Mathematica數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)使用入門

Ch1.Mathematica概述Mathematica的工作環(huán)境Mathematica的基本系統(tǒng)是用C語(yǔ)言編寫(xiě)的，因此能夠方便的移植到各種計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上。打開(kāi)Mathematica，可以看到它是一個(gè)窗口軟件，包括一個(gè)執(zhí)行各種功能的工作條（屏幕頂端）和一個(gè)工作區(qū)窗口。激活工作區(qū)窗口，輸入希望的計(jì)算式（如：“3+8-4”），同時(shí)按下“Shift”和“Enter”鍵便可執(zhí)行計(jì)算。使用Mathematica的幾個(gè)注意點(diǎn)：.每次使用Mathematica，第一次計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，這是系統(tǒng)在進(jìn)行初始化工作，從第二次計(jì)算開(kāi)始就很快了。.輸入計(jì)算公式和普通文本輸入一樣，系統(tǒng)將把每次輸入記錄在案，并自動(dòng)給每個(gè)輸入記錄用“In[n]”編號(hào)，計(jì)算結(jié)果用“Out[n]”編號(hào)。“％”表示上一次計(jì)算結(jié)果，“％n”表示“0叫口]”的內(nèi)容，這樣可以減少重復(fù)輸入。.輸完計(jì)算式后，同時(shí)按下“Shift”和“Enter”鍵，Mathematica將完成計(jì)算。.必須嚴(yán)格按照系統(tǒng)所規(guī)定的格式輸入算式，否則將無(wú)法完成計(jì)算任務(wù)，通常給出一段文字，告訴你出錯(cuò)的（可能）原因。Mathematica的基本功能.基本計(jì)算功能，如：In[1]:=3+8-4Out[1]=7In[2]：=12.5八3 (*即12.53*)Out[2]=1953.132.強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能Mathematica2.強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能Mathematica的（1）角解方程號(hào)計(jì)算功能I最大特點(diǎn)是那行符號(hào)計(jì)算。如:>飛x+a=2xIn[3]：=Solve[Sqrt[x]+a==2x,x]1 -1Out[3]=x?8力卮1+8az?8注意，方啕解用“(”代替了“=”(2)求不定積分/exsinXdf^In[4]：=Integrate[(EAx)Sin[x],x]Out[4]=—-axCosx+-axsinx注意;不定積分的任意常數(shù)C均省略。

3.繪圖功能Mathematica有強(qiáng)大的圖形功能，可作各種二維、三維圖形。如:（1）作函數(shù)y=sinx+sin1,6x的二維圖形In[5]：=Plot[Sin[x]+Sin[1.6x],{x,0,40}]Out[5]=一Graphics-(2)作函數(shù)z=sin(xy)的三維圖形In[6]：=Plot3D[Sin[x*y],{x,0,4},{y,0,4},PlotPoints->30]0Out[6]=-0Out[6]=-SurfaceGraphics-1.3從Mathematica中獲得幫助信息.點(diǎn)擊Browse使用方￥..點(diǎn)擊Browse使用方￥.用“In[7]：=?SinSinz.用“？？”可In[8]：=??Sin中的Help可獲得幫助信息。特別是下拉菜單“Help“MathematicaBook”系統(tǒng)而完整地介紹了本軟件的獲得幫助信息（常用信息）。如:neofz.言息（詳細(xì)信息）。如:Sinzgivesthesineofz.AttributesSin=Listable,NumericFunction,Protected花括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)內(nèi)容可到“HelpBrowser”中查詢，只要在“GoTo”右面的對(duì)話框中輸入想查詢信息的名稱后打回車鍵即可找到相應(yīng)的信息了。Ch2.出洗e/a/勺基本命令2.1算術(shù)運(yùn)算//r~Zr-I、、—/r~Zr-1.算木運(yùn)算用Mathematica運(yùn)算與用計(jì)算器一樣簡(jiǎn)單。如:In[1]：=3.55+12.879/(4.33-1.203)八2.3Out[1]=4.4856在Mathematica中，基本運(yùn)算符號(hào)如下表：算術(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算符號(hào)舉例優(yōu)先級(jí)加+2+33減-5-23乘*或空格a*b或ab2除/15/42乘方八2八41開(kāi)平方Sqrt[]Sqrt[3]12.精確值與近似值Mathematica有強(qiáng)大的計(jì)算功能，總可以得到精確值。如:In[2]：=(30000*12345)八9Out[2]=1310723665724312245850482517300821679687500000000000000/0000000000000000000000如果想得到近似值，可在輸入結(jié)尾加上“//N”。如：In[3]：=(30000*12345)八9〃NOut[3]=1.31072x1077用“N[廣也有相同效果。如：In[4]：=N[Pi,50](*表示兀的近似值，取50位有效數(shù)字*)°Ut[4]=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751輸入整數(shù)時(shí)，Mathematica認(rèn)為是精確值；輸入小數(shù)時(shí)，Mathematica認(rèn)為是近似值。如：In[5]：=(30000*12345)八9.0Out[5]=1.31072x1077In[6]：=3/8+2/67Out[6]=也5362.2常用函數(shù)與常數(shù)1.常用函數(shù)有：函數(shù)名功能Abs[x]HExp[x]exLog[x]lnx

Log[b,x]logbxSin[x]sinxCos[x]cosxTan[x]tanxCot[x]cotxArcSin[x]arcsinxArcCos[x]arccosxArcTan[x]arctanxArcCot[x]arccotxSinh[x]sinhxCosh[x]coshxTanh[x]tanhxArcSinh[x]arsinhxArcCosh[x]arcoshxArcTanh[x]artanhxN!n!Random[x]0到1之間的隨機(jī)數(shù)Max[x,y,…]max(x,y,…)Min[x,y,…]min(x,y,...)Round[x]x取整2.常數(shù)Pi（圓周率n）￡（自然對(duì)數(shù)的底e） 1（虛數(shù)單位i）Infinity（+8）Tnfinity（-8） Degree（n/180）角度注意，1.Mathematica中內(nèi)部函數(shù)和常數(shù)須用大寫(xiě)字母開(kāi)頭；2.函數(shù)的自變量應(yīng)放在方括號(hào)內(nèi)。例如；In[7]：=Sin[Pi/3]Out[7]=豆（*這是符號(hào)解，即sin—的精確解*）2 3In[8]：=N[%,6] （*上述顯的近似值，取6位有效數(shù)字*）2Out[8]=0.8660253.復(fù)數(shù)“I”表示虛數(shù)單位i,如：In[9]：=Log[-737.3]Out[9]=6.60299+3.14159有關(guān)復(fù)數(shù)的函數(shù)函數(shù)名功能Re[z]取z的實(shí)部Im[z]取z的虛部Conjugate[z]z的共軛復(fù)數(shù)zAbs[z]z的模上Arg[z]z的輻角2-3Mathematica的代數(shù)運(yùn)算1.賦值與消除賦值有時(shí)某些變量(或函數(shù))在計(jì)算中重復(fù)出現(xiàn)，為避免重復(fù)輸入，可以先給它們賦值。如果要對(duì)變量賦值可用以下方法：(1)在變量計(jì)算前先賦值。如：In[1]:=x=3； (*分號(hào)表示不立即輸出*)這時(shí)變量x就已賦值為3,以后遇到x時(shí)，Mathematica就認(rèn)為是3了。In[2]:=x+xOut[2]=6(2)在變量計(jì)算后賦值。如：In[3]：=y+2y/.y->3(*這時(shí)y已賦值為3*)Out[3]=9In[4]：=x八2+2yOut[4]=15(3)定義函數(shù)(對(duì)函數(shù)賦值)Mathematica中有很多內(nèi)部函數(shù)，如：Log[x],Sin[x],Abs[x]等；用戶也可以自己定義函數(shù)，如定義f(x)=x2+2x+3In[5]：=f[x_]:=xA2+2x+3這樣函數(shù)f(x)就定義好了，在定義函數(shù)時(shí)，等號(hào)一般用“:="，方括號(hào)內(nèi)自變量右邊必須有下劃線“_”。下面就可以使用此函數(shù)了。In[6]:=f[2]Out[6]=7In[7]:=f[t+1]Out[7]=3+2(1+t)+(1+t)2In[8]:=Integrate[f[x],{x,0,1}]Out[8]=133-2 x<-1定義分段函數(shù)可用Which(或If)命令來(lái)完成，如:f(x)Jx -1<x<1、2 x>1In[9]:=f[x_]:=Which[x<-1,-2,x<=1,x,x>1,2]同樣可定義多元函數(shù)In[10]:=g[x_,y_,z_]:=Sin[x]+y-zIn[11]：=g[Pi/2,1/2,3]Out[11]=—32要消除賦值，可用以下方法：(1)賦值x=.如：In[12]:=x=.In[13]：=x八2+2yOut[13]=x2+6(2)用函數(shù)“Clear"。如：In[14]：=Clear[y]In[15]：=x八2+2yOut[15]=x2+2y清除定義的函數(shù)也用Clear[f]oIn[16]：=Clear[f]2,常用的初等代數(shù)符號(hào)計(jì)算(1)展開(kāi)多項(xiàng)式ExpandIn[17]：=Expand[(x+1)(x八2+2x+2)+2x+5]Out[17]=7+6x+3x2+x3(2)因式分解FactorIn[18]：=Factor[x八2+2x+1]Out[18]=(1+x)2(3)通分TogetherIn[19]：=Together[2/(3+x)八2+3x/(3+x)八2+x八2/(3+x)八2]Out[19]=2+3x+x2(3+x)2(4)拆分(把有理分式分解為部分分式之和)ApartIn[20]：=Apart[(2-3x+x八3)/(9+3x-5x八2+x八3)]Out[20]=1+f+—+人(5)約分CancelIn[21]：=Cancel[(1+2x+x八2)/(x八2-x-2)]Out[21]=1+x—2+x3,解代數(shù)方程Mathematica中的方程的等號(hào)以雙等號(hào)“二=”表示。In[22]：=Solve[x八2+3x-8==0,x]Out[22]=小f2(3-.1]xf2(3+歷”In[23]：=N[%]

Out[23]=張—>—4.701561k—11.70156}}In[24]：=Solve[{x+y-1==0,x-y==0},{x,y}]要；項(xiàng)式In[25]:=NOut[25]=Out[24]=-2要；項(xiàng)式In[25]:=NOut[25]=Out[24]=-2，y-2J；

上的高次

的近似解A3-2xA27==0,x]呈，8[e就無(wú)能為力了，＜8NSolvee(多x?-0.81599-1.12316a,x?-0.81599+1.12316a,x?3.63198也可用命令FindRootIn[26]：=FindRoot[x八3-2x八2-4x-7==0,{x,4}]Out[26]=x?3.63198其中4表示方程在從4出發(fā)求解。2.4微積分的符號(hào)計(jì)算與數(shù)值計(jì)算.微分(導(dǎo)數(shù))運(yùn)算(1)D[f,x]求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)In[1]：=D[Sin[x],x]Out[l]=Cos[x]In[2]：=D[y+Sin[x](x+y),y]Out[2]=1+Sin[x](2)D[f,{x,n}]求n次(偏)導(dǎo)數(shù)In[3]：=D[x八3+x八2+1,{x,2}]Out[3]=2+6x(32[中4吊混合偏導(dǎo)數(shù)耶xcH@DH@DIn[5]：=D[f[xA2,xy],x]Out[5]=yf0,1x2,xy+2xf1,0x2,xy.積分運(yùn)算(1)不定積分jfdxIn[6]：=Integrate[x八2,x]Out[6]=至3Mathematica可做幾乎所有標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的不定積分，但對(duì)于“積不出”的可積函數(shù)Mathematica也不能求。如：In[7]：=Integrate[xAx,x]Out[7]=xxOut[7]=xxAx(2)定積分fbfdxIn[8]：=Integrate[Sin[x],{x,a,b}]Out[8]=-Cos[b]+Cos[a]此方法也只能求“積得出”的可積函數(shù)的定積分，用NIntegrate可求定積分的近似值(包括“積不出”的可積函數(shù))。如：In[9]：=NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,1,2}]Out[9]=0.81645(3)重積分，必須先化為累次積分后上機(jī)計(jì)算，如f2djfxfX丫dy1xIyJIn[10]：=Integrate[(x/y)八2,{x,1,2},{y,x,1/x}]Out[10]=943.求和、求積運(yùn)算(1)求和(Z)SumIn[11]：=Sum[(n+1)八2,{n,10}]Out[11]=505In[12]：=Sum[n=2,{n,1,100,2}]Out[12]=166650其中{n,1,100,2}表示n2按n從1加到100，步長(zhǎng)為2(即12+32++992)In[13]：=Sum[(1/3)八n,{n,1,Infinity}]//NOut[13]=0.5若級(jí)數(shù)發(fā)散，將得不到任何值。In[14]：=Sum[xAn/n,{n,1,30,3}]X4Out[14]=X+T+xX4Out[14]=X+T+x7xioX13X16X19X257 10 13 16 19 22 25X2828蟠JLiftH舊L(2)求積(n)ProductIn[16]：=Product[xAn+yAn,{n,1,5}]Out[16]=x+yX2+y2X3+y3x4+y4x5+y5用NProduct可求近似值。In[17]：=NProduct[n/20-n,{n,1,20}]Out[17]=8.7216110174,解微分方程例如求微分方程y，(x)=ay(x)+1的通解。

In[18]：=DSolve[y'[x]==ay[x]+1,y[x],x]Out[18]=]y[x]f—-+eaxC[1]jj其中C[1]為任意常數(shù)。也可以求初值問(wèn)題的解。In[19]：=DSolve[{y'[x]==ay[x]+1,y[0]==0},y[x],x]Out[19]=]卜區(qū)——h^xjj.冪級(jí)數(shù)展開(kāi) （DTaylor展式（按x在x。處展開(kāi)n項(xiàng)）In[20]：=Series[Sin[x],{x,0,9}]x3+x5 x7+x9 + 10Out[20]=x6 120 5040362880°x （*最后一項(xiàng)為余項(xiàng)*）上式是將sin[x]在0處展開(kāi)9項(xiàng)。若要將余項(xiàng)o[x]10去掉，可用NormaloIn[21]：=Normal[%]Out[21]=x3Out[21]=x3+x5

6 120x7+ x95040 362880.極限極限用Limit表示。例如求極限lim必oxf0xIn[22]：=Limit[Sin[x]/x,x->0]Out[22]=17.數(shù)據(jù)處理RQ <（1）函數(shù)的最小值 \Mathematica系統(tǒng)中可以從一點(diǎn)出發(fā)求函數(shù)的最小值。In[23]：=FindMinimum[Sin[x]Cos[x],{x,0.5}]Out[23]=-0.5,x-0.785398（2）數(shù)據(jù)擬合在數(shù)據(jù)處理中常用到數(shù)據(jù)擬合（用一個(gè)函數(shù)描述所得到的一組數(shù)據(jù)），Mathematica中可用Fit來(lái)完成。例如得到一組數(shù)據(jù){{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}},作二次擬合。In[24]：=t1={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}Out[24]={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}In[25]：=Fit[t1,{1,x,x八2},x]Out[25]=-4.206+9.465x-3.125x2

練習(xí)11.練習(xí)1(1)62110 (2)%口(5)(1)62110 (2)%口(5)sin25O (6)cos(1)(9)tan0.54 (10)arctane九3⑺arcsin! (8)108!3(11)ee一次+1 (12)sini冗+0.12.計(jì)算下列各式到20,50,100位精度：(1)e'百 (2)log5d2^i (3)e厘2-1 (4)ln(2八桁)3.求下列積分(1)j上山dxx2(4)j2冗—dx—05+3sinxsin(cos2x)sinxdxaxsinxcos23.求下列積分(1)j上山dxx2(4)j2冗—dx—05+3sinxsin(cos2x)sinxdxaxsinxcos2xdx(5)1222一02dx (6)129八-2'3dxa x4 3(x-26+3.已知y=xarctanx，求高階導(dǎo)數(shù)y（100）及它在X=0的值。(1)lim(1+1(1)lim(1+1+1+...+1-lnnlimx-xx1—x+lnx

x—-1(2)lim(1——、(2)lim(1——、I 22J(4)limn-86.把下列函數(shù)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)x-+8(2 ,一arctanxI冗(1)ex（展開(kāi)7項(xiàng)）(2)（展開(kāi)7項(xiàng)）(2)Ch3.Mathematica的表Mathematica中的“表”是重要的表示結(jié)構(gòu)，是用花括號(hào)“{"、“}”括起來(lái)的若干式子。式子之間用逗號(hào)分開(kāi)。表的生成.直接生成-10-

In[1]:={2,35,11}Out[1]={2,35,11}In[2]：={Sqrt[2.0],2+4,x+1}Out[2]={1U1421,6,1+x}.用函數(shù)Table定義In[3]：=Table[n八2,{n,1,20}]1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,Out[3]= 121,144,169,196,225,256,289,324,361,400上式表示生成由n2組成的表，{n,1,20}表示n從1到20,每次加1（默認(rèn)值）{n,1,20}是{n,1,m}的形式，可換成以下形式:{n,

{n,

{n,mj^n從1（默認(rèn)值）到m，每次加1（默認(rèn)值）m^m2}表示口從m1到m2，每次加1（默認(rèn)值）m1,m2,m3}表示n從m1到m2，每次加m3{n,

{n,

{n,如：In[4]：=Tagejn八2,{n,20}]J,C,9,16,25,36,49,64,81,100,Out[4]=^21,144,169,196,225,256,289,324,361,400In[5]：=Table[Sin[x],{x,0,1,0.1}]0,0.0998334,0.198669,0.29552,0.389418,Out[5]= 0.479426,0.564642,0.644218,0.717356,0.783327,0.841471.2表的結(jié)構(gòu).表的層次表可以有1層，如：{1,2,3};也可以有多層,如：t1={1,{2,3},{{4},5}}表的層次沒(méi)有限制。抹平層（去掉一些括號(hào)）可用函數(shù)Flatten。In[6]：=t1={1,{2,3},{{4},5}};In[7]:=Flatten[t1]Out[7]={1,2,3,4,5}Flatten不改變?cè)?，此時(shí)表t1仍為{1,{2,3},{{4},5}}Flatten[t,n]表示抹平表的n層In[8]：=Flatten[t1,1]Out[8]={1,2,3,{4},5}.表作為向量和矩陣表{1,2,3}表示向量{1，2，3}-11-

表{{1,1,2},{1,x,1},{1,1,x}}表示矩陣1x1J1x/向量、矩陣的常用函數(shù)運(yùn)算符號(hào)（函數(shù)）功能A+B矩陣（向量）的加法A.B矩陣（向量）的乘法（數(shù)量積、點(diǎn)積）Cross[a,b]向量的向量積（叉積）Inverse[A]求方矩陣的逆Det[A]求方矩陣的行列式Eigenvalues[A]求方矩陣的特征值Eigenvectors[A]求方矩陣的特征向量注，Mathematica對(duì)行向量與列向量不加區(qū)分，一律寫(xiě)成行向量形式，運(yùn)算時(shí)根據(jù)法則自動(dòng)作出判斷。練習(xí)2.造下面的表：（1）{1,4,9,16，…,10000}（2）{{1,2,3，…,100},…,{1,2,3,100}},共10個(gè)子表⑶口,4,…,％},其中n『n/n!精確到小數(shù)后40位數(shù)字.做一個(gè)10項(xiàng)的表，它的每項(xiàng)sn是sinx在x=1點(diǎn)的值與sinx在0點(diǎn)的n階冪級(jí)數(shù)展式在x=1點(diǎn)的值之差（n=1,2,…,10），要求30位精度。(A+B)C=AC+BC.生成5階方陣A，B，C用演算證明:(A+B)C=AC+BC(12342】11,(2)A二2312111-1670-2-6(AB)C=A(BC)0，求A-1及IAI4.設(shè)(1)A=32175.求向量a={3,-1,2},b={4,2,-5}數(shù)量積和向量積。Ch4.Mathematica的圖形4.1二維圖形二維圖形是Mathematica中最基本的作圖，由Plot實(shí)現(xiàn)1.Plot[f[x],{x,x1,x2}]表示畫(huà)f[x]的圖形，作圖區(qū)間[x1,x2]-12-

2.Plot[{f1[x],f2[x],…},{x,x1,x2}]表示在同一平面上畫(huà)f1[x],f2[x],…的圖形，作圖區(qū)間[x1,x2]Out[1]=一Graphics-Out[2]=-Out[1]=一Graphics-Out[2]=-Graphics-In[2]:=In[3]：=Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[4x]},{x,0,2Pi}]Out[3]=-Graphics-畫(huà)用Table生成的表的圖形時(shí)，Evaluate表示Table表中的值，不可省略。例如；In[4]：=Plot[Evaluate[Table[Sin[nx],{n,4}]],{x,0,2Pi}]-13-

用“??”看一下Plot的可選參數(shù)（Option）,可用于改變圖形的顏色、坐標(biāo)軸等選項(xiàng)。Plot的常用選項(xiàng)有選項(xiàng)功能舉例AspectRatio作圖的縱橫比例AspectRatio->AutomaticAxes坐標(biāo)軸中心位置Axes->{0,1}AxesLabel坐標(biāo)軸的名字AxesLabel->{”x",”y”}Ticks坐標(biāo)軸的刻度Ticks->NonePlotPoints圖形取點(diǎn)數(shù)（點(diǎn)數(shù)多，圖形精細(xì)）PlotPoints->30PlotStyle作圖方式（明暗，顏色等）PlotStyle->{{Thickness[0.05]},{GrayLevel[0.5]},{RGBColor[1,0,0]}}In[5]：=Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}]In[6]：=Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0]}}]1-14-

Out[6]=一GraphicsShow可將任意多個(gè)做好的圖形顯示在一個(gè)圖形中畫(huà)參數(shù)方程所決定的曲線的圖形可用命令ParametricPlot,如：畫(huà)橢圓上+二=116 9In[10]：=ParametricPlot[{4Cos[t],3Sin[t]},{t,0,2Pi}]-15-

4.2三維圖形三維圖形用Plot3D命令實(shí)現(xiàn)。Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]In[11]：=Plot3D[Sin[x]Sin[y],{x,0,3},{y,0,3}]Out[11]=一SurfaceGraphics一畫(huà)參數(shù)方程所決定的空間曲面和空間曲線的圖形可用命令X=cosX=cost，te[0,2?]的圖形。y=sinttz=~V[ 10In[12]：=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10},{t,0,20Pi},PlotPoints->500]Out[12]=-Graphics3D-4.3多個(gè)點(diǎn)的作圖ListPlot可畫(huà)離散點(diǎn)的圖形。如:In[13]：=t=Table[2n,{n,0,10,0.5}]-16-0,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,10.,Out[13]= 1