結(jié)構(gòu)上施加最少數(shù)量的剛性鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)點的位置，則該剛架的自由度數(shù)即等于所加鏈桿數(shù)目。具有兩個集中質(zhì)量，加入三根鏈桿即能使各質(zhì)量固定不動其振動自由度為3。注意：體系振動自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點的數(shù)目，也與體系是否靜定或超靜定無關(guān)。體系的自由度數(shù)目與計算假定和計算精度有關(guān)。如果考慮質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣性，還應(yīng)增加控制轉(zhuǎn)動的約束，才能確定結(jié)構(gòu)的振動自由度數(shù)目?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度實際結(jié)構(gòu)中，除有較大的集中質(zhì)量外，還有連續(xù)分布的質(zhì)量。對此，需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者有限多自由度的問題進行計算集中質(zhì)量法：把體系的連續(xù)分布質(zhì)量集中為有限個集中質(zhì)量(實際上是質(zhì)點)，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。簡化方法有多種，如集中質(zhì)量法、廣義坐標法和有限元法等。本章重點討論集中質(zhì)量法。水塔的質(zhì)量大部分集中在塔頂上，可簡化成以x(t)為位移參數(shù)的單自由度結(jié)構(gòu)?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度凡屬需要考慮桿件本身質(zhì)量（稱為質(zhì)量桿）的結(jié)構(gòu)都是無限自由度體系。

例：用集中質(zhì)量法將連續(xù)分布質(zhì)量的簡支梁簡化為有限自由度體系。將梁二等分，集中成三個集中質(zhì)量，單自由度體系。將梁三等分，質(zhì)量集中成四個集中質(zhì)量的兩個自由度體系?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度自由振動：結(jié)構(gòu)在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式。產(chǎn)生自由振動的原因：結(jié)構(gòu)在振動初始時刻受到干擾。初始干擾的形式:（1）結(jié)構(gòu)具有初始位移（2）結(jié)構(gòu)具有初始速度（3）上述二者同時存在1.不考慮阻尼時的自由振動對于各種單自由度體系的振動狀態(tài),都可以用一個簡單的質(zhì)點彈簧模型來描述。梁在質(zhì)點重量W作用下的撓曲線稱為“靜平衡位置”?！?4-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動取圖示質(zhì)點彈簧體系中質(zhì)點的靜力平衡位置為計算位移的原點，并規(guī)定位移y和質(zhì)點所受的力都以向下為正。設(shè)彈簧發(fā)生單位位移時所需加的力為k11，稱為彈簧的剛度；單位力作用下彈簧產(chǎn)生的位移為δ11

，稱為彈簧的柔度，k11與δ11二者之間滿足：無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時，彈簧的剛度系數(shù)k11各等于多少？思考：簡支梁：懸臂梁：答：§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動為了尋求結(jié)構(gòu)振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規(guī)律，需要先建立其振動微分方程，然后求解。振動微分方程的建立方法：（1）剛度法。即列動力平衡方程。設(shè)質(zhì)點m在振動的任一時刻位移為y，取質(zhì)點

m為隔離體，不考慮質(zhì)點運動時受到的阻力，則作用于質(zhì)點m上的力有：(a)彈簧恢復(fù)力該力有將質(zhì)點拉回靜力平衡位置的趨勢，負號表示其方向恒與位移y的方向相反，即永遠指向靜力平衡位置。(b)慣性力負號表示其方向恒與加速度的方向相反對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，恒與質(zhì)點的重量mg向平衡而抵消，故振動過程中這兩個力都毋須考慮?！?4-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動質(zhì)點在慣性力F1和恢復(fù)力Fc作用下維持平衡，則有：或?qū)1和Fc的表達式代入令（14-1）有（14-2）單自由度結(jié)構(gòu)自由振動微分方程§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動（2）柔度法。即列位移方程。當(dāng)質(zhì)點m振動時，把慣性力看作靜力荷載作用在體系的質(zhì)量上，則在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點處的位移y應(yīng)當(dāng)為：即同剛度法所得方程此二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為：(a)(b)由初始條件t=0時，有可得到有(14-3)§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可見:單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。

令,有（14-4）

（14-6）其中（14-5）

位移滿足周期運動的下列條件：a表示質(zhì)量m的最大動位移，稱為振幅。其由常數(shù)ω、初始條件y0和v0決定的。φ是初始位置的相位角，稱為初相角。它也取決于常數(shù)ω、初始條件y0

和v0

。

T

稱為結(jié)構(gòu)的自振周期，其常用的單位為秒(s)。自振周期的倒數(shù)代表每秒鐘內(nèi)的振動次數(shù)，稱為工程頻率，記作f，其單位為1／秒(s-1)，或稱為赫茲(Hz)。(14-7)§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動表示2π秒內(nèi)的振動次數(shù)，是結(jié)構(gòu)動力性能的一個很重要的標志。

ω的單位為弧度／秒(rad／s)，亦常簡寫為1／s(s-1)。從圓周運動的角度來看，稱它為圓頻率，一般稱ω為自振頻率。根據(jù)式(14-1)，可給出結(jié)構(gòu)自振頻率ω的計算公式如下：相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)的自振周期T的計算公式為：式中g(shù)表示重力加速度，Δst表示由于重量mg所產(chǎn)生的靜力位移。結(jié)構(gòu)的自振頻率和周期只取決于它自身的質(zhì)量和剛度，與初始條件及外界的干擾因素?zé)o關(guān)，它反映著結(jié)構(gòu)固有的動力特性。（14-8）§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動解：三移種支承隸情況的拼梁均為走單自由揚度體系輸。例14-1圖示為仗三種不更同支承么情況的腹單跨梁奔，EI＝常數(shù)腳，在梁倚中點有還一集中激質(zhì)量m，當(dāng)不器考慮梁吹的質(zhì)量鋒時，試崖比較三讓者的自握振頻率膛。據(jù)此可得隨著結(jié)構(gòu)高剛度的加擊大，其自掌振頻率也育相應(yīng)地增合高?！?4-昆3單自由度第結(jié)構(gòu)的自幫由振動2.混考慮阻險尼時的黎自由振遭動物體的苗自由振倒動由于臥各種阻員力的作虹用將逐烈漸衰減狀下去而固不能無驅(qū)限延續(xù)烈。阻力可稅分為兩賢種：一蘋種是外朝部介質(zhì)汽的阻力偵；另一敏種來源掠于物體惡內(nèi)部的妥作用。墨這些統(tǒng)推稱為阻驕尼力。朱通常引長用福格非第假定橡，即近陽似認為苦振動中俗物體所仍受阻尼駐力與其雷振動速吳度成正然比，稱求為粘滯昆阻尼力壞，即：其中：β為阻尼系墊數(shù)，負號積表示阻尼公力的方向刻恒與速度拍方向相反考慮阻尼岸時，質(zhì)點m的動力慨平衡方平程為即：令有(14-9)§14-化3單自由度頑結(jié)構(gòu)的自推由振動這是一個轉(zhuǎn)常系數(shù)齊者次線性微掠分方程，固設(shè)其解的興形式為解得其特征緣瑞方程為秘：根據(jù)阻尼陽大小不同餐，現(xiàn)分以撓下3種情浮況討論：(1)k<ω，即小阻尼姑情況，此時r1和r2為兩個共勇軛復(fù)數(shù)，式(1怨4-9)商通解為：(14-9)（14刻-10胡）（14般-11探）有阻尼自壓振頻率（14布-12）式（1吼4-1績0）可鳴改寫為曾：§14-3單自由互度結(jié)構(gòu)昆的自由壩振動式中（14-臟12）

小阻尼情況自由振動時的y-t曲線小阻尼妻時自由奏振動曲濫線為衰勉減的正紐奉弦曲線紛，其振溪幅按e-kt的規(guī)律減沿小，故k為衰減灘系數(shù)?！?4-迅3單自由蝴度結(jié)構(gòu)觸的自由刃振動由式(14-11)有工程中ξ的值很小害（對于鋼墨筋混凝土剩結(jié)構(gòu)ξ大約為5%，鋼結(jié)懲構(gòu)的大葛約為1%-喇2%）。于駁是有ω=ω'相隔一哭周期后恢的兩個巾振幅之川比為一害常數(shù)，愿振幅是殃按等比差級數(shù)遞正減的。若用yn表示某一孝時刻tn的振幅床，yn+1表示經(jīng)叉過一個恩周期T'后的振幅贊，則有上式兩邊逢取對數(shù)，樓得振幅的對堡數(shù)遞減量同理，經(jīng)舊過j個周期后份，有由實測褲各周期炮的振幅嫩可求出岡阻尼比懸?！?4-3單自由賢度結(jié)構(gòu)揪的自由左振動(2)k>ω，即大阻尼坡情況，此時r1和r2為兩個泳負實數(shù)鮮，式(1動4-9)優(yōu)通解為效：y(t)不是一稼個周期節(jié)函數(shù),獨即在歲大阻尼從情況下饅不會發(fā)濾生振動范。（14儉-13抗）（14陜-14扮）(3)

k=ω，即臨界阻尼情況此時r1,2=-k，方程(14-9)的解為y-t

曲線以上兩神種情況嶄均不屬婆振動，軋位移時滴程曲線烘（y-t曲線）表示體系辜從初始位射移出發(fā)，步逐漸返回挑到靜平衡軟位置而無浴振動發(fā)生賤。y(t)不是周期函數(shù)，亦即在臨界阻尼情況下不會發(fā)生振動。此時，臨界阻尼系數(shù)§14-量3單自由度赴結(jié)構(gòu)的自績由振動強迫振動晶：結(jié)構(gòu)在酬動力荷旗載即外聲來干擾受力作用芽下產(chǎn)生尋的振動籌。設(shè)質(zhì)點m找受干擾力拐F（t）信作用，則歪質(zhì)點m的喂動力平衡低方程為：即：或(14-18)§14-4單自由度壇結(jié)構(gòu)在簡勞諧荷載作昂用下的強夕迫振動方程的解威包括兩部舟分：對應(yīng)拖齊次方程銀的通解和拋對應(yīng)干擾梨力F(t何)的特解(14-18)通解特解隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡諧周期荷載時的情況，如具有轉(zhuǎn)動部件的機器勻速轉(zhuǎn)動時，由于不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力的豎直或水平分力等，表達為：(14-19)其中為干擾力的頻率，F(xiàn)為干擾力最大值。此時式(14-18)寫為：(14-20)設(shè)方程的特解為：（b）（a）§14-4單自由染度結(jié)構(gòu)箏在簡諧粱荷載作贊用下的嚴強迫振租動式(b餡)代編入式(并14個-20垃)，得傻到式(a)獎+式(b短)，并剩引入初始料條件，得牽到(14-躁21)由初始條徑件決定的喬自由振動伴生自辮由振動按干擾放力頻率錄θ振動搞的純強秘迫振動園或穩(wěn)態(tài)鋼強迫振掙動由初始躺條件決縮慧定的自田由振動核階段和谷伴生自駐由振動啊階段會旋隨時間衡很快衰福減掉，迫故稱為帽過渡階掌段；最米后只剩敢下按干動擾力頻供率振動舍的純強師迫振動臂，故稱肥為平穩(wěn)書階段。王實際問糊題中，豎一般只繩討論純竟強迫振握動。§14-影4單自由梢度結(jié)構(gòu)覆在簡諧賢荷載作懂用下的嚼強迫振關(guān)動1.不揭考慮阻尼捏的純強迫留振動(14綢-22染)因此，教最大動炮力位移斤（振幅黨）為(14-連23)其中:代表將干記擾力最大父值F作為丈靜載作用阻于結(jié)構(gòu)上虛時引起的反靜力位移位移動厚力系數(shù)，代表鬧最大動疫力位移棉與靜力僵位移之館比當(dāng)θ<ω?zé)龝r，μ值為正，濃動力位移常與動力荷伙載同向；情當(dāng)θ>ω擠時，μ值為負，車表示動力這位移與動蘿力荷載的肅指向相反些,這種忙現(xiàn)象僅在豈不計阻尼尼時出現(xiàn)?！?4-碗4單自由剪度結(jié)構(gòu)盲在簡諧何荷載作公用下的斧強迫振存動

動力反應(yīng)譜（動力放大系數(shù)μ隨頻比θ/ω變化的關(guān)系曲線）動力放大滾系數(shù)μ的大小伶反映了辣結(jié)構(gòu)動瞇力反應(yīng)鴉的強弱碼。單自示由度結(jié)時構(gòu)，當(dāng)疼干擾力森與慣性月力的作糞用點重錯合時，噴位移動慘力系數(shù)薯與內(nèi)力椒動力系惑數(shù)是完鍵全一樣同的。當(dāng)，通常,當(dāng)動力荷忘載(即干資擾力)的周期大于結(jié)構(gòu)終自振周期吸的五、六功倍以上時幼，可將寬其視為靜力碌荷載。(1)由當(dāng)θ<<ω時，即θ/ω→0，這時μ→1。這種脅情況相憑當(dāng)于靜傳力作用究?！?4-敗4單自由鴿度結(jié)構(gòu)漠在簡諧輪荷載作拐用下的眼強迫振休動

動力反應(yīng)譜(2)謙當(dāng)θ≈ω時，即θ/ω≈1，這時μ→∞。即振幅痛趨于無限吉大,這種踢現(xiàn)象稱為共振。2)實際上由宏于阻尼的庭存在共振掃時振幅不搜會無限增蜂大。1)共振現(xiàn)聚象的形曾成有一拼個過程泡，振幅礦是由小懇逐漸變叫大的。注意:3)應(yīng)衣避開0.7挎5<θ/ω<1.抗25共振區(qū)。(3)簽當(dāng)θ>>ω時，即θ/ω>>1，這時μ值為負值,并且趨僑近于零晶。這表明高倘頻簡諧荷耀載作用下顏，振幅趨暗近于零，戀體系處于饑靜止?fàn)顔緫B(tài)。工程設(shè)抗計中，緒要求的植是振幅巴絕對值桌,動力鎮(zhèn)反應(yīng)譜杠中θ/ω>1部分的μ畫在橫并坐標的拖上方。注意:§14-汗4單自由給度結(jié)構(gòu)待在簡諧禁荷載作斧用下的尋強迫振賠動在單自軋由度體遇系上，冷當(dāng)干擾旅力作用薪在質(zhì)量澇上、擾銅力作用勾線與質(zhì)堡體的振怎動位移遙方向重何合時，蒼其位移惱動力系弓數(shù)與內(nèi)無力動力綢系數(shù)是勿完全相呼同的，憶結(jié)構(gòu)的芒最大動耗內(nèi)力可悲以采用貢動力系格數(shù)法求至得。如果干擾燦力不作用根在質(zhì)量上鮮，體系的暖位移和內(nèi)矩力沒有一坊個統(tǒng)一的馳動力系數(shù)六。這種情納況下的結(jié)挎構(gòu)動內(nèi)力支、動位移饞的計算，麥可用建立動力球微分方程狐的方法計敬算。見書P8自9圖14逝-15§14-4單自由度仍結(jié)構(gòu)在簡宇諧荷載作造用下的強郊迫振動解：在銀發(fā)電機潛重量作踢用下，叢梁中點的最大胳靜力位移皂為：故自振擱頻率為例14-鏡2簡支梁中半點裝有一翼臺電動機陶，電動機弱重量G=35k足N。已寺知梁的濕慣性矩I=8.8×10-5m4，E=210患GPa。派發(fā)電機轉(zhuǎn)唐動時離心砍力的垂直夫分力為F掩=sinθt，且F弟=10K咸N。不計籮阻尼，求衡當(dāng)發(fā)電機頃每分鐘轉(zhuǎn)陡數(shù)為n=翅500r遣/min己時，梁的優(yōu)最大彎矩辭和撓度。干擾力頻逐率:動力系獲數(shù):梁中點恥的最大席彎矩為梁中點的梯最大撓度延為§14-4單自由度脆結(jié)構(gòu)在簡滾諧荷載作鞋用下的強軋迫振動質(zhì)體的動卡位移y(t)是以靜力曲平衡位置嘗為零點來竟計算的，譽因此y(t)中不包括抄質(zhì)體的重窗力影響，讓但在確定醫(yī)質(zhì)體的最飲大豎向位課移時，應(yīng)夫加上這部貨分（Δst=δ11G）的影響呢。注意：§14-4單自由度紐奉結(jié)構(gòu)在簡慈諧荷載作丙用下的強男迫振動運用圖乘法可求得

(a)

(1)咱設(shè)慣性力米和動力荷杏載分別為歪單位力和庸單位力偶糠作用在體村系上，并繳繪出相應(yīng)攤的彎矩圖浴.例14-搞3圖示簡支惰梁跨中有身一集中質(zhì)補量m，支座A處受動力攝矩Msinθt的作用印，不計梁督的質(zhì)量配，試求墳質(zhì)點的史動位移否和支座A處的動閱轉(zhuǎn)角的幣幅值。解：該星體系不底能直接朋用放大以系數(shù)求慰動位移廣，可由撲建立體挖系的振恨動方程園來求解罰?！?4-球4單自由度喊結(jié)構(gòu)在簡兔諧荷載作毅用下的強達迫振動式中

代δij入上式，經(jīng)整理后得(b)解式(b)得穩(wěn)態(tài)解為(c)(2)根據(jù)疊加原理列出動糖位移質(zhì)點的動很位移是慣駝性力FI(t)和矛動力荷圣載共同鵲作用下敵產(chǎn)生的籃，按疊懇加原理輔可表示匪為§14-4單自由殺度結(jié)構(gòu)能在簡諧父荷載作葵用下的竊強迫振壓動這說明都質(zhì)體動遵位移尚題可應(yīng)用到放大系排數(shù)計算。質(zhì)點的動位移幅值為，其中為動荷載幅值M所引起的質(zhì)點靜位移yst，μ動力系數(shù)。支座A處的動幕轉(zhuǎn)角也壤是由慣稼性力FI(t)和動力荷作載共同作扮用下產(chǎn)生釋的，按疊葛加原理可鉆表示為由穩(wěn)態(tài)解俯式(c)綱可知§14-4單自由度借結(jié)構(gòu)在簡切諧荷載作旺用下的強奴迫振動對式(熔c)求誓導(dǎo)兩次蓮后代入帖上式，條可得將式(眾a)和F*=3M/l代入上式媽,得(c)§14-摔4單自由度庭結(jié)構(gòu)在簡煎諧荷載作煌用下的強違迫振動可見,按質(zhì)點肝位移的布動力系玩數(shù)μ和支座處忌動轉(zhuǎn)角的黎動力系數(shù)μφ是不同的搬。支座A處的動轉(zhuǎn)角幅值為,

為動荷載幅值M所引起的靜轉(zhuǎn)角，μφ為該動力系數(shù)。其中而動荷載壺不作用究在質(zhì)量燃上時，遇體系不龍能用一布個統(tǒng)一作的動力波系數(shù)來李表示?！?4-4單自由洗度結(jié)構(gòu)渴在簡諧愈荷載作魄用下的細強迫振啟動由式(14-21)的第三項，有：命（14-27）（14-28）令宗和管，則振皂幅A可寫為（14-29）2.有斑阻尼的強仔迫振動§14-觀4單自由乳度結(jié)構(gòu)踐在簡諧識荷載作戚用下的久強迫振該動動力系述數(shù)μ不僅與甩頻比β有關(guān)，摸而且還削與阻尼晉比ξ有關(guān)。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖在0.75佛<β<1.2喝5共振區(qū)紛范圍內(nèi)友，阻尼湖力大大恥地減小腔了μ的峰值。但在這執(zhí)范圍以外祝，阻尼對μ的影響較刪小，可按權(quán)無阻尼來欠計算。當(dāng)θ>>ω時，則μ很小，表歪明質(zhì)量m接近于不翼動或只作消極微小的割振動。(1)濕阻尼穿對簡諧荷積載的動力腫系數(shù)μ影響較積大簡諧荷鼓載作用迎下有阻霞尼穩(wěn)態(tài)喚振動的刻主要特講點：§14-辮4單自由憂度結(jié)構(gòu)籌在簡諧香荷載作草用下的成強迫振約動(2)姨在β=1的共振情掩況下,雙動力系數(shù)棄為動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖在考慮阻林尼的影響屈時，共振恰時動力系渴數(shù)不是無坡窮大,傲而是一個并有限值。趁在研究共狐振時的動引力反應(yīng)時做，阻尼的干影響是不灑容忽略的巷?！?4-4單自由度蒜結(jié)構(gòu)在簡蛙諧荷載作取用下的強診迫振動

用求極值的方法確定μ的最大值發(fā)生在處,因ξ的值通常都很小，近似地將β=1時的值作為最大值。(3)μ最大值轉(zhuǎn)并不發(fā)長生在β=1處淚。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖§14-4單自由址度結(jié)構(gòu)疤在簡諧餡荷載作扮用下的稱強迫振扣動當(dāng)β<1時，0<φ<π/2；當(dāng)β>1時，π/2<φ<π；當(dāng)β=1時，φ=π/2。(4)阻尼體蒼系的位窯移y(t)=A寒sin秘(θt-φ)和干棟擾力F(t)=s字inθt不同步升，其相位角瀉為φ。只要有散阻尼存停在,鄭位移總側(cè)是滯后烤于振動德荷載。§14-司4單自由再度結(jié)構(gòu)貍在簡諧怠荷載作降用下的謊強迫振膊動共振時,φ=π/2,位襖移方程式綢為y(t)=–ystμcosθtμ=1培/(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξmω阻尼力為注意到率共振時可見共冶振時干康擾力與盡阻尼力剝互相平逐衡。共振時關(guān)受力特伸點討論灣:§14-4單自由繳度結(jié)構(gòu)五在簡諧磚荷載作恨用下的泰強迫振什動為了減疾小動力免放大系松數(shù)μ，當(dāng)β=θ/ω<1時（稱熔為共振光前區(qū)）染，應(yīng)設(shè)拼法加大仿結(jié)構(gòu)的嫂自振頻腹率ω。這種謠方法稱勤為“剛毒性方案掉”。當(dāng)β=θ/ω>1時稱為(榜共振后區(qū)晌)，這高時，應(yīng)設(shè)設(shè)法減小結(jié)杏構(gòu)的自振喪頻率ω。這種討方法稱擱為“柔宗性方案嫩”。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖討論：§14-辯4單自由度刮結(jié)構(gòu)在簡宜諧荷載作賽用下的強匆迫振動采用沖盡量方法饑首先討沸論瞬時街沖量的陪動力反盼應(yīng)，在述此基礎(chǔ)畏上討論莖一般動責(zé)力荷載激下的動憑力反應(yīng)非。1.強迫力為啊一般動力俯荷載--無阻仗尼(1)瞬時沖量仔的動力反迷應(yīng)假定沖擊嗽荷載作用利之前體系島的初位移尚及初速度落均為零。由于荷鈔載作用漿時間極柱短，可抗以認為粱在沖擊緣瑞荷載作謀用完畢的瞬閱間，體系帶的位移仍話為零。但地沖擊荷載女有沖量，夫可以使處虹于靜止?fàn)畎翍B(tài)的質(zhì)點憤獲得速度龜而引起自粱由振動。思考：體系在降沖擊荷中載作用蔑下獲得動的是位饒移還是默速度？§14-5單自由度鴉結(jié)構(gòu)在任訊意荷載作欄用下的強宮迫振動根據(jù)動量統(tǒng)定律，質(zhì)巾點在瞬時粗沖量F·Δt作用下的鐘動量變化蹦為由于v0=0,所以有原來初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為的自由振動問題。由(14-30)得§14-5單自由猾度結(jié)構(gòu)鏡在任意張荷載作肚用下的幫強迫振膊動若沖擊荷零載不是在t＝0，而是泳在t＝τ時作用，繞則上式中悼的t應(yīng)改為(t-τ)。(14-31)

由式(標14-創(chuàng)30)聚可得在t＝τ時作用瞬刑時沖量S引起的盜動力反巾應(yīng)。(14-30)§14-5單自由度貨結(jié)構(gòu)在任掃意荷載作搖用下的強俯迫振動(2)一觸般動力荷崖載F(t)的動興力反應(yīng)帝。把整個加盒載過程看全成是由一慨系列瞬時何沖量所組察成的。在鄙時刻t＝τ作用的荷韻載為F(t)，此荷載棗在微分時筒段dτ內(nèi)產(chǎn)生堵的沖量盤為dS=F(t)·dτ。根據(jù)式魚(14-儉31)，耗此微分沖拖量引起的茫動力反應(yīng)忠為：(g)對加載勝過程中議產(chǎn)生的刻微分反臥應(yīng)進行及疊加，時得出總鑄反應(yīng)如記下：——稱為杜哈梅(Duha名mel)積分。

(14-32)§14-筒5單自由蒸度結(jié)構(gòu)懸在任意演荷載作泳用下的陣強迫振濟動——(1錯4-33愛)式中第一控、二項代拌表自由振社動部分，哀第三項代灰表強迫振依動部分。(14-32)如果初始集位移y0和初始速混度v0不為零，直則總位移腰應(yīng)為：§14-尋5單自由啊度結(jié)構(gòu)誼在任意豈荷載作茫用下的糞強迫振組動2.幾種動荷抄載的動力魔反應(yīng)(1)突加長期折荷載o

F(t)t0F突加長期錦荷載就是晌指突然施拘加于結(jié)構(gòu)李并繼續(xù)作降用在結(jié)構(gòu)躲上的荷載督，它可表伴示為：如果原結(jié)蠻構(gòu)的初始俗位移和初釘始速度都梨等于零，淺將式（h簽）代入式灑(9-3毫2)并進筐行積分后搜，可得動沖力位移如驗下：（h）

(14-34)

(14-32)§14-5單自由評度結(jié)構(gòu)仁在任意跪荷載作譯用下的光強迫振泛動當(dāng)t=T/2時麥，[y(t)]max=2yst，動力蔬系數(shù)為μ=2。位移時程曲線圖

(14-34)

式中表示在靜力荷載F0作用下所產(chǎn)生的靜力位移。當(dāng)突加誘荷載作既用在系針統(tǒng)上的擠時間超睬過t=T/2隱時就算況作長期及荷載,腹這時炕引起的米最大動填力位移鹽為相應(yīng)繭靜力位晚移的兩旗倍。§14-5單自由群度結(jié)構(gòu)拿在任意干荷載作裹用下的擠強迫振拿動其特點轎是當(dāng)t=0時，前在質(zhì)體上殿突然施加角常量荷裁F0，而且暮一直保濕持不變框，直到t=t1時突然渣卸去。(2)糞突其加短期席荷載體系在晨這種荷甚載作用碗下的位緞移反應(yīng)突，可按助兩個階雀段分別照計算再揮疊加。第一階段灘（0≤t≤t1）：此階藝段與突加汪長期荷載景相同，因播此動力位霧移反應(yīng)仍殖按公式(箱9-34層)計算。荷載可以令看作突加淘長期荷載F0(圖中協(xié)坐標上割方實線蕉及所續(xù)仔虛線部遭分)疊繁加上t=t1時突加上浴來的負長厲期荷載(－F0)(圖禍坐標下溉方虛線牲部分)昂?！?4-槽5單自由度季結(jié)構(gòu)在任屆意荷載作籠用下的強撕迫振動(14-35)第二階推段(t≥t1)：荷然載可以證看作突負加長期效荷載F0(圖中坐內(nèi)標上方實愚線所續(xù)虛貝線部分)帶疊加上t=t1時的負量突加長爬期荷載(-F0)(圖9中亂坐標下方胳虛線部分乓)。當(dāng)t≥t1時，有第一階段覺（0≤t≤t1）與突加楚長期荷載索相同，動堤力位移反樣應(yīng)為§14-5單自由扣度結(jié)構(gòu)織在任意鄭荷載作猜用下的蒼強迫振學(xué)動質(zhì)點位移廢反應(yīng)可分集為兩個階筐段按式（越14-3飽3）積分僚求得。(3)殊爆炸沖竭擊荷載變化規(guī)律梯為第一階段（0≤t≤t1）§14-腰5單自由度法結(jié)構(gòu)在任旱意荷載作中用下的強稠迫振動——(1位4-37圍)第二階段柜（t≥t1）當(dāng)(t1／T)>0.4時，最大位移公反應(yīng)在第否一階段出割現(xiàn)，否則就出稿現(xiàn)在第二病階段出。從前面幾疼種動力荷淋載作用下拴單自由度工體系的位急移反應(yīng)可知，最大判位移反應(yīng)仇與與t1／T有關(guān)。最大位移纖反應(yīng)可用叨速度為零狀（即位移槍的導(dǎo)數(shù)）活這個條件恩下的時間位值來計算朝?！?4-5單自由度樹結(jié)構(gòu)在任負意荷載作昌用下的強校迫振動3.當(dāng)強以迫力為一坑般動力荷浙載情況-屆-有阻尼有阻尼體煙系在一般薪動力荷載F(t)作用時，考其動力位湯移也可表的示為杜哈殿梅積分。由于沖量S=mv0，故在劈燕初始時恒刻由沖生量S引起的振陡動為（9-46）單獨由初始速度v0(初始位移為零)所引起的振動為§14-5單自由漁度結(jié)構(gòu)想在任意肢荷載作現(xiàn)用下的晨強迫振筋動把一般遷動力荷彩載F的加載葬過程看雨作是由荒無限多啦個瞬時盛沖量所抽組成，扁對t=τ到t=τ+dτ的時間分拆段上的微鉗分沖量dS=F(τ)dτ來說，它娛所引起的懷動位移為(t>τ)積分后即黎得開始處便于靜止?fàn)顟T態(tài)的單自外由度體系繼有阻尼的棒受迫振動冤方程為(14朗-47造)§14-傍5單自由度偵結(jié)構(gòu)在任尋意荷載作吵用下的強營迫振動如果還有懶初始位移y0和初始額速度v0，則總嘩位移為(14-妄47)(14-濱48)這就是粉有阻尼淋情況下違的杜哈幅梅積分花?！?4-5單自由上度結(jié)構(gòu)張在任意兄荷載作筑用下的序強迫振輸動工程實際刑中有很多爐結(jié)構(gòu)是不騎宜簡化為接單自由度游體系計算居的。例如萬多層房屋聾、多跨不懶等高工業(yè)聞廠房以及周煙囪等,作都必須惰按多自由子度體系來笨處理。圖示等甚截面煙飯囪，將貢其分為支八段，齊從上到再下將每林兩段的什質(zhì)量集蔽中于其窯中點，溉將一個紋無限自偶由度的欲體系簡槳化為四撈個自由鼻度體系兆?！?4-蹤蝶6多自由異度結(jié)構(gòu)鉤的自由頁振動圖示簡支出梁的自重已略去不計,體熱系有n個振動自嗽由度，y1、y2、…、yi…、yn分別代表敲這些質(zhì)點銀自靜平衡沈位置量起侄的位移。1.振衣動微分方脊程的建立質(zhì)（剛度法智、柔度法濃）剛度法（1）壯首先加叢入附加朱鏈桿阻治止所有刃質(zhì)點的劍位移,艷則在各構(gòu)質(zhì)點的旺慣性力作用下，駕各鏈桿產(chǎn)騎生和慣性構(gòu)力大小相貧等、方向進相反的反刪力；可按照強位移法角的步驟船來處理§14-爽6多自由度凱結(jié)構(gòu)的自防由振動（2）搞其次令英各鏈桿脈發(fā)生與酷各質(zhì)點雖實際位凱置相同滑的位移顛，此時言各鏈桿竊上所需蹈施加的力為FRi(i=1,奴2,…箏,n)源。（3）繡不考慮餐阻尼時嚴，將上位述兩種望情況疊均加，各統(tǒng)附加鏈厘桿上的著總反力徹為零，尿由此可列出砍各質(zhì)點規(guī)的動力灣平衡方量程。以剃質(zhì)點mi為例：即：§14-6多自由盤度結(jié)構(gòu)拐的自由儲振動

(14-46)同理，體罪系中的每魄一個質(zhì)點索都可以列堪出相應(yīng)的雹動力平衡笛方程式，煩有寫成矩稠陣形式但：(14-48)簡寫為：§14-逗6多自由信度結(jié)構(gòu)徹的自由上振動Y和?分別是黃位移向誰量和加辭速度向異量：M和K分別是已質(zhì)量矩扶陣和剛翠度矩陣胃：§14-岡6多自由菠度結(jié)構(gòu)閃的自由擦振動體系中裕某質(zhì)點i產(chǎn)生位爭移yi可看成廣是系統(tǒng)蚊內(nèi)各質(zhì)舌點運動奇時的慣令性力共沖同引起濾的。即柔度法考慮每勒一個質(zhì)幟點的位除移，可柔得一組如運動微犯分方程申式：FI1，F(xiàn)I2，…，F(xiàn)In為質(zhì)點1，2，……n的慣性膊力。體系的逼柔度系釘數(shù)δij為作用在魄質(zhì)點j上的單位種力引起質(zhì)瞧點i的位移?！?4-怒6多自由鋼度結(jié)構(gòu)諸的自由汪振動寫成矩硬陣形式鍛：δ稱為體系照的柔度矩隊陣,I—單位矩距陣?；?14-51)所以，必由剛度桑法建立偶的公式（1湖4-48猴）與公式涉（14-武51）是完全儲相通的糕。因為：§14-慰6多自由度岸結(jié)構(gòu)的自動由振動設(shè)公式（14酷-51愈）的特解絹為：2.按潮柔度法求付解(14-51)即所有貪質(zhì)點按寇同一頻結(jié)率同一撇相位作飯同步簡爽諧振動扮，但各后質(zhì)點的墾振幅值啊各不相貧同(14頌-53追)(14-54)有(f)柔度法諷的振幅早方程§14-質(zhì)6多自由度偏結(jié)構(gòu)的自晚由振動柔度法的社頻率方程振幅向量A存在非峰零解的禾條件為(14-蜜56)(14-55)

根據(jù)頻率方程可得到n個自振頻率，將它們由小到大排列，分別稱為第一，第二，…，第n頻率，并總稱為結(jié)構(gòu)自振的頻譜。注意:體系自振飾頻率的個勒數(shù)和它的功自由度數(shù)蚊目相同?！?4-6多自由度令結(jié)構(gòu)的自閃由振動此時各質(zhì)點按同一頻率作同步簡諧振動，但各質(zhì)點的位移相互間的比值并不隨時間而變化，也就是說在任何時刻結(jié)構(gòu)的振動都保持同一形狀，整個結(jié)構(gòu)就像一個單自由度結(jié)構(gòu)一樣在振動。這種多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率進行的簡諧振動稱為主振動，與其相應(yīng)的特定振動形式稱為主振型(振型)將代回式(14-53)，得到：(14-59)將n個自振頻率中的任一個代入式(f)，得到特解為(14梅-57奪)§14-爹6多自由虧度結(jié)構(gòu)說的自由切振動n個主振動爪的線性組女合，構(gòu)成雅振動微分滋方程的一結(jié)般解：(14循-60頓)和取決于初始條件。然而自振頻率和振型與外因干擾無關(guān)，只取決于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)，因而反映著結(jié)構(gòu)本身固有的動力特性。由于此時系數(shù)行列式為零，因此n個方程中只有（n-1）個是獨立的，因而不能求得的確定值，但可確定各質(zhì)點振幅間的相對比值，便確定了振型。振型向肯量規(guī)準化振倦型向量§14-6多自由形度結(jié)構(gòu)氣的自由搜振動對于兩柏個自由題度結(jié)構(gòu)絹，振幅體方程（涼14-遞53）陽為：令賀，將上抄式展開得責(zé)：頻率方罰程為：(14據(jù)-61扁)§14-6多自由度像結(jié)構(gòu)的自覆由振動兩個自菌振頻率孝為：(14-蒜62)兩個主振類型為：(14-銜63)(14-烏64)§14-很6多自由議度結(jié)構(gòu)存的自由剪振動例14-撐3圖示簡支剖梁在跨度筆的三分之廢一處有兩鑒個大小相友等的集中貝質(zhì)量m，試分公析其自量由振動斤。設(shè)梁害的自重學(xué)略去不真計，EI＝常數(shù)。解:(1盟)計算柔不度系數(shù)δij§14-6多自由度搶結(jié)構(gòu)的自希由振動求得將δij和m值代人上式(2)求森頻率：§14-6多自由飽度結(jié)構(gòu)拖的自由呀振動將ωi和δij值代上頑入式得第一葡主振型召為第二主振估型為(3)英分析隱振型§14-6多自由舉度結(jié)構(gòu)乞的自由徑振動可以看屢出，如臘果結(jié)構(gòu)袋本身和艦質(zhì)量分巖布都是啞對稱的陽，則其址振型不垮是正對籍稱的便窯是反對耕稱的。第一主振分型第二主振爪型§14-6多自由當(dāng)度結(jié)構(gòu)者的自由姥振動例14-煮4圖示剛架殖，在梁跨格中D處和柱頂A處有大雖小相等產(chǎn)的集中宴質(zhì)量m，支座C處為彈性巡壽支承，彈撿簧的剛性勻系數(shù)k=(3EI)/l3。試求自振頻率僵和振型。1.求柔度現(xiàn)系數(shù)解：體加系有兩久自由度恢，A處質(zhì)點的抄水平位移披和D處質(zhì)的豎錦向位移。繪制M1、M2圖,由圖飯乘及彈簧軍內(nèi)力虛功語計算得§14-6多自由霉度結(jié)構(gòu)身的自由意振動2.寫友出振型方駁程（a）3.寫泰出頻率方歷程，求頻慢率展開式為解得相應(yīng)的烤頻率為§14-第6多自由度脫結(jié)構(gòu)的自測由振動當(dāng)λ=λ1=27.0唉83時，潔設(shè)A1(1)=1,得第一主振型為第二主杠振型為當(dāng)λ=λ2=2.9登17克時，設(shè)A1(2)=1，得4.求聲振型并繪什出振型圖由所得結(jié)小果繪出振談型§14-哲6多自由度緊結(jié)構(gòu)的自純由振動3.加按剛度雀法求解(14-66)

(14-65)振幅方程頻率方奶程將得到的n個自振頻率代回振幅方程，得：(14-67)同樣可名確定n貼個主振圓型。對于兩個鉤自由度結(jié)旋構(gòu)，頻率妄方程為：§14-段6多自由度夜結(jié)構(gòu)的自信由振動展開得魄：兩個主振掛型為：§14-術(shù)6多自由度情結(jié)構(gòu)的自標由振動例14-嗎5三層剛否架如圖葉所示。句設(shè)自上兩到下，垮各層樓刪面的質(zhì)蓋量(包秀括柱子清質(zhì)量)屯分別為m1=18球000佛0kg，m2=270奶000k鏈g，m3=27沾000霧0kg；各層的秤層間側(cè)移終剛度(即該層剖柱子上迎、下兩眠端發(fā)生猴單位相剝對位移包時，該志層各柱塑剪力之劍和)分研別為k1=98園MN/唐m，k2=19恢6MN勇/m，k3=245委MN/m。求剛架夢的自振頻客率和振型。設(shè)寫橫梁的目剛度EI＝∞。解:漢(1)求宋頻率。體系的蜜自由度骨數(shù)為3扭。振型方程配為頻率方勒程為§14-6多自由度掉結(jié)構(gòu)的自雹由振動建立剛慶度矩陣肚和質(zhì)量炊矩陣由圖b可得：

由圖c可得：

由圖d可得：

§14-卵6多自由度算結(jié)構(gòu)的自走由振動得剛度山矩陣：質(zhì)量矩窯陣為：§14-6多自由度經(jīng)結(jié)構(gòu)的自扯由振動頻率方訊程：引入符號η,則展開式談為§14-6多自由度收結(jié)構(gòu)的自盾由振動解方程得：由求得三個自振頻率為：§14-泰6多自由度恩結(jié)構(gòu)的自瓣由振動將代入式(K-ω2M)φ=0，為求標準化振型，規(guī)定φ1(j)=1。2.求頭振型：第三振型第二振型第一振型§14-仰6多自由度燙結(jié)構(gòu)的自抬由振動(4)動與單自由提度體系相戀同，多自暗由度體系夸的自振頻證率和主振最型也是體啄系本身的悠固有性質(zhì)至。對于多拖自由度恢體系:(1)搬在多自由榆度體系自蓮由振動問浸題中，主刊要問題是獄確定體系脫的全部自芬振頻率及倉其相應(yīng)的馬主振型。(2)理多自由度價體系自振境頻率不止嬸一個，其緊個數(shù)與體匠系自由度職的個數(shù)相祝等。自振勻頻率可由懲特征方程習(xí)求出。(3)重每個自振懲頻率有自擱己相應(yīng)的乖主振型。勤主振型是窯多自由度臨體系能夠柿按單自由勺度振動時烏所具有的擴特定形式撤?！?4-6多自由含度結(jié)構(gòu)頁的自由媽振動對上述慌兩式分蛛別兩邊誕同時左第乘慨和呀，有對其中其任兩個潛不同的輪主振型惹向量Xi和Xj，有4.徑主振型螺的正交煩性n個自由繞度結(jié)構(gòu)喪具有n個自振瓣頻率及n個主振型乘，每一頻滾率及其相摔應(yīng)主振型卡都滿足(14-67)(b)(a)(d)(c)（d）仇式兩邊男轉(zhuǎn)置，釣有(e)（c）服式-（點e）式非，有§14-6多自由度春結(jié)構(gòu)的自考由振動當(dāng)(i≠j)時，有這說明，閥對于質(zhì)量傭矩陣M，話不同頻率碗的兩個主止振型是彼述此正交的鄭。同理可辦以證明栽，對于狡質(zhì)量矩扇陣K，庸不同頻棒率的兩忽個主振定型彼此悟也是正槽交的。對于標不準化的騙振型向組量，也拖同樣具勝有正交固性，即振型正交自性的物理杏意義:體系按逃某一振撫型振動叢時，它陷的慣性腦力不會饑在其它惜振型上蒙作功。粗也就是宣說它的袋能量不慎會轉(zhuǎn)移阻到其它及振型上轎去，說疫明各個愛主振型迅都能夠兇單獨出誦現(xiàn)，彼流此線形碑無關(guān)。主振型的糧正交性是鑄結(jié)構(gòu)本身疼的固有特常性，它不缺僅可以用鏟來簡化結(jié)趨構(gòu)的動力嘩計算，而鞋且還可以漆用來檢驗朵所求的主下振型是否父正確?！?4-6多自由度帝結(jié)構(gòu)的自勿由振動計算結(jié)構(gòu)假在動力荷投載作用下胸的位移和斑內(nèi)力,史即結(jié)構(gòu)的池動力反應(yīng)觸。本節(jié)只墻研究結(jié)構(gòu)叢在簡諧荷槽載作用下瓶的動力反掠應(yīng)問題。范求解的方苦法只討論淹直接法。若干擾力貍頻率處于攜共振區(qū)以恨外，則阻姓尼的影響犯不大。本沫節(jié)不考慮電阻尼。體系強迫強振動要解尤決的問題§14-7多自由委度結(jié)構(gòu)障在簡諧蔬荷載作逆用下的初強迫振罰動振動過程職中的任一饞時刻t，引起體陷系位移的行力有兩種絹：1.各質(zhì)點描的慣性申力FI1(t)、FI2(t)、…、FIn(t)2.干擾力F1sinθt、F2sinθt、…、Fksinθt一、柔懲度法建立為振動微分睛方程式體系中碗任一質(zhì)且點mi的位移yi為：yiP為所有干爛擾力在質(zhì)臘點mi處引起晚的位移堤。§14-7多自由啦度結(jié)構(gòu)君在簡諧灣荷載作攤用下的眠強迫振撥動動力荷錫載達到啞最大值俯時在質(zhì)鋒點mi處所引起廢的靜力位纏移。注意到F(t)=－慣mi?i，有對于n個自由境度體系拆，可以方建立n個這樣較的方程仔。寫成矩陣橡形式為：δM?+y=?Psinθt(14費-73著)(14-考72)?P=[?1P?2P…?nP]T為動荷載量幅值引起斧的靜力位藏移列向量眠。δ為結(jié)構(gòu)怕的柔度用矩陣?！?4-株7多自由度鮮結(jié)構(gòu)在簡賓諧荷載作牛用下的強尊迫振動是一個幫非齊次得線性微管分方程漠組。它鏟的一般府解由兩舍部分組踐成：一感部分是擴對應(yīng)齊日次微分捉方程的槽解；另忠一部分鴉則是某挎一特解鋒。齊次撞解對應(yīng)棋于自由剖振動部初分，這僻部分將氣很快衰理減掉。旬在研究糾強迫振壇動問題閉時，著壁重討論神式(1絮4-7乳9)的宣特解,律即穩(wěn)定相強迫振攪動的解襖。δM?+y=?Psinθt(14-乞73)設(shè)方程的佩特解為：y=Asinθt(14-沫74)A=[A1A2…An]TA為強迫振矛動位移幅逮值列向量宮：A1、A2、…、An.將y連同?=－Aθ2sinθt代入式(厭14-7停3)，化井簡后得(14-76)解方程組扭可求出各脅質(zhì)點在純必強迫振動頑中的振幅饒：由式(1篇4-74舍)可得各使質(zhì)點的振枯動方程?！?4-前7多自由度腐結(jié)構(gòu)在簡姻諧荷載作克用下的強健迫振動令FI0=θ2MAFI=－M?=前θ2MAsinθt=FI0sinθtFIi0=θ2miAi(i=1,2,…,帝n)y=AsinθtFI0稱為慣汪性力幅妻值列向攻量。寫成展樂開形式接為：由上式蘿可以看機出：位移、慣衰性力和干袍擾力均按耗同一頻率瞧作同步簡鋒諧振動，邊且同時達層到幅值。各質(zhì)點糖的慣性被力為：FI=－M?=云θ2MAsinθt(14遭-77羞)式中FI=[FI1FI2…FIn]T為慣性力東列向量?！?4-7多自由度險結(jié)構(gòu)在簡雪諧荷載作軟用下的強道迫振動在計算最評大動位移砍和最大動色內(nèi)力時，重可先求得聰慣性力的合幅值FIi0，然后彎再把FIi0和干擾力雹幅值Fi同時作用永于結(jié)構(gòu)上傘，按靜力脊分析方法歲即可求得狀最大動位慘移和最大禽動內(nèi)力?！?4-7多自由起度結(jié)構(gòu)長在簡諧暖荷載作畝用下的除強迫振烈動二、剛朝度法建黨立振動養(yǎng)微分方薯程當(dāng)干擾力蹄均作用在腳質(zhì)點處時叛，由n個自由澡度的剛雁度法基政本體系齒，得出努其動力否平衡方如程如下鹽：

(14-80)寫成矩怒陣形式丹為：M?+KY=務(wù)F(t)(14-秒81)§14-既7多自由度唯結(jié)構(gòu)在簡虛諧荷載作攤用下的強撐迫振動F(t)=Fsinθt式中F=[F1F2…Fn]T為荷載幅睡值列向量徒。若各干擾爛力為同步稅簡諧荷載衣，即：在平穩(wěn)見階段各砍質(zhì)點亦續(xù)均按頻印率荷載θ作同步絨簡諧振叼動。設(shè)：Y=Y0sinθt(14噸-82臭)將{Y}和{?}=-θ2{A}sinθt代人式(凍14-8桑0),并禮消去公因到子sinθt,得(K－θ2M)Y0=F(14-開83)則Y0=(K－θ2M)-1F§14-私7多自由搏度結(jié)構(gòu)豪在簡諧墊荷載作艦用下的讀強迫振殊動由{A}便可求積得各質(zhì)福點的慣奶性力幅產(chǎn)值：FI0=θ2MA或FIi0=θ2miAi(i=1,2,…,刪n)其展開庫形式為乓：(14糕-92燥)§14-7多自由尤度結(jié)構(gòu)斯在簡諧東荷載作溉用下的僅強迫振和動注意:當(dāng)有簡諧絮集中荷載旦未作用于院質(zhì)量上時暖，可假設(shè)抱該處的質(zhì)傍量為零后荷再套用公北式(14孤-87)據(jù)或公式(溝14-8海8);當(dāng)有簡協(xié)諧分布膏荷載作由用時，冒則需先書化為作刮用于質(zhì)贏量上處右的等效腥動力荷亮載，或末者是采圖用柔度無法計算蘭?！?4-斧7多自由竟度結(jié)構(gòu)麗在簡諧蓬荷載作矩用下的傷強迫振萄動解徐設(shè)以FI10、FI20分別代擁表質(zhì)點m1、m2的慣性力皇幅值，其禿典型方程攜如下：例14-6試求圖示體系的最大動位移和動內(nèi)力圖。已知

，m1=m2=m,EI=常數(shù)?！?4-剛7多自由軋度結(jié)構(gòu)勺在簡諧遠荷載作類用下的茫強迫振浪動柔度系熔數(shù)和自制由項可霉利用圖仿乘法求士得將上述數(shù)橋值代人典萬型方程(a)，化簡后描得§14-7多自由浸度結(jié)構(gòu)戚在簡諧快荷載作臘用下的臭強迫振急動解得：FI10=0.29郵36F，F(xiàn)I20=0.2嫩689F將FI10、FI20和F共同作用喝在結(jié)構(gòu)上竹，然后按靜留力計算方汪法求得最障大動位移致?！?4-襯7多自由度赤結(jié)構(gòu)在簡駁諧荷載作浮用下的強牢迫振動最大動位移圖最大動內(nèi)力圖§14-儀7多自由度池結(jié)構(gòu)在簡源諧荷載作儉用下的強閥迫振動算得截面l處動荷載拋幅值所產(chǎn)判生的靜力疏值分別為專：相應(yīng)的惕動力系皺數(shù)為：由此可碌見，在冊多自由跌度體系度中，沒勿有一個祝統(tǒng)一的似動力系閘數(shù)，這鐵是與前登述單自繭由度體記系不相昂同的?！?4-7多自由度次結(jié)構(gòu)在簡者諧荷載作身用下的強股迫振動例14-7求示結(jié)們構(gòu)質(zhì)點租的振幅釣和繪制接最大動垃力彎矩感圖。已葬知m1=m2=m，F(xiàn)=蘋ql，滴,雀各桿EI=常數(shù)告。解用壓柔度法須求解。淘繪出M1、M2圖,計算柔度膀系數(shù)和自潮由項.§14-7多自由窮度結(jié)構(gòu)喘在簡諧嫩荷載作壓用下的五強迫振塑動繪MP自由項計論算如下§14-7多自由誦度結(jié)構(gòu)滔在簡諧撞荷載作無用下的皂強迫振應(yīng)動將求得的指柔度系數(shù)、自由項以亞及θ帶入慣性卡力幅值方俱程（14-熔85）得以乘上式經(jīng)整理后得解得體系教的最大慣錘性力為：FI10=－2.6叛3ql，F(xiàn)I20=－1.62ql負值表明慣性力的方向與圖中的單位力的方向相反?！?4-咳7多自由麻度結(jié)構(gòu)排在簡諧侮荷載作霉用下的丟強迫振驢動最大動力彎矩圖按

求得，當(dāng)簡諧荷載向右和向下時，對應(yīng)的彎矩圖為實線所示；當(dāng)簡諧荷載向左和向上時，對應(yīng)的彎矩圖為虛線所示?！?4-場7多自由度明結(jié)構(gòu)在簡跑諧荷載作約用下的強武迫振動解干擾力頻率為求得各剛度系數(shù)為：§14-唱7多自由隊度結(jié)構(gòu)擔(dān)在簡諧父荷載作過用下的妻強迫振偵動剛度矩墊陣為質(zhì)量矩陣翅為干擾力幅鉗值列向量糧為F=[50]TkN§14-芒7多自由度僚結(jié)構(gòu)在簡燙諧荷載作包用下的強聲迫振動由第一層樓面處振幅A1=－0.20統(tǒng)6mm第二層樓面處振幅A2=－0.20制2mm慣性力幅辜值FI10=θ2m１A１=15.居712×100宴×(－0.20團6×10－4)=－5.08付kNFI20=θ2m2A2=15.7沾12×120迎×(－0.2桶02×理10－4)=－5.98就kN有§14-王7多自由度死結(jié)構(gòu)在簡太諧荷載作騰用下的強訪迫振動將干擾力鐵幅值和慣認性力幅值橡作用在結(jié)蹤蝶構(gòu)上,踩由位移法熄求得各桿揮端最大動白彎矩并作檔彎矩圖。M圖(kN·m)§14-7多自由度熊結(jié)構(gòu)在簡界諧荷載作首用下的強運迫振動多自由話度結(jié)構(gòu)叛無阻尼盜強迫振許動微分意方程為（14-緩81）對于只有背集中質(zhì)量突的結(jié)構(gòu)，蹲質(zhì)量矩陣拴M是對角聚矩陣，但耗剛度矩陣動K一般不據(jù)是對角矩倉陣，因此陵振動微分迅方程的各秘方程為耦貍聯(lián)的。當(dāng)浪荷載F(寇t)為任津意動力荷湯載時，求扁解微分聯(lián)蹤蝶立方程組孝是很困難測的。為此，延可利用焦主振型領(lǐng)的正交征性通過秘坐標變私換的途艇徑，把黎位移Y頸分解為獲各主振劈燕型的疊著加，使努聯(lián)立方涂程組變鞏為相互袍獨立的傍方程，塞簡化計碎算。即義振型分凡解法。位移向量稱為幾何坐標將結(jié)構(gòu)傭已規(guī)準燦化的n封個主振惡型向量作基底把幾何鄭坐標Y鍛表示為夸基底的皺線性組愧合，即（14閘-86量）展開為壓：（14-奴87）可簡寫垂為：（14勞-88鄉(xiāng)豐）§14-8振型分裁解法這就把幾飄何坐標Y鄭變換成數(shù)盟目相同的正則坐暴標稱為主振型蔽矩陣，為幾何超坐標和棉正則坐趟標之間飯的轉(zhuǎn)換樣矩陣將式(14-88)代入式(14-81)，并左乘有（14-90）利用主蟲振型的檔正交性扒，易證研明§14-8振型分馳解法同理，有其中，相應(yīng)于第i個主振型的廣義質(zhì)量，廣義質(zhì)量矩陣廣義剛度矩陣其中，相應(yīng)于第i個主振型的廣義剛度，由前節(jié)可知，令j=i，將廣義范質(zhì)量和異廣義剛亞度表達窄式代入儀，有或這就是賣自振頻題率與廣膠義剛度祥和廣義右質(zhì)量之蹦間的關(guān)制系§14-庭8振型分解必法記（14-97）則（14-98）廣義荷載向量（14-99）其中，相應(yīng)于第i個主振型的廣義荷載（14-101）將廣義辭質(zhì)量矩肅陣、廣育義剛度商矩陣、聯(lián)廣義荷漂載向量奸代入式洪(14鐵-90葛)，有即方程屑組已解家除耦聯(lián)摧，式(梯14-階90)貞成為n端個獨立節(jié)方程。§14-8振型分解幼法或因為所以（14-102）這與單爺自由度賄結(jié)構(gòu)的女強迫振汗動方程池略去阻愉尼后的技形式相聚同，故歌可按同閃樣方法柜求解。（14-103）在初位炭移和初爹速度為麻零的情黑況下，幕可用杜惱哈梅積賞分求得共式(1溪4-1債02)宜的解為練：這樣，就毀把n個自編由度結(jié)構(gòu)例的計算簡認化為n個色單自由度幼計算問題略。在分別仁求得了各及正則坐標帥αi,可得啞到幾何練坐標yi§14-8振型分解槽法振型分解法的計算步驟：（1）求自振頻率和振型（2）計算廣義質(zhì)量和廣義荷載

（3）求解正則坐標的振動微分方程，得到αi（i=1,2,…,n）（4）計算幾何坐標，求出各質(zhì)點位移，然后即可計算其它動力反應(yīng)（加速度、慣性力等）§14-魔8振型分葛解法§14破-9無限自由淘度結(jié)構(gòu)的褲振動結(jié)構(gòu)自振否頻率的計想算是結(jié)構(gòu)愚動力計算折的一個重拳要內(nèi)容。并從實用的闖要求來說籠,有必搜要采用近戚似的計算冤方法求解歐。能量法凱就是用來唯計算基本美領(lǐng)率ω1的近似當(dāng)方法。實際結(jié)構(gòu)倘振動時,惕由于阻尼穩(wěn)作用的影魄響,高振率型分量很快就會消盼失?；疽u頻率的計檔算很重要形。在我國需有關(guān)設(shè)計虧規(guī)范中往包往可以根并據(jù)與基本同頻率對應(yīng)放的最大周夏期，便可數(shù)從規(guī)范中申選取各種竿有關(guān)的計督算參數(shù)?！?4-臣10計算頻遵率