新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題6導(dǎo)數(shù)解答題專項提分計劃（教師版）

新高考復(fù)習(xí)專題6導(dǎo)數(shù)解答題專項提分計劃1．（2022·廣東湛江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)當時，若在上存在最大值，求m的取值范圍；(2)討論極值點的個數(shù).【答案】(1)；(2)當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點；當時，函數(shù)沒有極值點.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值的定義進行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點的定義、一元二次方程根的判別式分類討論求解即可.(1)因為，所以，因為函數(shù)的定義域為：，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，因此要想在上存在最大值，只需，所以m的取值范圍為；(2)，方程的判別式為.（1）當時，即，此時方程沒有實數(shù)根，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點；（2）當時，即，此時，（當時取等號），所以函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點；（3）當時，即，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)兩個實數(shù)根為，設(shè)，則，函數(shù)的定義域為：，顯然當時，此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，此時當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，函數(shù)有極小值點，當時，函數(shù)有極大值點，所以當時，函數(shù)有兩個極值點，當時，方程有一個正實數(shù)根和一個負根，或是一個正實數(shù)和零根，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有極大值點，因此當時，函數(shù)有一個極值點，綜上所述：當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點；當時，函數(shù)沒有極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根的判別式分類討論是解題的關(guān)鍵.2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)對分類討論的正負得出的單調(diào)性；（2）變形，利用導(dǎo)數(shù)對的值進行分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題知，的定義域為，∴．（對函數(shù)求導(dǎo)后，由于恒大于0，故對進行正負分類討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性）當時，在上恒成立，故在上是增函數(shù)；當時，令得在上有，在上有∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）當時，，即（*）．令則．①若，由（1）知，當時，在上是增函數(shù)故有即，得，故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）（當且僅當，即，且時取等號）（根據(jù)及基本不等式可知需對和的大小分類討論）∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴（*）式成立．②若，令則，當且僅當時等號成立．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．∵∴，使得則當時，，即．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減（構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)并根據(jù)零點存在性定理判斷的單調(diào)性）∴，即（*）式不恒成立．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分類討論求函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.3．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）.(1)當m=0時，討論的單調(diào)性；(2)若不等式對恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）求得，再求二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負判斷的單調(diào)性，從而求得其正負，即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，對進行適度放縮，對參數(shù)與的大小關(guān)系進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可證明.【詳解】（1）當時，，則令，則因為時，；時，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.（2）因為對恒成立，且所以當時，有；當時，有由（1）知，所以由，得①當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增所以當時，；當時，所以當時，對恒成立.②當時，令，則令，則因為，有，所以所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且有所以當時，；當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增因為，所以存在使得，且時，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，則有與條件矛盾，即不合題意.綜上①②，可得實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)由恒成立問題求參數(shù)范圍的問題；其中解決第二問的關(guān)鍵是利用第一問中的結(jié)論對導(dǎo)數(shù)進行放縮，同時利用零點存在定理找到當時的矛盾點，也是重中之重，屬綜合困難題.4．（2022·廣東潮州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，且，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍；（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為成立問題,令，即成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.(1)解：因為的定義域為，所以，若函數(shù)在區(qū)間遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，則只需，令，則，當時，，單調(diào)遞減，即在時取得最小值9，所以，所以a的取值范圍為．(2)解：令，，則，．由，且，得，所以，，所以要證成立，只需證，即，即成立即可，令，則需證，由（1）可知時，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以成立，所以．【思路點睛】1、一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則恒成立．2、對于函數(shù)不等式的恒成立問題，可構(gòu)建新函數(shù)，再以導(dǎo)數(shù)為工具討論新函數(shù)的單調(diào)性從而得到新函數(shù)的最值，最后由最值的正負得到不等式成立.5．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值點；(2)當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)(2)有個零點【分析】（1）當時求出，令求得，分、討論可得單調(diào)性和極值點；（2）由，設(shè)，得到，分，和三種情況討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進而求得結(jié)論.(1)當時，，則，令，則.當時，，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增.當時，可得，，在單調(diào)遞減；綜上，函數(shù)的極值點為.(2)當時，，是的一個零點，令，可得.因為，①當時，，，在單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，此時在無零點.②當時，，有，此時在無零點.③當時，，，在單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理知，存在唯一，使得.當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；又，，所以在上有個零點.綜上，當時，有個零點.【點睛】函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.6．（2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)若在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若是函數(shù)的兩個不同的零點，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求最值即可作答.（2）根據(jù)給定條件可得，，再分別作差、求和分析推理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最值作答.（1）（1）函數(shù)，所以，①若，則都有，所以在為增函數(shù)，符合題意.②若，因為在為增函數(shù)，所以，恒成立，即，恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，這與矛盾，所以舍去.綜上，a的取值范圍是.（2）證明：是函數(shù)的兩個不同的零點，所以，，顯然，，則有，，所以，不妨令，設(shè)，于是得，，要證，只需證，即，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，于是得，又，要證，只需證，即，而，即證，即，即，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，綜上，.【思路點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，可以將不等式的一邊化為，對另一邊進行構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而證得不等式成立.7．（2022·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)有兩個零點，求證：．【答案】(1)答案見解析．(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論求解即可；（2）結(jié)合（1）得時，有兩個零點，不妨設(shè)是函數(shù)的兩個零點，進而得，再設(shè)，，進而得，再等價轉(zhuǎn)化后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.【詳解】（1）解：函數(shù)定義域為，，當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，時，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）解：由（1）知，若函數(shù)有兩個零點，則，且，即時，有兩個零點，不妨設(shè)是函數(shù)的兩個零點，則，兩式相除得，不妨設(shè)，設(shè)，所以，所以，要證，只需證，即證：，設(shè)，則，令，則，所以，當時，，單調(diào)遞增，所以，在恒成立，即，令,則，所以，在上單調(diào)遞增，所以，，所以在上成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)，設(shè)，進而將得到，再結(jié)合要證結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為證明，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.8．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.(2)證明見解析【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解出，然后在定義域范圍內(nèi)分析即可.（2）利用分析法證明，變形要證明的式子，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進行證明.【詳解】（1）的定義域為，，令，得：，當變化時的關(guān)系如下表：01無意義0無意義在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）證明：要證，只需證：根據(jù)，只需證：不妨設(shè)，由得：；兩邊取指數(shù)，，化簡得：令：，則，根據(jù)（1）得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（如下圖所示），由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使且，則必有，即由得：.要證，只需證：，由于在上單調(diào)遞增，要證：，只需證：，又，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，即證，令，只需證：，，令，在上單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞減，所以所以所以：.【點睛】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相當大，主要考向有以下幾點：1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；3、求函數(shù)的極值（最值）；4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；5、證明不等式；解決方法：對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)找最值的方法解決恒成立問題，求解實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當時，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價于恒成立，令，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價于恒成立令，問題等價于恒成立①若時，恒成立，滿足題意；②若時，則，所以，不滿足題意；③若時，因為，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價于，令①若時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時，則，，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為；函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為；所以，使得，不滿足題意．③若時，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為；函數(shù)在上單調(diào)遞減，值域為；則，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴時，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上：【點睛】1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3..證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.10．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明見解析．【分析】(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)，令，求，根據(jù)正負判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷正負，從而判斷f(x)單調(diào)性；(2)將化為，令＞1，則，根據(jù)(1)中f(x)單調(diào)性即可證明．（1）的定義域為，由于，則，，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減．則．∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間﹒（2）方法一：欲證，只要證，即證．令，由于，則．故只要證，即證．由(1)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故時，，即．由于，，則．∴成立．∴．方法二：由(1)得在上單調(diào)遞增，當時，，，，則，使，即，則．當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增．則，∴，令，由于，則，則，整理得．【點睛】本題第一問關(guān)鍵是二次求導(dǎo)，依次通過導(dǎo)數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性；第二問的關(guān)鍵是注意到要證的不等式可以化為，令＞1，則化為，即，結(jié)合(1)中函數(shù)單調(diào)性即可證明得到結(jié)論．11．（2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距最小值為．(1)求拋物線的方程．(2)若點在圓上，、是拋物線的兩條切線，、是切點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出拋物線的焦點的坐標，利用圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，可求得的值，由此可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點、、，利用導(dǎo)數(shù)求出切線、的方程，可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出以及點到直線的距離，求出面積的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.(1)解：拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑為，，所以，且與圓上點的距最小值為，解得，因此，拋物線的方程為.(2)解：對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點、、，所以，直線的方程為，即，同理可知直線的方程為，因為點為直線、的公共點，則，所以，點、的坐標滿足直線方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，由可得，所以，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，令，所以，面積的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．12．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（且為常數(shù)）.(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求得，分、、三種情況討論，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）由參變量分離法可知對任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合隱零點法求出函數(shù)在其定義域上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.(1)解：函數(shù)的定義域為，則.令，則，由，可得，列表如下：減極小值增所以，.①當時，即當時，對任意的，且不恒為零，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)無極值點；②當時，令，則，由，可得，列表如下：減極小值增且當時，；當時，.作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：（i）當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，設(shè)這兩個交點的橫坐標分別為、，且，由圖可知，當或時，；當時，.此時，函數(shù)有個極值點；（ii）當時，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有一個交點，設(shè)其橫坐標為，且，當時，；當時，.此時函數(shù)只有個極值點.綜上所述，當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有個極值點；當時，函數(shù)只有個極值點.(2)解：不等式對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，令，其中，則，令，其中，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，故存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，因為，則，因為，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，故，可得，所以，，故.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.13．（2022·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：存在唯一的極大值點，且．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，再分和討論導(dǎo)函數(shù)的正負，從而可求出其單調(diào)區(qū)間，（2）兩次利用零點存在性定理求得函數(shù)的極大值點，從而可得，再結(jié)合可證得結(jié)論(1)，設(shè)，則．①當時，，則在上單調(diào)遞增；②當時，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明：當時，，，由（1）可知的最小值為，而，又，由函數(shù)零點存在定理可得存在使得，又在上單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，故為的極大值點，又在上單調(diào)遞增，故在上不存在極大值點，所以存在唯一的極大值點，又，，，所以．因為，而，所以．又為極大值，，所以綜上，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是先由函數(shù)零點存在定理得到函數(shù)的極大值點，再根據(jù)零點存在性定理得極大值點，然后代入函數(shù)中利用放縮法可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題14．（2022·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)證明：；(2)若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，可證得所證不等式成立；（2）由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：要證，即證：當時，不等式恒成立.令，則，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.則，故.（2）解：由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，令，則當時，，當時，，故存在時，使得，即，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，函數(shù)與的圖象有個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.15．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若，恒成立，求的取值范圍；(2)證明：；(3)證明：當時，.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）參變分離得，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得到答案；（2）對分三種情況討論，分別證明，即可得到答案；（3）根據(jù)不等式成立，利用放縮法，進行不等式的證明；(1)恒成立，，即，令，.時，在上是單調(diào)減函數(shù)；當時，在上是單調(diào)增函數(shù).(2)證明：（2）由（1）得，，.當時，顯然成立；當時，顯然成立故.(3)由（2）得，，即，時，，則.又，當時，.16．（2022·廣東廣州·華南師大附中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，既存在極大值，又存在極小值.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，、分別為的極大值點和極小值點，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可得，分析可知方程有兩個不等的實根，解方程，可得出關(guān)于的不等式，即可得解；（2）求得，，可得出，，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗證不等式對任意的是否恒成立，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.(1)解：由可得，因為函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個不等的實根，則，由可得，，所以，，解得且.因此，實數(shù)的取值范圍是.(2)解：，則.由可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由可得或，則函數(shù)的增區(qū)間為和，所以，，，則，，由題意可得對任意的恒成立，由于此時，則，所以，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，則.①當時，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即，符合題意；②當時，，設(shè)方程的兩根分別為、，則，，設(shè)，則當時，，則在上單調(diào)遞減，所以當時，，即，不合題意.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，在求解時注意根據(jù)函數(shù)值符號判斷出參數(shù)的符號，進而對參數(shù)進行分類討論求解.17．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若．(1)當．時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且有兩個極值點，，證明．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，，三種情況討論即可的解；（2），由題意可得，，且，寫出，整理后構(gòu)造函數(shù)（a），利用導(dǎo)數(shù)證明（a），即可證明．(1)解：當時，，令，或，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增；當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增；(2)證明：當時，．∵函數(shù)有兩個極值點，∴方程有兩個根，∴，且，解得，由題意得，令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于難題．18．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).（1）若有兩個零點，求的取值范圍；（2）設(shè)，若對任意的，都有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】把函數(shù)有兩個零點，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上為增函數(shù)，得到，使得，進而得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】令，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，；當時，；當時，，要使得函數(shù)有兩個零點，即與的圖象有兩個交點，如圖所示，可得，即，此時有兩個零點，所以有兩個零點時，的范圍是.（2）因為對任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，又因為，，所以，使得，即，當時，，可得，所以在上單調(diào)遞減；當時，，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以，由，可得，令，則，又由，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以，即，所以，所以，綜上所述，滿足條件的的取值范圍是.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19．（2022·廣東中山·中山紀念中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．（1）求在區(qū)間上的極值點；（2）證明：恰有3個零點．【答案】（1）極大值點，極小值點；（2）證明見解析.【分析】（1）求出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出極值點.（2）求出是的一個零點，再判斷函數(shù)為偶函數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的符號即可求解．【詳解】解：（1）（），令，得，或．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故是的極大值點，是的極小值點．綜上所述，在區(qū)間上的極大值點為，極小值點為．（2）（），因為，所以是的一個零點．，所以為偶函數(shù)．即要確定在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可．當時，．令，即，或（）．時，，單調(diào)遞減，又，所以；時，，單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點．當時，由于，．．而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，所以恒成立，故在區(qū)間內(nèi)無零點，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點，由于是偶函數(shù)，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點，而，綜上，有且僅有三個零點．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)，考查了分析能力、數(shù)學(xué)運算，屬于難題.20．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，時，恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）對求導(dǎo)，再因式分解，討論每個因式的正負，再判斷的正負，進而判斷的單調(diào)性；（2）代入，將不等式中的和分離在不等號兩邊，然后討論不等號含有一邊的函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷最值，再計算的取值范圍，由是正整數(shù)的條件可求出的最大值.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，①當時，因為，故有.此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.②當，有，方程的兩根分別是：函數(shù)在上單調(diào)遞減；當函數(shù)在上單調(diào)遞增；當函數(shù)在上單調(diào)遞減.③當時，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當設(shè)當時，有，設(shè)在上單調(diào)遞增，又在上的函數(shù)圖像是一條不間斷的曲線，且，存在唯一的，使得，即.當；當，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，時，不等式對任意恒成立，正整數(shù)的最大值是3.【點睛】本題是典型的導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合題，這種題需要分情況討論函數(shù)單調(diào)性再進行判斷，屬于較難題.21．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，曲線和在原點處有相同的切線l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)，的方程：.(2)在上有1個零點，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)曲線和在原點處有相同的切線l，則可知斜率相等，進一步求出b的值以及l(fā)的方程；（2）函數(shù)零點即是圖象與軸的交點，需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)，其中要進行二次求導(dǎo)，運用零點存在性定理說明函數(shù)的零點情況.（1）依題意得：，.，，的方程：.（2）當時，，，此時無零點.當時，令則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，因此可得時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；又，所以存在，使得，即時，，，單調(diào)遞減；時，，，單調(diào)遞增；又，，所以在上有一個零點.綜上，在上有1個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)的零點、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理，知識考查較為綜合，對學(xué)生是一個挑戰(zhàn)，屬于難題.22．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對求導(dǎo)得，分別討論和時，求不等式，的解集，再由極值的定義可求得結(jié)果；（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，進一步令，對任意恒成立，令，分類討論和是否滿足，即可得出答案.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，

當時，在恒成立，在單調(diào)遞減，故無極值；當時，令，則，

時，，在單調(diào)遞減；時，，在單調(diào)遞增；故在取極小值，且，無極大值綜上，當時，無極值；當時，在取極小值，且，無極大值.（2）解：∵，∴，即且∴且，即，為的兩個零點∴由（1）知，當時，在取極小值，且，故又∵，∴，

又∵恒成立，∴對任意恒成立，∵，∴，且

∴對任意恒成立∴令，則，對任意恒成立，則.∴對任意恒成立

令，則當，即時，恒成立

故在為單調(diào)遞增函數(shù)，又∵，∴對恒成立

當，即時，為單調(diào)增函數(shù)，又∵，，∴使，當時，，故在單調(diào)遞減∴當時，，不合題意綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值及導(dǎo)數(shù)在恒成立求參問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力.屬于綜合型、難度大型試題.23．（2022·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）分析可知，不等式在上恒成立，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗證能否恒成立，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.(1)解：當時，，則，所以，，，此時，曲線在處的切線方程為，即.(2)解：在上恒成立，且，所以，，因為，所以，.①當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，不合乎題意；②當時，令，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，即當時，對任意的，且不恒為零，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，合乎題意；若，即當時，取，則，則，此時，所以，，所以，存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，不合乎題意；③當時，因為，與題設(shè)矛盾，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于計算得出，結(jié)合端點效應(yīng)將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性求解即可.24．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；最大值為，無最小值(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由，求導(dǎo)，再分別令，求解；（2）由，，求導(dǎo)，得到函數(shù)有唯一的極大值點，極大值，令，，利用導(dǎo)數(shù)法求解.(1)解：函數(shù)的定義域為，當時，，，令，得；由，得；由，得．所以，增區(qū)間為，減區(qū)間為．當時，函數(shù)有最大值為，無最小值(2)，，，令，得（舍）或；由，得；由，得．所以，增區(qū)間為，減區(qū)間為．函數(shù)有唯一的極大值點，，令，．因為恒成立，函數(shù)為增函數(shù)，且，①時，，即函數(shù)一定沒有零點．②時，，即函數(shù)有唯一的零點．③時，，即，，且，，，令，則，當時，成立，所以，所以，∴，，所以，在區(qū)間上有唯一零點，在區(qū)間上有唯一零點，函數(shù)有兩個不同的零點．綜上所述：①時，函數(shù)一定沒有零點．②時，函數(shù)有唯一的零點．③時，函數(shù)有兩個不同的零點．【點睛】方法點睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．25．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)求在的極值；(2)證明：函數(shù)在有且只有兩個零點．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)得出在的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，再由零點存在性定理證明即可.【詳解】（1）由得，，令得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，無極大值．（2）證明：，，則，令，則．當時，，則在上單調(diào)遞減∵，所以，存在，使得．當x變化時，，變化如下表：x0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減而，，則，又，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，，由零點存在定理可知，函數(shù)在上有兩個零點．【點睛】關(guān)鍵點睛：在解決問題二時，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，由，，結(jié)合零點存在性定理證明函數(shù)在有且只有兩個零點．26．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，其中為實數(shù).(1)求的極值；(2)若有4個零點，求的取值范圍.【答案】(1)，無極小值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值；（2）由可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，無極小值.（2）解：由即，可得，令，則，設(shè)，則，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，即，，所以存在，使得，，即，①，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為和對①式兩邊取對數(shù)可得，②，將①②代入得，同理可得，要使有四個零點，則必有，解得，而，，由零點存在定理可知，當時有且僅有個零點，即有個零點，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．27．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在x＝0處的切線方程；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，求導(dǎo)后求出，點斜式寫出切線方程；（2）根據(jù)，得到要想恒成立，需要，由，解得：，接下來驗證充分性成立【詳解】（1）當時，，，則，所以曲線在x＝0處的切線方程為；（2）定義域為R，，因為，所以要想恒成立，需要，由，解得：，下面證明充分性：當時，，令，則恒成立，故在R上為增函數(shù)，因為，所以在上恒成立，在上恒成立，所以在R上有唯一的極小值點0，且，滿足題意.綜上：a的取值范圍是【點睛】導(dǎo)函數(shù)處理某些參數(shù)取值范圍的題目，要結(jié)合特殊點的函數(shù)值或特殊點的導(dǎo)函數(shù)值進行求解，再進行充分性證明即可，本題中就是注意到，從而確定了要想恒成立，需要，由，解得：，接下來證明充分性即可.28．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，．（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是(2)（i）（ii）證明見解析【分析】（1）先求定義域，求導(dǎo)，對進行分類討論，求對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）結(jié)合第一問中函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，找到不等式，解不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；（ii）構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點偏移問題.【詳