人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)A版-選修4-5-第二講 證明不等式的基本方法-一　比較法（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

(一)比較法1.對(duì)比較法的說明比較法是證明不等式的基本而重要的方法.比較法有兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：≥-≥O，≤骨-≤O.另一種是相除比較法,是把不等式兩邊相除，轉(zhuǎn)化為比較所得商式與1的大小關(guān)系，它的依據(jù)是：當(dāng)>0，>>l，==1,<<1.在比較法的兩種方法中，相減比較法又是其中最基本而重要的一種方法，應(yīng)該引起學(xué)生的充分注意和重視.用相減法證明不等式時(shí)，要判斷不等式兩邊差的符號(hào).對(duì)不等式兩邊求差后，要通過配方、因式分解、通分等，對(duì)所得代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，得到一個(gè)能夠明顯看出其符號(hào)的代數(shù)式.進(jìn)而得出證明.2.對(duì)例題的教學(xué)建議例1是用相減比較法證明不等式的一個(gè)例子.本例比較簡(jiǎn)單，只要學(xué)生具有一定的代數(shù)恒等變形能力，就能順利完成，可以讓學(xué)生獨(dú)立完成.要注意書寫的規(guī)范性.以下的結(jié)論是例1的推廣.若>O，>O，>O(),則≥證明如下：不等式左邊減去右邊，得()-()=()-()=()(-)(1)若>，則≥，從而->O，-≥0．所以()(-)≥O(2)若=，則-=O，所以()(-)=0(3)若<，則≤，從而-<O，-≤0所以()(-)≥O綜合上述三種情形，有()-()=()(-)≥O．所以≥.以下的例題也是用相減比較法證明的問題，可供教學(xué)參考.例已知,,,都是正數(shù)，且<，求證：<<．證明：因?yàn)?,,都是正數(shù)，且<,所以，在以上不等式兩邊同乘,得<,所以-<0,因?yàn)?=<0所以<同理可證<所以<<例2是一個(gè)實(shí)際問題.問題的實(shí)際意義非常容易理解：濃度=，溶質(zhì)增加時(shí)，濃度就增加.將這個(gè)事實(shí)抽象為不等式問題的過程中，需要提醒學(xué)生注意的是各個(gè)字母的取值范圍都是正數(shù)集.這個(gè)不等式的證明也不困難，不過它的應(yīng)用是非常廣泛的，許多書刊雜志上都對(duì)這個(gè)不等式進(jìn)行過討論，有興趣的老師可以自己查閱.例3是應(yīng)用相除比較法證明不等式的一個(gè)例子.不等式兩邊相除以后，問題轉(zhuǎn)化為判斷一個(gè)冪是否大于1，這就可以借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決.本例的證明中，值得注意的另一個(gè)問題是，所證的不等式具有“輪換對(duì)稱”的特點(diǎn)，即將不等式中的字母，對(duì)調(diào)，不等式保持不變.根據(jù)這一特點(diǎn)，可以設(shè)≥>0，否則就要對(duì)≥>0時(shí)不等式是否成立也給出證明.有時(shí)，類似的問題也借助冪函數(shù)的性質(zhì)加以判斷.利用相除比較法證明不等式要注意不等式兩邊所除的代數(shù)式的符號(hào)，以確定不等號(hào)的方向足是應(yīng)該改變.一般情況下，當(dāng)不等式一邊的代數(shù)式的符號(hào)保持不變時(shí)，可以考慮采用相