人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修5-第二章 數(shù)列-2.2 等差數(shù)列-2.2.1 等差數(shù)列 微課

等差數(shù)列·知識(shí)點(diǎn)精析

等差數(shù)列{an}1．定義：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(此常數(shù)叫公差，用d表示)它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：an+1-an=d(常數(shù))

(n≥l)．2．通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)·d．3．前n項(xiàng)和公式：4．等差中項(xiàng)公式：2an=an-1+an+1(n≥2)．5．單調(diào)性：d＞0時(shí)

{an}是遞增數(shù)列d＝0時(shí)

{an}是常數(shù)列d＜0時(shí)

{an}是遞減數(shù)列．6．說(shuō)明：(1)證明一個(gè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本方法有兩種，一是利用定義，即證明an-an-1(n≥2)為常數(shù)；二是利用中項(xiàng)公式，即證明2an=an-1+an+1(n≥2)；(2)由通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)·d，還可推出變通公式an=am+(n-m)·d(m，n∈N，n＞m)；(3)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)d≠0時(shí)可知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn+C(A，B，C∈R)，則{an}為等差數(shù)列的充要條件是C=0；(4)等差中項(xiàng)不僅描述了等差數(shù)列{an}中相鄰三項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系2an=an-1+an+1(n≥2)，還可推廣到當(dāng)項(xiàng)數(shù)m，n，p成等差時(shí)，有am+ap=2an．當(dāng)已知三數(shù)成等差數(shù)列且和為一定時(shí)，常利用中項(xiàng)概念，設(shè)此三數(shù)為a-d，a，a+d；若四數(shù)成等差數(shù)列且和為一定時(shí)，則設(shè)此四個(gè)數(shù)為a-3d，a-d，a+d，a+3d．如此選設(shè)未知數(shù)，可很快求得a，d的值；(5)在等差數(shù)列中，已知五個(gè)元素a1，an，n，d和Sn中的任意三個(gè)，可以求出其余兩個(gè)；(6)在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，求n為何值時(shí)Sn最大．可以從Sn分析，用求二次函數(shù)的最值方法解，還可以求出滿足an≥0的最大n值．在a1＜0，d＞0的等差數(shù)列中，求n為何值時(shí)Sn最小，即求滿足an≤0的最大n值．不論哪種情況關(guān)鍵在于尋求數(shù)列中符號(hào)轉(zhuǎn)折的項(xiàng)，同時(shí)注意在符號(hào)轉(zhuǎn)折時(shí)數(shù)列中是否有數(shù)值為零的項(xiàng)，若有則n應(yīng)有兩解；(7)在數(shù)列運(yùn)算中“巧用性質(zhì)”減少運(yùn)算量也很重要，對(duì)性質(zhì)的復(fù)習(xí)方法應(yīng)從特殊總結(jié)到一般性質(zhì)，學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)可以進(jìn)行總結(jié)，但不必強(qiáng)記，只是熟悉結(jié)論掌握證法，目的在于提高解題的速度與靈活性，如等差數(shù)列

a1，a2，a3，…an，公差為d①a1+an=a2+an-1=…ak+an-(k-1)(k=1，2，3，…，n)；②若m+n=p+q(m，n，p，q∈N)則

am+an=ap+aq；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)若設(shè)n=2k+1，則Sn=(2k+1)·ak+1(ak+1且為中間項(xiàng))當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)若設(shè)n=2k

則Sn=k·(ak+ak+1)(ak，ak+1為中間兩項(xiàng))④a1，a3