專升本復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)

xn1，…（對于每一個正整數(shù)nxnxnxn=（n在幾何上，數(shù)列{xn}可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1,x2,x3,...xn定義對于數(shù)列{xnn→∞時，xnA，則稱當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A

否則，對于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)，：135，（2n1，…數(shù)列極限的幾何意義將常數(shù)A及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列{xnAnxn點A，即xnA距離|xn-A|0。定理1.1（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。 定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn（2），定理1.5 時當(dāng)x→x0f（x）x→x0f（x）y=f（xAx→x0時，函數(shù)f（x）A，記作或f（x）→A（當(dāng)x→x0時）當(dāng)x→x0時f（x）y=f（xx從x0x0f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作或f（x0-當(dāng)x→x0f（x）y=f（xx從x0x0f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作x00f（x）1顯然，函數(shù)的左極限 右極限與函數(shù)的極限1.6當(dāng)x→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于Ax→1時，當(dāng)x→1f（x）22當(dāng)x→∞時，函數(shù)f（x）x→∞時，函數(shù)f（x）的極限y=f(x)=1+ y=f（x稱當(dāng)x→∞時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作y=f（x，如果當(dāng)則稱當(dāng)x→+∞時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作 例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當(dāng)x→+∞時，f（x）→？x→-∞時，函數(shù)f（x）y=f（x稱當(dāng)x→-∞時，f（x）的極限是A，記作則f(x)=2+ f(x)=2+→2例：函數(shù)，當(dāng)x→-∞時，f（x）→？解：當(dāng)x→-∞時，-x→+∞x→∞，x→+∞，xf（x）f（x）A充分必要條件是當(dāng)x→+∞以及x→-∞時，函數(shù)f（x）有相同的極限A。f（x）也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當(dāng)x→∞時的極限是1，即雖然當(dāng)x→-∞時，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時，f（x）x)=1+即雖然當(dāng)x→-∞時，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時，y=arctanx的極限不存在。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點 注意：上述定理1.7及定理1.8對 1.9則 定理1.10函數(shù) 以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個無窮小量之和。越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng)x越變越大時，就越 （∞定理1.11在同一變化過程中，如果 當(dāng)當(dāng)2（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無 是 是 令其中e（銀行家常數(shù)）（2） D.[答 C.D.低階的無窮小量 與x（1）[0208][答（1）[0316]計算[答（2）[9516][答 D.[答（2）[0006][答解:（1）[0416]計算[答]（2）[0118]計算[答，8.用等價無窮小代換定理求極限[0317][答]0 ， 求a,b的值. 令 ，則k= 函數(shù)在點x01y=f（x）x0量△x（x0）0y0y=f（x）x0y=f（x）x02y=f（x）在點x0x→x0數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處右連續(xù)。由上述2y=f（x）x0f（x）x0定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，bxf（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處是左連續(xù)。定義如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)則稱點x0為f（x）f（x）x0在點x0處，f（x）在點x0處，f（x）雖然在點x0處f（x）有定義，且存在，但則點x0是f（x），則f（x）在A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1解：x=0處，f（0）=0x=0f（x）的間斷點x=1處，f（1）=1 x=0處連續(xù)，則k 例3[0209]設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=？：（）e f（x，g（x）（1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù)（2）f（xg（x）（3）（3）若（x≠，1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）=x0y=f（u）在u=g（x）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在xx0續(xù)。u=g（x增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少x=f-（）也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，f（x1.15（有界性定理）f（x）在閉區(qū)間[a，bf（x）定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，MmmMC，在[a，b]上至f（x）x0f（x）x0處連例1.證明三次代數(shù)方程x-5x+1=0在區(qū)間（0,1