熱學(xué)答案第二版(完整版)解析-李椿-章立源等著7220

第一章溫度1-1在什么溫度下,下列一對溫標(biāo)給出相同的讀數(shù)：（1）華氏溫標(biāo)和攝氏溫標(biāo)；（2）華氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo)；（3）攝氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo)？解：（1）當(dāng)時，即可由，解得故在時（2）又當(dāng)時則即解得：故在（3）時，若則有顯而易見此方程無解，因此不存在的情況1-2定容氣體溫度其中氣體的壓強為50mmHg。（1）用溫度計測量300K的溫度時，（2）當(dāng)氣體的壓強為68mmHg時，。計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，氣體的壓強是多少？待測溫度是多少？解：對于定容氣體溫度計可知：(1)(2)1-3用定容氣體溫度計測得冰點的理想氣體溫度為273.15K，試求溫度計內(nèi)的氣體在冰點時的壓強與水的三相點時壓強之比的極限值。解：根據(jù)已知冰點。1-4用定容氣體溫度計測量某種物質(zhì)的沸點。原來測溫泡在水的三相點時，其中氣體的壓強；當(dāng)測溫泡浸入待測物質(zhì)中時，測得的壓強值為,當(dāng)從測溫泡中抽出一些氣體,使減為200mmHg時,重新測得,當(dāng)再抽出一些氣體使減為100mmHg時,測得.試確定待測沸點的理想氣體溫度.解：根據(jù)從理想氣體溫標(biāo)的定義：依以上兩次所測數(shù)據(jù),作T-P圖看趨勢得出時,T約為400.5K亦即沸點為400.5K.題1-4圖1-5鉑電阻溫度計的測量泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，鉑電阻的阻值為90.35歐姆的測溫泡與待測物體接觸時，鉑電阻的阻值為90.28歐姆物體的溫度，假設(shè)溫度并規(guī)定水的三相點為273.16K。。當(dāng)溫度計。試求待測與鉑電阻的阻值成正比，解：依題給條件可得則故1-6在歷史上，對攝氏溫標(biāo)是這樣規(guī)定的：假設(shè)測溫屬性X隨溫度t做線性變化，并規(guī)定冰點為，汽化點為即，。設(shè)和分別表示在冰點和汽化點時X的值，試求上式中的常數(shù)a和b。解：由題給條件可知由（2）-（1）得將（3）代入（1）式得1-7水銀溫度計浸在冰水中時，水銀柱的長度為4.0cm；溫度計浸在沸水中時，水銀柱的長度為24.0cm。（1）在室溫時，水銀柱的長度為多少？（2）溫度計浸在某種沸騰的化學(xué)溶液中時，水銀柱的長度為25.4cm，試求溶液的溫度。解：設(shè)水銀柱長與溫度成線性關(guān)系：當(dāng)時，代入上式當(dāng)，（1）（2）1-8設(shè)一定容氣體溫度計是按攝氏溫標(biāo)刻度的，它在冰點和汽化點時，其中氣體的壓強分別為和。（1）當(dāng)氣體的壓強為時，待測溫度是多少？（2）當(dāng)溫度計在沸騰的硫中時（硫的沸點為），氣體的壓強是多少？解：解法一設(shè)P與t為線性關(guān)系：由題給條件可知：當(dāng)時有當(dāng)時得：由此而得（1）（2）解法二時若設(shè)t與P為線性關(guān)系利用第六題公式可得：由此可得：（1）時（2）時1-9當(dāng)熱電偶的一個觸點保持在冰點，另一個觸點保持任一攝氏溫度t時，其熱電動勢由下式確定：式中題1-9題（1）題1-9圖（2）題1-9圖（3）（1）試計算當(dāng)和時熱電動勢的值，并在此范圍內(nèi)作圖。（2）設(shè)用為測溫屬性，用下列線性方程來定義溫標(biāo)：并規(guī)定冰點為，汽化點為，試求出a和b的值，并畫出圖。（3）求出與和對應(yīng)的值，并畫出圖（4）試比較溫標(biāo)t和溫標(biāo)。解：令（1）（2）在冰點時，汽化點，而，已知解得：（3）當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時時時時（4）溫標(biāo)t不隨線性變化，所以用作測溫屬性的溫標(biāo)比t與雖非線性變化，卻能直接反應(yīng)熟知的溫標(biāo)，因此各有所長。t和溫標(biāo)只有在汽化點和沸點具有相同的值，隨線性變化，而t溫標(biāo)優(yōu)越，計算方便，但日常所用的溫標(biāo)是攝氏溫標(biāo)，1-10用L表示液體溫度計中液柱的長度。定義溫標(biāo)與L之間的關(guān)系為。式中的a、b為常度為，在汽化點時液柱的長度，試求到之間液柱的長度差。數(shù)，規(guī)定冰點為，汽化點為。設(shè)在冰點時液柱的長到之間液柱長度差以及解：由題給條件可得：……（1）……（2）解聯(lián)立方程（1）（2）得：則1-11定義溫標(biāo)與測溫屬性X之間的關(guān)系為，其中K為常數(shù)。（1）設(shè)X為定容稀薄氣體的壓強，并假定在水的三相點為與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系。，試確定溫標(biāo)（2）在溫標(biāo)中，冰點和汽化點各為多少度？（3）在溫標(biāo)中，是否存在0度？解：（1）根據(jù)理想氣體溫標(biāo)，而X=P……（1）由題給條件，在三相點時代入式代入（1）式得：……（2）（2）冰點汽化點代入（2）式得代入（2）式得（3）若，則從數(shù)學(xué)上看，不小于0，說明有0度存在，但實際上，在此溫度下，稀薄汽體可能已液化，0度不能實測。1-12一立方容器，每邊長20cm其中貯有時，容器每個壁所受到的壓力為多大？，的氣體，當(dāng)把氣體加熱到解：對一定質(zhì)量的理想氣體其狀態(tài)方程為因，而故1-13一定質(zhì)量的氣體在壓強保持不變的情況下，溫度由升到時，其體積將改變百分之幾？解：根據(jù)方程則體積改變的百分比為1-14一氧氣瓶的容積是，其中氧氣的壓強是，規(guī)定瓶內(nèi)氧氣壓強降到時就得充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用氧氣，問一瓶氧氣能用幾天。解：先作兩點假設(shè)，（1）氧氣可視為理想氣體，（2）在使用氧氣過程中溫度不變。則：由可有質(zhì)量為每天用掉的氧氣瓶中剩余氧氣的質(zhì)量為天1-15水銀氣壓計中混進(jìn)了一個空氣泡，因此它的讀數(shù)比實際的氣壓小，當(dāng)精確的氣壓計的讀數(shù)為時，它的讀數(shù)只有。此時管內(nèi)水銀面到管頂?shù)木嚯x為。問當(dāng)此氣壓計的讀數(shù)為變。時，實際氣壓應(yīng)是多少。設(shè)空氣的溫度保持不題1-15圖解：設(shè)管子橫截面為S，在氣壓計讀數(shù)為和時，管內(nèi)空氣壓強分別為和，根據(jù)靜力平衡條件可知，由于T、M不變根據(jù)方程有，而1-16截面為的粗細(xì)均勻的U形管，其中貯有水銀，高度如圖1-16所示。今將左側(cè)的上端封閉年，將其右側(cè)與真空泵相接，問左側(cè)的水銀將下降多少？設(shè)空氣的溫度保持不變，壓強題1-16圖解：根據(jù)靜力平均條件，右端與大氣相接時，左端的空氣壓強為大氣壓；當(dāng)右端與真空泵相接時，左端空氣壓強為（兩管水銀柱高度差）設(shè)左端水銀柱下降常數(shù)即整理得：（舍去）1-17圖1-17所示為一粗細(xì)均勻的J形管，其左端是封閉的，右側(cè)和大氣相通，已知大氣壓強為左側(cè)水銀柱有多高，，今從J形管右側(cè)灌入水銀，問當(dāng)右側(cè)灌滿水銀時，設(shè)溫度保持不變，空氣可看作理想氣體。題1-17圖解：設(shè)從J形管右側(cè)灌滿水銀時，左側(cè)水銀柱高為h。假設(shè)管子的直徑與相比很小，可忽略不計，因溫度不變，則對封閉在左側(cè)的氣體有：而（S為管的截面積）解得：（舍去）1-18如圖1-18所示，兩個截面相同的連通管，一為開管，一為閉管，原來開管內(nèi)水銀下降了，問閉管內(nèi)水銀面下降了多少？設(shè)原來閉管內(nèi)水銀面上空氣柱的高度R和大氣壓強為，是已知的。題1-18圖解：設(shè)截面積為S，原閉管內(nèi)氣柱長為R大氣壓為P閉管內(nèi)水銀面下降后，其內(nèi)部壓強為。對閉管內(nèi)一定質(zhì)量的氣體有：以水銀柱高度為壓強單位：取正值，即得1-19一端封閉的玻璃管長，貯有空氣，氣體上面有一段長為的水銀柱，將氣柱封住，水銀面與管口對齊，今將玻璃管的開口端用玻璃片蓋住，輕輕倒轉(zhuǎn)后再除去玻璃片，因而使一部分水銀漏出。當(dāng)大氣壓為時，六在管內(nèi)的水銀柱有多長？解：題1-19圖設(shè)在正立情況下管內(nèi)氣體的壓強為，以水銀柱高度表示壓強，倒立時，管內(nèi)氣體的壓強變?yōu)?，水銀柱高度為由于在倒立過程溫度不變，解之并取的值得1-20求氧氣在壓強為，溫度為時的密度。解：已知氧的密度1-21容積為的瓶內(nèi)貯有氫氣，因開關(guān)損壞而漏氣，在溫度為時，氣壓計的讀數(shù)為。過了些時候，溫度上升為，氣壓計的讀數(shù)未變，問漏去了多少質(zhì)量的氫。解：當(dāng)當(dāng)時，容器內(nèi)氫氣的質(zhì)量為：時，容器內(nèi)氫氣的質(zhì)量為：故漏去氫氣的質(zhì)量為1-22一打氣筒，每打一次可將原來壓強為，溫度為，體積的空氣壓縮到容器內(nèi)。設(shè)容器的容積為，問需要打幾次氣，才能使容器內(nèi)的空氣溫度為，壓強為。解：打氣后壓強為：，題上未說原來容器中的氣體情況，可設(shè)原來容器中沒有空氣，設(shè)所需打氣次數(shù)為，則得：次1-23一氣缸內(nèi)貯有理想氣體，氣體的壓強、摩爾體積和溫度分別為、和，現(xiàn)將氣缸加熱，使氣體的壓強在這過程中，氣體的壓強和摩爾體積滿足下列關(guān)系式：其中為和體積同時增大。設(shè)常數(shù)（1）求常數(shù)，將結(jié)果用，和普適氣體常數(shù)表示。（2）設(shè)，當(dāng)摩爾體積增大到時，氣體的溫度是多高？理想氣體狀態(tài)方程解：根據(jù)和過程方程有（1）（2）而，則1-24圖1-24為測量低氣壓的麥克勞壓力計的示意圖，使壓力計與待測容器相連，把貯有水銀的瓶R緩緩上提，水銀進(jìn)入容器B，將B中的氣體與待測容器中的氣體隔開。繼續(xù)上提瓶R，水銀同的毛細(xì)管就進(jìn)入兩根相和內(nèi)，當(dāng)中水銀面的高度差，設(shè)容器的容積為，毛細(xì)管直徑，求待測容器中的氣壓。題1-24圖解：設(shè)管體積，當(dāng)水銀瓶R上提時，水銀上升到虛線處，此時B內(nèi)氣體壓強與待測容器的氣體壓強相等。以B內(nèi)氣體為研究對象，當(dāng)R繼續(xù)上提后，內(nèi)氣體壓強增大到，由于溫度可視為不變，則根據(jù)玻-馬定律，有由于1-25用圖1-25所示的容積計測量某種輕礦物的操作步驟和實驗數(shù)據(jù)如下：（1）打開活拴K，使管AB和罩C與大氣相通。上度移動D，使水銀面在n處。（2）關(guān)閉K，往上舉D，使水銀面達(dá)到m處。這時測得B、D兩管內(nèi)水銀面的高度差。（3）打開K，把400g的礦物投入C中使水銀面重密與對齊，關(guān)閉K。（4）往上舉D，使水銀面重新到達(dá)m處，這時測得B、D兩管內(nèi)水銀面的高度差已知罩C和AB管的容積共為，求礦物的密度。題1-25圖解：設(shè)容器B的容積為，礦物的體積為，為大氣壓強，當(dāng)打開K時，罩內(nèi)壓強,步驟（4）中，，假設(shè)為，步驟（2）中罩內(nèi)壓強為罩內(nèi)壓強為操作過程中溫度可視不變，則根據(jù)玻-馬定律知未放礦石時：放入后：解聯(lián)立方程得1-26一抽氣機轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)/分，抽氣機每分鐘能夠抽出氣體，設(shè)容器的容積，問經(jīng)過多少時間后才能使容器的壓強由降到。解：設(shè)抽氣機每轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)時能抽出的氣體體積為，則當(dāng)抽氣機轉(zhuǎn)過一轉(zhuǎn)后，容器內(nèi)的壓強由降到，忽略抽氣過程中壓強的變化而近似認(rèn)為抽出壓強為的氣體，因而有，當(dāng)抽氣機轉(zhuǎn)過兩轉(zhuǎn)后，壓強為當(dāng)抽氣機轉(zhuǎn)過n轉(zhuǎn)后，壓強設(shè)當(dāng)壓強降到時，所需時間為分，轉(zhuǎn)數(shù)1-27按重量計，空氣是由的氮，的氧，約的氬組成的（其余成分很少，可以忽略），計算空氣的平均分子量及在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度。解：設(shè)總質(zhì)量為M的空氣中，氧、氮、氬的質(zhì)量分別為。氧、氮、氬的分子量分別為。空氣的摩爾數(shù)則空氣的平均摩爾質(zhì)量為即空氣的平均分子量為28.9。空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度1-28把的氮氣壓入一容積為的容器，容器中原來已充滿同溫同壓的氧氣。試求混合氣體的壓強和各種氣體的分壓強，假定容器中的溫度保持不變。解：根據(jù)道爾頓分壓定律可知不變。又由狀態(tài)方程且溫度、質(zhì)量M1-29用排氣取氣法收集某種氣體（見圖1-29），氣體在溫度為時的飽和蒸汽壓為，試求此氣體在干燥時的體積。題1-29圖解：容器內(nèi)氣體由某氣體兩部分組成，令某氣體的壓強為則其總壓強干燥時，即氣體內(nèi)不含水汽，若某氣體的壓強也為其體積V，則根據(jù)PV=恒量（T、M一定）有1-30通常稱范德瓦耳斯方程中一項為內(nèi)壓強，已知范德瓦耳斯方程中常數(shù)a，對二氧化碳和氫分別為和，試計算這兩種氣體在，0.01和0.001時的內(nèi)壓強，解：根據(jù)內(nèi)壓強公式，設(shè)內(nèi)壓強為的內(nèi)壓強。當(dāng)時，當(dāng)時當(dāng)時1-31一摩爾氧氣，壓強為，體積為，其溫度是多少？解：由于體積較小，而壓強較大，所以利用狀態(tài)方程則必然出現(xiàn)較大的誤差，因此我們用范氏方程求解式中1-32試計算壓強為，密度為的氧氣的溫度，已知氧氣的范德瓦耳斯常數(shù)為，。解：設(shè)氧氣的質(zhì)量為，所占的體積為，則有根據(jù)范氏方程則有代入數(shù)據(jù)得：1-33用范德瓦耳斯方程計算密閉于容器內(nèi)質(zhì)量的二氧化碳的壓強。已知容器的容積，氣體的溫度。試計算結(jié)果與用理想氣體狀態(tài)方程計算結(jié)果相比較。已知二氧化碳的范德瓦斯常數(shù)為，。解：（1）應(yīng)用范氏方程計算：得出：代入數(shù)據(jù)計算得：（2）應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程：小結(jié)：應(yīng)用兩種方程所得的P值是不同的，用范氏方程所得結(jié)果小于理想氣體方程所得的P值。其原因是由于理想氣體狀態(tài)方程忽略分子間作用力和氣體分子本身所占的體積，所以使得計算的壓強大于真實氣體的壓強。第二章氣體分子運動論的基本概念2-1目前可獲得的極限真空度為10-13mmHg的數(shù)量級，問在此真空度下每立方厘米內(nèi)有多少空氣分子，設(shè)空氣的溫度為27℃。解：由P=nKT可知1010131.331021.381023(27273)n=P/KT==3.21×10(m)9–3注：1mmHg=1.33×10N/m222-2鈉黃光的波長為5893埃，即5.893×10-7m，設(shè)想一立方體長5.893×10-7m，試問在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，其中有多少個空氣分子。解：∵P=nKT∴PV=NKT其中T=273KP=1.013×10N/m52PV1.013105(5.893107)35.5106∴N=KT個1.3810273232-3一容積為11.2L的真空系統(tǒng)已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。為了提高其真空度，將它放在300℃的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出吸附的氣體。若烘烤后壓強增為1.0×10mmHg，-2問器壁原來吸附了多少個氣體分子。解：設(shè)烘烤前容器內(nèi)分子數(shù)為N。，烘烤后的分子數(shù)為N。根據(jù)上題導(dǎo)出的公式PV=NKT則有：NNNPVPVVPP()110KTKTKTT10101010P因為P與P相比差10數(shù)量，而烘烤前后溫度差與壓強差相比可以忽略，因此3001T0P與1相比可以忽略T1NP11.21031.01021.3310N21.881018個11.381023(273300)KT12-4容積為2500cm的3燒瓶內(nèi)有1.0×10個氧分子,有4.015×10個氮分子和3.3×10g15-7的氬氣。設(shè)混合氣體的溫度為150℃,求混合氣體的壓強。解：根據(jù)混合氣體的壓強公式有PV=（N+N+N）KT氧氮氬其中的氬的分子個數(shù)：N3.310（個）106.02310234.971015MN=氬氬400氬1.3810234232.33102∴P=（1.0+4.0+4.97）1015Pa2500mmHg1.751042-5一容器內(nèi)有氧氣，其壓強P=1.0atm,溫度為t=27℃，求(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：(2)氧氣的密度；(3)氧分子的質(zhì)量；(4)分子間的平均距離；(5)分子的平均平動能。解：(1)∵P=nKTPKT1.3810233001.01.0131052.451025m-3∴n=1321.30g/lRT0.082300P(2)1.31035.31023n2.451025(3)m=g氧(4)設(shè)分子間的平均距離為d，并將分子看成是半徑為d/2的球，每個分子的體積為v。064dV=()3032d36n6d∴34.28107cm2.441019(5)分子的平均平動能為：KT331.381016(27327)6.211014（爾格）222-6在常溫下(例如27℃)，氣體分子的平均平動能等于多少ev?在多高的溫度下，氣體分子的平均平動能等于1000ev?3KT3解：(1)1.3810233006.211021（J）22∵leV=1.6×10J-196.211021∴3.88102(ev)1.61019(2)T=3K21031.6101931.38102327.7106K2-7一摩爾氦氣，其分子熱運動動能的總和為3.75×10J,求氦氣的溫度。:解:3E3KT2NA2E2E23.75103∴T301K3KN3R38.31A2-8質(zhì)量為10Kg的氮氣，當(dāng)壓強為1.0atm,體積為7700cm3時，其分子的平均平動能是多少？PV3kt2T而解:∵M(jìn)R3KPV2MR∴3PVJ31.0131047700285.410242MN2106.022102302-9質(zhì)量為50.0g，溫度為18.0℃的氦氣裝在容積為10.0L的封閉容器內(nèi)，容器以v=200m/s的速率作勻速直線運動。若容器突然靜止，定向運動的動能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運動的動能，則平衡后氦氣的溫度和壓強將各增大多少？解：由于容器以速率v作定向運動時，每一個分子都具有定向運動，其動能等于1mv2，當(dāng)容器停止運動時，分子定向運動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運動的能量，2312mv23KT2每個分子的平均熱運動能量則為KT21v2TTmv3K23R21∴△T=410341046.42K38.31因為容器內(nèi)氦氣的體積一定，所以P2TP1TPPPT21TT2121P1TPVM故△P=T，又由RT111M得：P1RT/V1MRT0.050.0826.426.58101（atm）∴△P=410310V2-10有六個微粒，試就下列幾種情況計算它們的方均根速率：(1)六個的速率均為10m/s；(2)三個的速率為5m/s,另三個的為10m/s；(3)三個靜止，另三個的速率為10m/s。6102解：（1）V210m/s63102352（2）V27.9m/s631027.1m/s（3）V262-11試計算氫氣、氧氣和汞蒸氣分子的方均根速率，設(shè)氣體的溫度為300K，已知氫氣、氧氣和汞蒸氣的分子量分別為2.02、32.0和201。3RTH233.81300V2H2解：371051.9103m/s2.0210338.3130032103V2024.83102m/s38.31300201103V21.93102m/sHg2-12氣體的溫度為T=273K,壓強為P=1.00×10atm,密度為ρ=1.29×10g-2-5(1)求氣體分子的方均根速率。(2)求氣體的分子量，并確定它是什么氣體。3RT3P解：（1）V2485m/sRTPPN（2）28.9103kg/mol28.9g/molAnm=28.9該氣體為空氣2-13若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們在月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？解：在地球表面的逃逸速率為V=2gR地逸地29.863701031.12104m/s在月球表面的逃逸速率為2gR20.17g0.27R地V=月逸月月地20.179.80.276.3701052.4103m/s3RT又根據(jù)V2v2∴T3R當(dāng)V21.12104m/s時，則其溫度為v2103（1.12104）38.312地逸2T=H2H23R1.01104K3210342v1.1210（）2地逸T=O2O23R38.311.6105K當(dāng)V22.4103m/s時T=H2v2103（2.4103）38.3122月逸H23R4.6102K32103（）2.41038.3132v2月逸T=O2O23R7.4103K2-14一立方容器，每邊長1.0m，其中貯有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氧氣，試計算容器一壁每秒受到的氧分子碰撞的次數(shù)。設(shè)分子的平均速率和方均根速率的差別可以忽略。3RT38.327332103解：按題設(shè)vV2461米/秒設(shè)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下單位容器內(nèi)的分子數(shù)為n，將容器內(nèi)的分子按速度分組，考慮速度為vi的第i組。說單位體積內(nèi)具有速度v的分子數(shù)為n，在時間內(nèi)與dA器壁相碰的分子數(shù)為iin·vdt·dA，其中v為速度v在X方向上的分量，則第i組分子每秒與單位面積器壁碰撞次iiixix數(shù)為n·v，所有分子每秒與單位面積器壁碰撞次數(shù)為：iixnvDnv1nnv/n1iixi22niixiixiiii1nvnv2x2x2nv223n3RT即D23在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下n=2.69×10m25-3138.8127332103D2.691025∴233.581027(s1)2-15估算空氣分子每秒與1.0cm2墻壁相碰的次數(shù)，已知空氣的溫度為300K，壓強為1.0atm，量為29。設(shè)分子的平均速率和方均根速率的差別可以忽略。解：與前題類似，所以每秒與平均分子1cm的墻壁相碰次數(shù)為：2n3RTDS231P3RTS23KT3.591023S12-16一密閉容器中貯有水及飽和蒸汽，水的溫度為100℃，壓強為1.0atm，已知在這種狀態(tài)下每克水汽所占的體積為1670cm，3水的汽化熱為2250J/g（1）每立方厘米水汽中含有多少個分子？（2）每秒有多少個水汽分子碰到水面上？（3）設(shè)所有碰到水面上的水汽分子都凝結(jié)為水，則每秒有多少分子從水中逸出？（4）試將水汽分子的平均動能與每個水分子逸出所需能量相比較。解：（m1）每個水汽分子的質(zhì)量為：N01每cm水汽的質(zhì)量M3vMn則每cm水汽所含的分子數(shù)m3Nv021026m3（2）可看作求每秒與1cm水面相碰的分子數(shù)D，這與每秒與1cm器壁相碰的分子數(shù)方法相同。22在飽和狀態(tài)n不變。113RTDnv2sns23234.151023(個）（3）當(dāng)蒸汽達(dá)飽和時，每秒從水面逸出的分子數(shù)與返回水面的分子數(shù)相等。（4）分子的平均動能3KT27.721021(J)每個分子逸出所需的能量ELm22506.731020(J)N0顯而易見E，即分子逸出所需能量要大于分子平均平動能。2-17當(dāng)液體與其飽和蒸氣共存時，氣化率和凝結(jié)率相等，設(shè)所有碰到液面上的蒸氣分子都能凝結(jié)為液體，并假定當(dāng)把液面上的蒸氣分子迅速抽去時液體的氣化率與存在飽和蒸氣時的氣化率相同。已知水銀在0℃時的飽和蒸氣壓為1.85×10mmHg，汽化熱為-680.5cal/g，問每秒通過每平方厘米液面有多少克水銀向真空中氣化。解：根據(jù)題意，氣化率和凝結(jié)率相等P=1.85×10mmHg-6=2.47×10Nm-4-2氣化的分子數(shù)=液化的分子數(shù)=碰到液面的分子數(shù)N，由第14題結(jié)果可知：113RTNnv2sns23233.491014(個）則每秒通過1cm液面向真空氣化的水銀質(zhì)量2201MmNN6.02210233.491014N01.16107(g)2-18已知對氧氣，范德瓦耳斯方程中的常數(shù)b=0.031831mol，設(shè)b等于一摩爾氧氣分子體-1積總和的四倍，試計算氧分子的直徑。解：b4N4d()232O3bNd32O∴2.93108(cm)2.931010(m)2-19把標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下224升的氮氣不斷壓縮，它的體積將趨于多少升？設(shè)此時的氮分子是一個挨著一個氮氣，范德瓦耳斯方程中的常數(shù)a=1.390atm緊密排列的，試計算氮分子的直徑。此時由分子間引力所產(chǎn)生的內(nèi)壓強約為多大？已知對于﹒lmol，b=0.039131mol。2-2-1解：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)西224l的氮氣是10mol的氣體，所以不斷壓縮氣體時，則其體積將趨于10b，即0.39131，分子直徑為：3bNd32O3.14108(cm)內(nèi)壓強P=a1.390.039132907.8atm內(nèi)V2注：一摩爾實際氣體當(dāng)不斷壓縮時（即壓強趨于無限大）時，氣體分子不可能一個挨一個的緊密排列，因而氣體體積不能趨于分子本身所有體積之和而只能趨于b。2-20一立方容器的容積為V，其中地放入容器的，問：（1）第一個分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？（2）第二個分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？（3）第N個分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？（4）平均地講，每個分子的中心能夠自由活動的空間體積是多大？由此證明，范德瓦耳斯方程中的改正量b約等于一摩爾氣體所有分子體積總和的四倍。解：假定兩分子相碰中心距為d，每一分子視直徑為d的小球，忽略器壁對分子的作用。（1）設(shè)容器四邊長為L，則第一個分子放入容器后，其分子中心與器壁的距離貯有一摩爾氣體。設(shè)把分子看作直徑為d的剛體，并設(shè)想分子是一個一個AV=L，3d應(yīng)，所以它的中心自由活動空間的體積V=（L-d）。312（2）第二個分子放入后，它的中心自由活動空間應(yīng)是V減去第一個分子的排斥球體積，1即：4VVd2321(3)第N個分子放入后,其中心能夠自由活動的空間體積:A43VV(N1)d2A1A(4)平均地講，每個分子的中心能夠自由活動的空間為：14344d]}V{V(Vd3)(V23d3)[V(N1)N11113AA1{NV4d3[123(N1)]}N13AAAV4d3N1A321因為Ld，，所以N1AVV4d3N()3dV4N4A3232A容積為V的容器內(nèi)有N個分子，即容器內(nèi)有一摩爾氣體，按修正量b的定義，每個分AVVb，與上面結(jié)果比較，易見：子自由活動空間b4N4()3d32A即修正量b是一摩爾氣體所有分子體積總和的四倍。第三章氣體分子熱運動速率和能量的統(tǒng)計分布律3-1設(shè)有一群粒子按速率分布如下：粒子數(shù)Ni24682速率V（m/s）1.002.003.004.005.00i試求(1)平均速率V；（2）方均根速率解：（1）平均速率：V2（3）最可幾速率VpV21.0042.0063.0084.0025.003.18(m/s)24682(2)方均根速率NV2V23.37(m/s)iiNi3-2計算300K時，氧分子的最可幾速率、平均速率和方均根速率。2RT28.3130032103V解：395m/sP8RTV88.313003.1432103446m/s3RT38.3130032103V2483m/s3-3計算氧分子的最可幾速率，設(shè)氧氣的溫度為100K、1000K和10000K。2RT解：代入數(shù)據(jù)則分別為：VPV2.28102m/sT=100K時PV7.21102m/sT=1000K時PV2.28103m/sT=10000K時P3-4某種氣體分子在溫度T時的方均根速率等于溫度1T時的平均速率，求T/T。2213RT8RTV解：因2V2由題意得：3RT8RT23∴T/T=2183-5求0℃時1.0cm3氮氣中速率在500m/s到501m/s之間的分子數(shù)（在計算中可將dv近似地取為△v=1m/s）解：設(shè)1.0cm氮氣中分子數(shù)為N，速率在500~501m/s之間內(nèi)的分子數(shù)為△N，3由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑簃2KT3)2e4(m△N=NV2V2V2KT2KT∵V=m，代入上式p2V2V2V4NV1e△N=V2pV2p因500到501相差很小，故在該速率區(qū)間取分子速率V=500m/s，28.31273402m/s又VP△V=1m/s28103v（=1.24）代入計算得：△N=1.86×10N個－3vp3-6設(shè)氮氣的溫度為300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)△N1與速率在1500m/s到1510m/s之間的分子數(shù)△N之比。2解：取分子速率為V=3000m/s1=1V500m/s,△V=△V=10m/s221由5題計算過程可得：V2V2p4NV2eV2VV1p1△V=11pV2V2p4NV2eV2VV1p2△N=22p(V1)2V1)2e(VpV∴△N/△N=p2(V1)2VV(1)2eVpp28.31573其中V=P2.18103m/s2103vv=1.375，=0.68712vvppNN1.3752e1.37520.6872e0.68720.969∴12解法2：若考慮△V=△V=10m/s比較大，可不用近似法，用積分法求△N，112△N24NV23eV2V2dVVdN=PpdNdN△N=1VVVdN1242V001dNdN△N=2VVV3dN4V003v令X=、i=12、3、4利用16題結(jié)果:ivip2VidNN[erf(x)ixeix2i022N[erf(x)∴△N=2xei]N[erf(x)1xe]（1）x2x2211122N[erf(x)4xe4]N[erf(x)3xe△N=2（２）x2x2]343其中V=2RT2.182103m/sPV1VVx11.375x1.37922VPPVVx30.6873x40.67224VVPP查誤差函數(shù)表得：erf(x)=0.9482)=0.erf(x948912erf(x)=0.6687)=0.erf(x672234將數(shù)字代入（１）、（２）計算，再求得：N10.703N23-7試就下列幾種情況，求氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：（1）速率在區(qū)間v～1.0v1內(nèi)pp（2）速度分量v在區(qū)間v～1.0v1內(nèi)xpp（3）速度分量v、v、v同時在區(qū)間v～1.0v1內(nèi)ppppp解：設(shè)氣體分子總數(shù)為N，在三種情況下的分子數(shù)分別為△N、△N、△N123（1）由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑篤1dN△N=VVdN2dN2V001vx1，xv21.01，利用16v令v=1.01v，v=v，x，則i1ipvvvi122pppp題結(jié)果可得；N22erf(x)2xe2erf(x)1xex22x211N1查誤差函數(shù)表：erf（x）=0.8427（x）=erf0.846812∴NN0.0081（2）由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑簐2v2Nx1edvpdNvpxxNvNdvxv(x)2(x)2∴Ndv1v2e1v1e2vpvpxvpvp00N1vv1vexp[(x)2]d(x)1vpvvvexp[(x)2]d(x)22vpNvpvpvpvp00令xvx，xv11，xv21.01vvv12ppp∴NN11x1ex2dxx2edxx2200利用誤差函數(shù)：2erf(x)xexp(x2)dx0N1[erf(x)erf(x)2N2211[0.84680.8427]0.21%2v（3）令xx，由麥?zhǔn)纤俣确植悸傻茫簐pv2v2v2dNN1xyzv3epdvdvdvv23pxyzNdxex2x211x231dx]()3[x2e3N00(N2)3(0.002)30.8108N3-8根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)，計算足夠多的點，以dN/dv為縱坐標(biāo)，v為橫坐標(biāo)，作1摩爾氧氣在100K和400K時的分子速率分布曲線。解：由麥?zhǔn)纤俾史植悸傻茫篸Nm4N(3m)2e2KTv2v22KTdv將π=3.14，N=N=6.02×10T=100K23Am=32×10代入上式得到常數(shù)：-3m2KTm3)2eBA=4N(A2KT∴dNdv（1）AeBV2V2為了避免麻煩和突出分析問題方法，我們只做如下討論：由麥?zhǔn)纤俾史植悸晌覀冎?，單位速率區(qū)間分布的分子數(shù)隨速率的變化，必然在最可幾速率處取極大值，極大值為：dN令A(yù)eBV2V2則ydvdydvA[eBV2VV2eBV2(2BV)]021VV得BP又在V=0時，y=0，V→∞時，y→012KT12KTV又P1VP212BmBm12∵T=100K＜1T=400K2∴＜由此作出草圖VVP1P213-9根據(jù)麥克斯韋速率分布律，求速率倒數(shù)的平均值。v11f(V)dvvV0m2KT3)2mv22KT4(eVdV0m2KTKTm3)2(m解：4()e2KTV2d(V2)m2KT0m2KTKTmV2)e2KTm3)2(4(02m4KTV3-10一容器的器壁上開有一直徑為0.20mm的小圓孔，容器貯有100℃的水銀，容器外被抽成真空，已知水銀在此溫度下的蒸汽壓為0.28mmHg。（1）求容器內(nèi)水銀蒸汽分子的平均速率。（2）每小時有多少克水銀從小孔逸出？8RT88.313733.14201103V解：（1）1.98102(m/s)（2）逸出分子數(shù)就是與小孔處應(yīng)相碰的分子數(shù)，所以每小時從小孔逸1N出的分子數(shù)為：nVst411PVd其中是每秒和器壁單位面積碰撞的分子數(shù)，2是小孔nVs()44KT21Pt=3600s，故4KT，代入數(shù)據(jù)得：Vst面積，NN=4.05×10（個）192011034.0510196.021023∴MmNNNA1.35102(g)3-11如圖3-11，一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強，分子數(shù)密度分同，都等于T。摩爾質(zhì)量也相為μ。試證明：如隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為：別為p、n、p、n。兩部分氣體的溫度相同，均11222RTMA(PP)12證明：設(shè)p＞p，通過小孔的分子數(shù)相當(dāng)于和面積為A的器壁碰撞的分子數(shù)。1214N從1跑到2的分子數(shù)：1nVAt111N從2跑到1的分子數(shù)：2nVAt224實際通過小孔的分子數(shù)：（從1轉(zhuǎn)移到2）NNN1At(nVnV42)12112P8RTnV因t=1秒，，KTT=T=T12148RTP(P2MmnAmKTKT)1∴1A8RT(PP)4RT122RTA(PP)12若P＞P，則M＜0，表示分子實際是從2向1轉(zhuǎn)移。213-12有N個粒子，其速率分布函數(shù)為dNf(v)C(vv0)0Ndvf(v)0(vv)0(1)作速率分布曲線。(2)由N和v求常數(shù)C。0(3)求粒子的平均速率。f(v)C(vv0)解：（1）0f(v)0(vv)0得速率分布曲線如圖示f(v)dv1（2）∵0f(v)dv0v0cdv1∴01即cv10cv0vvf(v)dv1cv21v0（3）22003-13個假N想的氣體分子，其速率分布如圖3-13所示（當(dāng)v＞v時，粒子數(shù)為0零）。（1）由N和V求a。0（2）求速率在1.5V到2.0V之間的分子數(shù)。00（3）求分子的平均速率。解：由圖得分子的速率分布函數(shù)：Va()0VV0VN0aV2V()VN00f(v)=0V2V()0(1)∵dNNf(V)dvV2VadvVaNNf(V)dVdV0V00V∴001a2V3VaVVa0220002Na3V0(2)速率在1.5V到2.0V之間的分子數(shù)00NNf(V)dV2VadV02V01.5V1.5V0a(2V12N23V01.5V)0N0V3003-14證明：麥克斯韋速率分布函數(shù)可以寫作：dNdxF(x2)v2KT其中xvpvmpF(x2)4Nx2ex2證明：dNNf(v)dvm2KT4N(3)2emv2v2dv2KTv24N32v3ev2dvv2ppv2v2p4Nv2d(v)v2evpp4Nex2x2dx∴dNdx4Nex2x2F(x2)3-15設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，試證明速度的x分量大于某一給定值v的分子數(shù)xN為：N[1erf(x)]vx2（提示：速度的x分量在0到之間的分子數(shù)為N）2證明：由于速度的x分量在區(qū)間v～v+dv內(nèi)的分子數(shù)為：xxxvx2NdNvvp1edvv2pxx故在v～范圍內(nèi)的分子數(shù)為：xNdNVxvxvxdNvdNxxvx00N由題意：dN2vx0vxvvx2NvxdN1edvv2pvxpx00vxv令xp利用誤差函數(shù)得：xex2dxN2vxdN2vx00Nerf(x)2NNN22erf(x)V∴xN[1erf(x)]23-16設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，試證明速率在0到任一給定值v之間的分子數(shù)為：2NN[erf(x)]ex20vv其中x，v為最可幾速率。pvpx2)ex2dx2x2ex2[提示：d(xe證明：dx]NNvf(v)dv0v0m2KT3)2emN4(v2v2dvv2KT0v24N3ev2dvvvv2pp04Nv2vevv2dv1v2pv2p0pv令X，則dvvdxvpp4N∴Nxex2x2dx0v0dx1[ex2dxd(xex2)x]2由提示得：xex2dxxd(xex2)]4N1N[xex20v22∴00N[erf(x)]ex23-17求速度分量v大于2的v分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。xp解：設(shè)總分子數(shù)N，速度分量v大于2的v分子數(shù)由15題結(jié)果得：xpNN[1erf(x)]22vx2vvx其中2pvvpp可直接查誤差函數(shù)表得：erf（2）=0.9952也可由誤差函數(shù)：erf（z）=2z3z6z9z][z1!33!74!95!11將z=2代入計算得：erf（2）=0.9752N10.995220.24%∴2vNp3-18設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，求速率大于某一給定值的分子數(shù)，設(shè)（1）v=vp（2）v=2v，具體算出結(jié)果來。p解：（1）v=v時，速率大于v的分子數(shù)：ppNNf(v)dvN[f(v)dvf(v)dv]v1v利用16題結(jié)果：002NN[1erf(x)]xex2v這里x1vpNN[10.84270.41]0.57N∴1v（2）v=2v時，xp2，則速率大于2v的分子數(shù)為：pvpNN[1erf(2)22e4]0.046N23-19求速率大于任一給定值v的氣體分子每秒與單位面積器壁的碰撞次數(shù)。單位體積中速率大于v的分子數(shù)解：由18題結(jié)果可得為：2xex2],(nNVnn[1erf(x))v在垂直x軸向取器壁面積dA，則速率大于v能與dA相碰的分子，其v仍在x0～間，由《熱學(xué)》P30例題，每秒與單位面積器壁碰撞的速率大于v的分子數(shù)為：1Nnf(v)vdvvxxx4vnv014nv[1erf(x)2xex2]vxvp3-20在圖3-20所示的實驗裝置中，設(shè)鉍蒸汽的溫度為T=827K，轉(zhuǎn)筒的直徑為D=10cm，轉(zhuǎn)速為ω=200πl(wèi)/s，試求鉍原子P′到PBi和Bi分子的沉積點2點（正對著狹縫s）的距離3s，設(shè)鉍原子Bi和Bi分子都以平均速率運動。2解：鉍蒸汽通過s到達(dá)P′處的時間為：3tD在此時間里R轉(zhuǎn)過的弧長為：vS12DtD22v∵209BiBi2418∴SDBiD222vBi28RT代入數(shù)據(jù)得：SD2Bi21.53(cm)Bi8RT3-21收音機的起飛前機艙中的壓力計批示為1.0atm，溫度為270C；起飛后壓力計指示為0.80atm，溫度仍為270C，試計算飛機距地面的高度。解：根據(jù)等溫氣壓公式：P=P0e-有In=-∴H=-In?其中In=In=-0.223，空氣的平均分子量u=29.∴H=0.223×=2.0×103(m)3-22上升到什么高度處大氣壓強減為地面的75%？設(shè)空氣的溫度為00C.解：由題意知：=0.75故H=-In?代入數(shù)據(jù)得：H=2.3×103(m)3-23設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為t=5.00C,海平面上的氣壓為P0=750mmHg,令測得某山頂?shù)臍鈮篜=590mmHg,求山高。已知空氣的平均分子量為28.97.解：H=-In?代入數(shù)據(jù)得：H=2.0×103(m)3-24根據(jù)麥克斯韋速度分布律，求氣體分子速度分量vx的平均值，并由此推出氣體分子每一個平動自由度所具有的平動能。解：（1）x=∫∞-∞vx2f(vx)dvx=2∫∞0vx2()e-vx2dvx=v-1p∫∞0vx2e-vx2dvx查《熱學(xué)》附錄3-1表得：x=Vp-1()3/2=同理可得：y=x=(2)分子總的平動能：2=2==mx=同理得：==可見，氣體分子的平均動能按自由度均分，都等于KT.3-25令ε=mv2表示氣體分子的平動能，試根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明，平動能在區(qū)間ε～ε+dε內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：f(ε)dε=(KT)-3/2ε?e-ε/KT?dε根據(jù)上式求分子平動能ε的最可幾值。證明：（1）∵f(v)dv=4∏()3/2?ev2v2dv=(KT)-3/2?(v2)1/2?e-mv2/2KT?d()∵ε=mv2故上式可寫作：

F(ε)dε=(KT)-3/2?ε?e-ε/KT?dε(2)求ε最可幾值即=(KT)-3/2[ε?e-ε/KT(-)+e-?ε-]=(KT)-3/2e-(ε--ε/KT)=0∴ε--ε=0f(ε)為極大值時對應(yīng)的ε值。得:εp=ε=3-26溫度為270C時，一摩爾氧氣具有多少平動動能？多少轉(zhuǎn)動動能？解：氧氣為雙原子氣體，在T=300K下有三個平動自由度，兩個轉(zhuǎn)動自由度。由能均分定理得：ε=RT=×8.31×300=3.74×103(J)=RT=8.31×300=2.49×103(J)3-27在室溫300K下，一摩托車爾氫和一摩爾氮的內(nèi)能各是多少？一克氫和一克氮的內(nèi)能各是多少？解：U氫=RT=6.23×103(J)U氮=RT=6.23×103(J)可見，一摩氣體內(nèi)能只與其自由度（這里t=3,r=2,s=0）和溫度有關(guān)。一克氧和一克氮的內(nèi)能：U=∴U氫===3.12×103(J)U氮===2.23×103(J)3-28求常溫下質(zhì)量為M=3.00g的水蒸氣與M=3.00g的氫氣的混合氣體的定容比熱解：設(shè)Cv1‘、Cv2‘分別為水蒸氣和氫氣的定容比熱，Cv1、Cv2分別為水蒸氣和氫氣的定容摩爾熱容量。在常溫下可忽略振動自由度，則有：Cv1=R=3RCv2=R=2.5RCv==∴Cv1’==Cv2’===(+)=5.9(J/gK)3-29氣體分子的質(zhì)量可以由定容比熱算出來，試推導(dǎo)由定容比熱計算分子質(zhì)量的公式。設(shè)氬的定容比熱Cv=75Cal?Kg-1?K-1,求氬原子的質(zhì)量和氬的原子量.

解：（1）一摩爾物質(zhì)定容熱容量為：Cv=ucv,對理想氣體來說：Cv=(t+r+2s)R分子質(zhì)量m==?=(t+r+2s)R?=(t+r+2s)?(Cv=75cal/kg?k)(2)氬是單原子分子，故Cv=R=3(Cal/mol?K)故氬的原子量u==4.0×10-2(Kg/mol)m==6.6×10-26(Kg)3-30某種氣體的分子由四個原子組成，它們分別處在正四面體的四個頂點：（1）求這種分子的平動自由度數(shù)。（2）根據(jù)能均分定理求這種氣體的定容摩爾熱容量分子質(zhì)量、轉(zhuǎn)動和振動。解：（1）因n個原子組成的分子最多有3n個自由度。其中3個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，3n-1個是振動自由度。這里n=4，故有12個自由度。其中3個平動6個振動自由度。、個轉(zhuǎn)動自由度，(2)定容摩爾熱容量：Cv=(t+r+2s)R=×18×2=18（Cal/mol?K）第四章氣體內(nèi)的輸運過程4－1.氫氣在，時的平均自由程為×m，求氫分子的有效直徑。解：由＝得：＝代入數(shù)據(jù)得：（m）4－2.氮分子的有效直徑為，求其在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程和連續(xù)兩次碰撞間的平均時間。解：＝代入數(shù)據(jù)得：－（m）＝代入數(shù)據(jù)得：＝（s）4－3.癢分子的有效直徑為3.6×m，求其碰撞頻率，已知：（1）氧氣的溫度為300K，壓強為1.0atm；（2）氧氣的溫度為300K，壓強為1.0×atm解：由＝得＝＝（）代入數(shù)據(jù)得：＝6.3×（）時的平均自由程為。4－4.某種氣體分子在（1）已知分子的有效直徑為，求氣體的壓強。（2）求分子在的路程上與其它分子的碰撞次數(shù)。解：（1）由得：代入數(shù)據(jù)得：（2）分子走路程碰撞次數(shù)（次）4－5.若在設(shè)溫度保持不變。下，癢分子的平均自由程為，在什么壓強下，其平均自由程為？解：由得4－6.電子管的真空度約為單位體積內(nèi)的分子數(shù)，平均自由程和碰撞頻率HG，設(shè)氣體分子的有效直徑為，求時。解：（2）（3）若電子管中是空氣，則4－7.今測得溫度為壓強為時，氬分子和氖分子的平均自由程分別為和，問：（1）氬分子和氖分子的有效直徑之比是多少？（2）（3）時，為多大？時，為多大？解：（1）由得：（2）假設(shè)氬分子在兩個狀態(tài)下有效直徑相等，由得：（3）設(shè)氖氣分子在兩個狀態(tài)下有效直徑相等，與（2）同理得：4－8.在氣體放電管中，電子不斷與氣體分子相碰撞，因電子的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以后”比起氣體分子的有效直徑來可以者可以認(rèn)為是靜止不動的。設(shè)電子的“有效直徑忽略不計。（1）電子與氣體分子的碰撞截面為多大？（2）證明：電子與氣體分子碰撞的平均自由程為：，n為氣體分子的數(shù)密度。解：（1）因為電子的有效直徑與氣體分子的有效直徑相比，可以忽略不計，因而可把電子看成質(zhì)點。又因為氣體分子可看作相對靜止，所以截面為：凡中心離電子的距離等于或小于的分子都能與電子相碰，且碰撞（2）電子與氣體分子碰撞頻率為：（為電子平均速率）4－9.設(shè)氣體分子的平均自由程為試證明：一個分子在連續(xù)兩次碰撞之間所走路程至少為x的幾率是解：根據(jù)（4.6）式知在個分子中自由程大于x的分子占總分子數(shù)的比率為＝由幾率概念知：對于一個分子，自由程大于x的幾率為，故一個分子連續(xù)兩次碰撞之間所走路程至少為x的幾率是。4－10.某種氣體分子的平均少段長于50cm？（3）有多少段長于5cm而短于10cm？（有多少段長度剛好為10cm？自由程為10cm、在10000段自由程中，（1）有多少段長于10cm？（2）有多4）有多少段長度在9.9cm到10cm之間？（5）解：個分子中按不同自由程分布的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率與一個分子在段自由程中按不同自由程分布幾率相同，即個分子在某一自由程的分子數(shù)就是段自由程中具有這個自由程的段數(shù)。故可表示自由程長于x的段數(shù)（1）設(shè)長于10cm的段數(shù)為，總段數(shù)為＝（段）（2）設(shè)長于50cm的段數(shù)為＝（段）（段）（3）設(shè)長于5cm短于10cm的段數(shù)為（4）設(shè)長度在9.9cm到10cm之間的段數(shù)為（段）（5）按統(tǒng)計規(guī)律，不能確定長度剛好為10cm的有多少段。4－11.某一時刻氧氣中有一組分子都剛與其它分子碰撞過，問經(jīng)過多少時間后其中還能保留一半未與其它分子相碰。設(shè)氧分子都以平均速率運動，氧氣的溫度為300K，在給定的壓強下氧分子的平均自由程為2.0cm。解：考慮分子在t時間內(nèi)走了x路程未被碰的分子數(shù)與總分子數(shù)中自由程大于x的分子數(shù)相等。設(shè)自由程大于x的分子數(shù)為N，則（s）4－12.需將陰極射線管抽到多高的真空度（用mmHg表示），才能保證從陰極發(fā)射出來的電子有90％能達(dá)到20cm遠(yuǎn)處的陽極，而在中途不與空氣分子相碰？解：設(shè)從陰極發(fā)射出來的電子有個，自由程大于20cm的電子有N個，則故由本章第8題知：若溫度為，因空氣的主要成分是氮氣，故由《熱學(xué)》例題1得空氣分子的有效直徑的近似值：代入數(shù)據(jù)得：4－13.由電子槍發(fā)出一束電子射入壓強為的氣體。在電子槍前相距x處放置一收集電極，用來測定能自由通過（即不與氣體分子相碰）這段距離的電子數(shù)。已知電子槍發(fā)射電子流強度為（微安）當(dāng)氣壓，x＝10cm時，到達(dá)收集極的電子流強度為。（1）電子的平均自由程為多大？（2）當(dāng)氣壓降到時，到達(dá)收集極的電子流為多大？解：由于電子流強度與電子數(shù)成正比，所以有子流強度。，是自由程大于x的電子在收集極引起的電（1）（2）由上題知：得：4－14.今測得氮氣在時的沾次滯系數(shù)為試計算氮分子的有效直徑，已知氮的分子量為28。解：由《熱學(xué)》（4.18）式知：代入數(shù)據(jù)得：4－15.今測得氮氣在時的導(dǎo)熱系數(shù)為，定容摩爾熱容量為：，試計算氮分子的有效直徑解：由《熱學(xué)》（4.19）式代入數(shù)字得：4－16.氧氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的擴散系數(shù)：、求氧分子的平均自由程。解：代入數(shù)據(jù)得4－17.已知氦氣和氬氣的原子量分別為4和40，它們在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)嗲的沾滯系數(shù)分別為和，求：（1）氬分子與氦分子的碰；（3）氬氣與氦氣的擴散系數(shù)撞截面之比；（2）氬氣與氦氣的導(dǎo)熱系數(shù)之比之比。解：已知（1）根據(jù)（2）由于氮氬都是單原子分子，因而摩爾熱容量C相同（3）現(xiàn)P、T都相同，4－18.一長為2m，截面積為的管子貯有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氣，一半分子中的C原子是射性同位素時放射性分子密集在管子左端，其分子數(shù)密度沿著管子均勻地減小，到右端1）開始時，放，在減為零。（放射性氣體的密度梯度是多少？（2）開始時，每秒有多少個放射性分子通過管子中點的橫截面從左側(cè)移往右側(cè)？（放射性氣體為多少克？3）有多少個從右側(cè)移往左側(cè)？（4）開始時，每秒通過管子截面擴散的解：已知管子長l＝2.0m，截面積（1）由題知、開始時左端全部是放射性分子，單位體積分子數(shù)為n，而右端則為零。故放射性氣體密度梯度：標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下任何氣體單位體積的分子數(shù)為：（2）根據(jù)擴散現(xiàn)象的微觀解釋知，在時間內(nèi)通過中點ds由左移到右的分子數(shù)為〔N中－中〕dsdt參看《熱學(xué)》（4－1）表，可取cm。因為管很細(xì)，可假設(shè)在開始1秒內(nèi)近似不變，則在1秒內(nèi)從左端通過S面移往右端的分子數(shù)代入數(shù)據(jù)得（個）（3）同理可得1秒內(nèi)從右端通過S面移往左端的放射性分子數(shù)：（個）（4）每秒通過S面擴散的放射性分子數(shù)（個）故每秒通過S面擴散的放射性氣體質(zhì)量4－19.將一圓柱沿軸懸掛在金屬絲上，在圓柱體外面套上一個共軸的圓筒，兩者之間充以空氣。當(dāng)圓筒以一定的角速度轉(zhuǎn)動時，由于空氣的沾滯作用，圓柱體將受到一個力距由懸絲的扭轉(zhuǎn)程度可測定此力距，從而求出空氣的沾滯系數(shù)。設(shè)圓柱體的半徑為R，圓筒的半徑為，兩者的長度均為L，圓筒的角速度為，試證明：，是待測的沾滯系數(shù)。證明：氣體與圓柱相互作用的沾滯力為：只考慮平衡時的情況，可以近似地認(rèn)為圓柱體不動，圓筒的轉(zhuǎn)速為：設(shè)緊靠圓筒的那些分子流速與圓筒轉(zhuǎn)動速度相同由牛頓沾滯定律知，圓柱體所受沾滯力圓柱體側(cè)面積4－20.兩個長為100cm，半徑分別為10.0cm和10.5cm的共軸圓筒套在一起，其間充滿氫氣，若氫氣的沾滯系數(shù)為，問外筒的轉(zhuǎn)速解：由多大時才能使不動的內(nèi)筒受到107dyn的作用力？上題結(jié)果知：其中則代入數(shù)據(jù)得：（弧度/秒）4－21.兩個長圓筒共軸套在一起，兩筒的長度均為L，內(nèi)筒和外筒的半徑分別為和，內(nèi)筒和外筒分別保持在恒定的溫度和，且，已知兩筒間空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為K，試證明：每秒由內(nèi)筒通過空氣傳到外筒的熱量為：證明：由付里葉定律：則在單位時間內(nèi)通過以r為半徑的柱面的熱量為：由于且、是恒量故由面?zhèn)鞯矫娴臒崃恳彩且缓懔?，故上式兩端積分得：第五章熱力學(xué)第一定律5－1.0.020Kg的氦氣溫度由升為，若在升溫過程中：（1）體積保持不變；（2）壓強保持不變；（3）不與外界交換熱量，試分別求出氣體內(nèi)能的改變，吸收的熱量，外界對氣體所作的功，設(shè)氦氣可看作理想氣體，且，解：理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，一過程中氣體溫度的改變相同，所以內(nèi)能的改變也相同，為：熱量和功因過程而異，分別求之如下：（1）等容過程：V=常量A＝0由熱力學(xué)第一定律，（2）等壓過程：由熱力學(xué)第一定律，負(fù)號表示氣體對外作功，（3）絕熱過程Q＝0由熱力學(xué)第一定律5－2.分別通過下列過程把標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的0.014Kg氮氣壓縮為原體積的一半；（1）等溫過程；（2）絕熱過程；（3）等壓過程，試分別求出在這些過程中氣體內(nèi)能的改變，傳遞的熱量和外界對氣體所作的功，設(shè)氮氣可看作理想氣體，且，解：把上述三過程分別表示在P-V圖上，（1）等溫過程理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，過程中溫度不變，故由熱一、負(fù)號表示系統(tǒng)向外界放熱（2）絕熱過程由得或由熱力學(xué)第一定律另外，也可以由及先求得A（3）等壓過程，有或而所以＝＝＝由熱力學(xué)第一定律，也可以由求之另外，由計算結(jié)果可見，等壓壓縮過程，外界作功，系統(tǒng)放熱，內(nèi)能減少，數(shù)量關(guān)系為，系統(tǒng)放的熱等于其內(nèi)能的減少和外界作的功。5－3在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的0.016Kg的氧氣，分別經(jīng)過下列過程從外界吸收了80cal的熱量。（1）若為等溫過終態(tài)體積。（2）若為等終態(tài)壓強。（3）若為等壓過程，求程，求容過程，求氣體內(nèi)能的變化。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且解：（1）等溫過程則故（2）等容過程（3）等壓過程5－4為確定多方過程方程中的指數(shù)n，通常取為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)作圖。試討論在這種圖中多方過程曲線的形狀，并說明如何確定n。解：將兩邊取對數(shù)或比較知在本題圖中多方過程曲線的形狀為一直線，如圖所示。直線的斜率為可由直線的斜率求n。或即n可由兩截距之比求出。5－5室溫下一定量理想氣體氧的體積為，壓強為。經(jīng)過一多方過程后體積變?yōu)?，壓強為。試求：?）多方指數(shù)n；（2）內(nèi)能的變化；（3）吸收的熱量；（4）氧膨脹時對外界所作的功。設(shè)氧的。解：（1）或取對數(shù)得（2）＝內(nèi)能減少。（3）（4）由熱力學(xué)第一定律也可由求5－6一摩爾理想氣體氦，原來的體積為，溫度為，設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程體積被壓縮為，求在壓縮過程中，外界對系統(tǒng)所作的功。設(shè)氦氣的。解：由熱力學(xué)第一定律5－7在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氧氣，經(jīng)過一絕熱過程對外作功。求終態(tài)壓強、體積和溫度。設(shè)，氧氣為理想氣體，且解：絕熱由熱力學(xué)第一定律5－8.0.0080Kg氧氣（1）經(jīng)過絕熱膨脹體積增為4.1l；（2）先經(jīng)過等溫過程再經(jīng)過等容過程達(dá)到與（1）同樣的終態(tài)。。原來溫度為，體積為0.41l，若試分別計算在以上兩種過程中外界對氣體所作的功。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且。解：如圖，將兩種過程在圖上表示。（1）絕熱過程負(fù)號表示系統(tǒng)對外界作功（2）等容過程外界對氣體不作功＝5-9.在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，一摩爾單原子理想氣體先經(jīng)過一絕熱過程，再經(jīng)過一等溫過程，最后壓強和體積均為原來的兩倍，求整個過程中系統(tǒng)吸收的熱量。若先經(jīng)過等溫過程再經(jīng)過絕熱過程而達(dá)到同樣的狀態(tài)，則結(jié)果是否相同？解：（1）先絕熱壓縮再等溫膨脹，從態(tài)1到態(tài)2如圖，對態(tài)2又，僅等溫過程吸熱（2）先等溫膨脹再絕熱壓縮，氣體從態(tài)1到態(tài)2，如圖由（1）知又＝僅等溫過程態(tài)1到態(tài)4吸熱，＝8.31×273ln16＝6.3×J可見，結(jié)果與(1)中不同，說明熱量是過程量。5－10.一定量的氧氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下體積為10.0l，求下列過程中氣體所吸收的熱量：（1）等溫膨脹到20.0l；（2）先等容冷卻再等壓膨脹到（1）所達(dá)到的終態(tài)。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且解：（1）等溫膨脹。＝1.013×＝702J×10×（2）先等容冷卻在等壓膨脹對1－2－3全過程：則由熱力學(xué)第一定律＝507J5－11.圖5－11中的實線表示一任意形狀系統(tǒng)的界面。設(shè)當(dāng)系統(tǒng)的界面由實線膨脹到虛線的微元過程中，系統(tǒng)總體積增加dv，而在這過程界面上各均受到與界面垂直的外界對系統(tǒng)所作體積功為為準(zhǔn)靜態(tài)的，則此功又可表示為，其中P表示系統(tǒng)內(nèi)部均勻壓強。；若過程證：如圖，當(dāng)系統(tǒng)的界面由實線膨脹到虛線的微元過程中，所取面元ds移動距離dl，移動方向與相反，所以此微元過程中外界壓強對面元ds作的功為由于在界面上各處均勻，且在微元過程中可視為不變，則外界對整個系統(tǒng)所作的體積功為對于無摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程故此功又可表為其中P表示系統(tǒng)內(nèi)部均勻壓強。5－13.某氣體服從狀態(tài)方程，內(nèi)能為：、為常數(shù)。試證明，在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中，這氣體滿足方程：常數(shù)其中證：由熱力學(xué)第一定律，（1）由，對準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程則（1）式為（2）將微分代入（2）式得：或（3）又，該氣體有已知為常數(shù)，則為常數(shù)。令則為常數(shù)代入（3）式積分得＝常數(shù)5－14.在時水蒸氣的飽和氣壓為0.029824bar。若已知在這條件下水蒸氣的焓是2545.0KJ，水的焓是100.59KJ，求在這條件下水蒸氣的凝結(jié)熱。解：在水蒸氣凝結(jié)為水的等溫等壓過程中，系統(tǒng)吸收的熱量等于其焓的增加，為＝H水－H氣＝100.59－2545.0＝－24444.41KJ即該條件下水蒸氣的凝結(jié)熱，負(fù)號表示水蒸氣凝結(jié)時放熱。5－15.分析實驗數(shù)據(jù)表明，在1atm下，從300K到1200K范圍內(nèi)，銅的定壓摩爾熱容量可表示為其中a＝2.3×，b＝5.92，的單位是〔〕。試由此計算在1atm下，當(dāng)溫度從300K增加到1200K時銅的焓的改變。解：銅在升溫過程中壓強不變，吸收的熱量等于其焓的增加，所以=＝5－16.設(shè)一摩爾固體的物態(tài)方程可寫作內(nèi)能可表示為其中a、b、c和均是常數(shù)。試求：（1）摩爾焓的表達(dá)式；（2）摩爾熱容量解：（1）和（2）利用先將u表示為T，v的函數(shù)===注意：這道題