高中數(shù)學(xué)解析幾何知識點(diǎn)總結(jié)大全

高中數(shù)學(xué)解析幾何知識點(diǎn)大總結(jié)第一部分:直線直線的傾斜角與斜率傾斜角α(1)定義：直線l向上的方向與x軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。(2)范圍：2.斜率：直線傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.（1）.傾斜角為的直線沒有斜率。（2）.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于軸時，其斜率不存在)，這就決定了我們在研究直線的有關(guān)問題時，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會產(chǎn)生漏解。（3）設(shè)經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線的斜率為，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；斜率不存在；二、直線的方程1.點(diǎn)斜式：已知直線上一點(diǎn)P（x0,y0）與直線的斜率k（傾斜角α）求直線的方程用點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)注意：當(dāng)直線斜率不存在時，不能用點(diǎn)斜式表示，此時方程為；2.斜截式：若已知直線在軸上的截距（直線與y軸焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)）為，斜率為，則直線方程：；特別地，斜率存在且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程為：注意：正確理解“截距”這一概念，它具有方向性，有正負(fù)之分，與“距離”有區(qū)別。3.兩點(diǎn)式：若已知直線經(jīng)過和兩點(diǎn)，且（則直線的方程：；注意：①不能表示與軸和軸垂直的直線；②當(dāng)兩點(diǎn)式方程寫成如下形式時，方程可以適應(yīng)在于任何一條直線。4截距式：若已知直線在軸，軸上的截距分別是，（）則直線方程：；注意：1）.截距式方程表不能表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。2）.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線方程可設(shè)為x-y=a5一般式：任何一條直線方程均可寫成一般式：；（不同時為零）；反之，任何一個二元一次方程都表示一條直線。注意：①直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)是否為0才能確定。②指出此時直線的方向向量：，，（單位向量）；直線的法向量：；（與直線垂直的向量）6(選修4-4)參數(shù)式（參數(shù)）其中方向向量為，單位向量；；；點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，則；（為參數(shù)）其中方向向量為，的幾何意義為；斜率為；傾斜角為。兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系平行，且(A1B2-A2B1=0)重合，且相交垂直設(shè)兩直線的方程分別為：或；當(dāng)或時它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組或解；注意：①對于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如：對于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如②若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為0，則兩直線垂直。③對于來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來更方便．④斜率相等時，兩直線平行(或重合)；但兩直線平行(或重合)時，斜率不一定相等，因?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖凇Ｋ?、兩直線的交角（1）到的角：把直線依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，其范圍是；注意：①到的角與到的角是不一樣的；②旋轉(zhuǎn)的方向是逆時針方向；③繞“定點(diǎn)”是指兩直線的交點(diǎn)。（2）直線與的夾角：是指由與相交所成的四個角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是；（3）設(shè)兩直線方程分別為：或①若為到的角，或；②若為和的夾角，則或；③當(dāng)或時，；注意：①上述與有關(guān)的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當(dāng)有一條直線斜率不存在時，用數(shù)形結(jié)合法處理。②直線到的角與和的夾角：或；點(diǎn)到直線的距離公式：1.點(diǎn)到直線的距離為：；2.兩平行線，的距離為：；六、直線系：（1）設(shè)直線，，經(jīng)過的交點(diǎn)的直線方程為（除去）；如：①，即也就是過與的交點(diǎn)除去的直線方程。②直線恒過一個定點(diǎn)。注意：推廣到過曲線與的交點(diǎn)的方程為：；（2）與平行的直線為；（3）與垂直的直線為；七、對稱問題：（1）中心對稱：①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：該點(diǎn)是兩個對稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：Ⅰ、在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；Ⅱ、求出一個對稱點(diǎn)，在利用由點(diǎn)斜式得出直線方程；Ⅲ、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程。（2）軸對稱：①點(diǎn)關(guān)于直線對稱：Ⅰ、點(diǎn)與對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。Ⅱ、求出過該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的坐標(biāo)。②直線關(guān)于直線對稱：（設(shè)關(guān)于對稱）Ⅰ、若相交，則到的角等于到的角；若，則，且與的距離相等。Ⅱ、求出上兩個點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。Ⅲ、設(shè)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程。如：求直線關(guān)于對稱的直線的方程。八、簡單的線性規(guī)劃：（1）設(shè)點(diǎn)和直線，①若點(diǎn)在直線上，則；②若點(diǎn)在直線的上方，則；③若點(diǎn)在直線的下方，則；（2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式，①當(dāng)時，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域；②當(dāng)時，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點(diǎn)代入直線中，根據(jù)或來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：①當(dāng)時，將直線向上平移，則的值越來越大；直線向下平移，則的值越來越?。虎诋?dāng)時，將直線向上平移，則的值越來越?。恢本€向下平移，則的值越來越大；xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)第二部分：圓與方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心，半徑特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上d=r；(2)點(diǎn)在圓外d＞r；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r．2.給定點(diǎn)與圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外2.3圓的一般方程：.當(dāng)時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時，方程表示一個點(diǎn).當(dāng)時，方程無圖形（稱虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑2.4直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線的距離，((1)；(2)；（3）。2.5兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2.6圓的切線方程：直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）圓的斜率為的切線方程是過圓上一點(diǎn)的切線方程為：.一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為.若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.2.7圓的弦長問題：1.半弦、半徑r、弦心距d構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理：2.弦長公式（設(shè)而不求）：第三部分:橢圓一．橢圓與其標(biāo)準(zhǔn)方程1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；這里兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。（時為線段，無軌跡）。2．標(biāo)準(zhǔn)方程：①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F（±c，0）②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F（0,±c）注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；②一般形式表示：或者二．橢圓的簡單幾何性質(zhì)：1.范圍（1）橢圓（a＞b＞0）橫坐標(biāo)-a≤x≤a,縱坐標(biāo)-b≤x≤b（2）橢圓（a＞b＞0）橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a2.對稱性橢圓關(guān)于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心3.頂點(diǎn)（1）橢圓的頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4．離心率（1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比，即稱為橢圓的離心率，

記作e（），e越接近于0（e越小），橢圓就越接近于圓;e越接近于1（e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，（0＜e＜1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。（）①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程：②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程：小結(jié)一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四個量），特征三角形（2）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個點(diǎn)）（3）基本線：對稱軸（共兩條線）5．橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.6.幾何性質(zhì)（1）焦半徑（橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段）：（2）通徑（過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦）（3）焦點(diǎn)三角形（橢圓上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）：其中7直線與橢圓的位置關(guān)系：判斷方法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷位置關(guān)系：聯(lián)立消y得：聯(lián)立消x得：弦中點(diǎn)問題:斜率為k的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則：弦長公式：第四部分：雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PPPP第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時，動點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。PPPPPP范圍，，對稱軸軸，軸；實(shí)軸長為,虛軸長為對稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0）(,0)(0,,)(0，)離心率1)重要結(jié)論（1）焦半徑（雙曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段）：（2）通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦）（3）焦點(diǎn)三角形（雙曲線上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）：準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：漸近線方程共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置（1）判斷方法:聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷位置關(guān)系：聯(lián)立消y得：聯(lián)立消x得：弦中點(diǎn)問題:斜率為k的直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則：弦長公式：補(bǔ)充知識點(diǎn)：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半實(shí)軸長=半虛軸長；（2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中C≠0；（3）離心率；（4）漸近線：兩條漸近線y=±x互相垂直；（5）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)；（6）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)P處的切線夾在兩條漸近線之間的線段，必被P所平分；7）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數(shù)第五部分：拋物線知識點(diǎn)總結(jié)圖象xxyOlFxxyOlFllFxyOxxyOlF定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離}范圍對稱性關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對稱軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦半徑焦點(diǎn)弦長焦點(diǎn)弦的幾條性質(zhì)(以焦點(diǎn)在x軸正半軸為例)oxoxFyMMNN以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切,以MN為直徑的圓與AB相切與點(diǎn)F，即若的傾斜角為，則參數(shù)方程直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，，消y得：

（1）當(dāng)k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點(diǎn)；

（2）當(dāng)k≠0時，Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個不同交點(diǎn)；Δ=0，直線與拋物線相切，一個切點(diǎn)；Δ＜0，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)。若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎（