甘肅省蘭州市二十七中2023年高二數學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一次連環(huán)交通事故中，只有一個人需要負主要責任，但在警察詢問時，甲說：“主要責任在乙”；乙說：“丙應負主要責任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責任”．四人中只有一個人說的是真話，則該事故中需要負主要責任的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．用數學歸納法證明：時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數是（）A． B． C． D．13．若實數滿足不等式組，則的最大值為（）A．8 B．10 C．7 D．94．某市委積極響應十九大報告提出的“到2020年全面建成小康社會”的目標，鼓勵各縣積極脫貧，計劃表彰在農村脫貧攻堅戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現突出，B縣有3人表現突出，現分別從A，B兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現突出，則B縣選取的人表現不突出的概率是（）A． B． C． D．5．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．6．設函數f（x），g（x）在[A，B]上均可導，且f′（x）＜g′（x），則當A＜x＜B時，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）7．設圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．8．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-29．甲、乙、丙三位同學獨立的解決同一個間題，已知三位同學能夠正確解決這個問題的概率分別為、、，則有人能夠解決這個問題的概率為（）A． B． C． D．10．某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742511．若直線的參數方程為（為參數），則直線的傾斜角為()A． B． C． D．12．已知集合，，且，則實數的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”為假命題，則實數的取值范圍是.14．函數在點處切線的斜率為______15．函數的定義域為______.16．直線為曲線，的一條切線，若直線與拋物線相切于點，且，，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（I）若，求實數的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性并證明；（Ⅲ）設函數，若在上沒有零點，求的取值范圍.18．（12分）為了了解創(chuàng)建文明城市過程中學生對創(chuàng)建工作的滿意情況，相關部門對某中學的100名學生進行調查．得到如下的統(tǒng)計表：滿意不滿意合計男生50女生15合計100已知在全部100名學生中隨機抽取1人對創(chuàng)建工作滿意的概率為.(1)在上表中相應的數據依次為；(2)是否有充足的證據說明學生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關？19．（12分）某校高二理科1班共有50名學生參加學業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數學成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學生中本次考試語文、數學成績優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數學兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數學優(yōu)秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數學期望；（3）根據（1）（2）的數據，是否有99%以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數學成績也優(yōu)秀？語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數學優(yōu)秀數學不優(yōu)秀合計附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設函數的最小值為.（1）求實數m的值；（2）已知，且滿足，求證：.21．（12分）已知函數，其中均為實數，為自然對數的底數．（I）求函數的極值；（II）設，若對任意的，恒成立，求實數的最小值．22．（10分）等差數列的前項和為，求數列前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

①假定甲說的是真話，則丙說“甲說的對”也是真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設不成立，故甲說的是假話；②假定乙說的是真話，則丁說“反正我沒有責任”也為真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設不成立，故乙說的是假話；③假定丙說的是真話，由①知甲說的也是真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設不成立，故丙說的是假話；綜上可得，丁說的真話，甲乙丙三人說的均為假話，即乙丙丁沒有責任，所以甲負主要責任，故選A.2、A【解析】

先求出n=k+1時左邊最后的一項，再求左邊增加的項數.【詳解】n=k+1時左邊最后的一項為，n=k時左邊最后一項為，所以左邊增加的項數為.故選：A【點睛】本題主要考查數學歸納法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.3、D【解析】

根據約束條件，作出可行域，將目標函數化為，結合圖像，即可得出結果.【詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，目標函數可化為，結合圖像可得，當目標函數過點時取得最大值，由解得.此時.選D?！军c睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，通常需要作出可行域，轉化目標函數，結合圖像求解，屬于?？碱}型.4、B【解析】

由古典概型及其概率計算公式得：有人表現突出，則縣選取的人表現不突出的概率是，得解．【詳解】由已知有分別從，兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現突出，且縣選取的人表現不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現突出，則縣選取的人表現不突出的概率是.故選：B．【點睛】本題考查條件概率的計算，考查運算求解能力，求解時注意與古典概率模型的聯(lián)系.5、B【解析】設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.6、B【解析】試題分析：設F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[A，B]上是減函數．∴當x＞A時，F（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點：利用導數研究函數的單調性7、B【解析】有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合體，其體積．8、B【解析】

根據f（x）是R上的奇函數，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據條件先推導出周期，利用函數的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.9、B【解析】試題分析：此題沒有被解答的概率為，故能夠將此題解答出的概率為．故選D．考點：相互獨立事件的概率乘法公式．點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、對立事件的概率公式；注意正難則反的原則，屬于中檔題．10、A【解析】

根據題意，分兩步進行：先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，然后分析剩余的4個班級的監(jiān)考方案，計算可得其情況數目，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有種，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計數原理可得，共種不同的方案；故選：A.【點睛】本題解題關鍵是掌握分步計數原理和組合數計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.11、D【解析】

將直線的參數方程化為普通方程，求出斜率，進而得到傾斜角。【詳解】設直線的傾斜角為，將直線的參數方程（為參數）消去參數可得，即，所以直線的斜率所以直線的傾斜角，故選D.【點睛】本題考查參數方程和普通方程的互化以及直線的傾斜角，屬于簡單題。12、B【解析】

根據已知，將選項代入驗證即可.【詳解】由，知且，經檢驗符合題意，所以.故選：B【點睛】本題考查集合間的關系，要注意特殊方法的應用，減少計算量，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.14、【解析】

求得函數的導數，計算得，即可得到切線的斜率．【詳解】由題意，函數，則，所以，即切線的斜率為，故答案為．【點睛】本題主要考查了利用導數求解曲線在某點處的切線的斜率，其中解答中熟記導數的幾何意義的應用，以及準確求解函數的導數是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．15、【解析】

根據有意義，需滿足，解出x的范圍即可．【詳解】要使有意義，則：；

；

的定義域為．

故答案為：．【點睛】本題主要考查函數定義域的求法，以及對數函數的定義域，一元二次不等式的解法，屬于容易題．16、1【解析】

分別根據兩曲線設出切線方程，消去其中一個變量，轉換為函數零點問題【詳解】設切線與曲線的切點為，則切線的方程為又直線是拋物線的切線，故切線的方程為且，消去得，即，設，則令，則，在上遞增，此時，上無零點；在上遞減，可得，時，有解，即時符合題意，故【點睛】本題考察利用導數研究函數的單調性，利用導數求切線方程及零點存在性定理的應用。需注意直線是兩條曲線的共切線，但非公共點。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（Ⅱ）為奇函數，證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用代入原式即得答案；（Ⅱ）找出與的關系即可判斷奇偶性；（Ⅲ）函數在上沒有零點等價于方程在上無實數解，再設，求出最值即得答案.【詳解】（Ⅰ）因為，即：，所以.（Ⅱ）函數為奇函數.令，解得，∴函數的定義域關于原點對稱，又所以，為奇函數.（Ⅲ）由題意可知，，函數在上沒有零點等價于方程在上無實數解，設，則，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴在上取得極小值，也是最小值，∴，∴的取值范圍為.【點睛】本題主要考查函數的奇偶性，利用導函數計算函數最值，意在考查學生的轉化能力，分析能力，計算能力，難度中等.18、(1)5,30,80,20,55,45；(2)有.【解析】分析：（1）根據列聯(lián)表得關系確定數值，（2）根據公式求K2，再與參考數據比較得可靠性.詳解：(1)填表如下：滿意不滿意合計男生50555女生301545合計80201005,30,80,20,55,45(2)根據列聯(lián)表數據可得K2的觀測值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為學生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關．點睛：本題考查卡方公式，考查基本求解能力.19、（1）語文成績優(yōu)秀的同學有人，數學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）分布列見解析，；（3）沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數學成績也優(yōu)秀.【解析】

（1）語文成績服從正態(tài)分布，根據正態(tài)分布的原則可得語文成績優(yōu)秀的概型及人數，根據數學成績的頻率分布直方圖可以計算數學成績優(yōu)秀的概率及人數；（2）語文和數學兩科都優(yōu)秀的有4人，則可算出單科優(yōu)秀的學生人數，從中隨機抽取3人，則3人中兩科都優(yōu)秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出概率，即可寫出分布列及數學期望；（3）先完成列聯(lián)表，利用公式求出卡方的值比較參考數據即可得出結論；【詳解】解：（1）因為語文成績服從正態(tài)分布所以語文成績優(yōu)秀的概率數學成績優(yōu)秀的概率所以語文成績優(yōu)秀的同學有人，數學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）語文數學兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有10人，的所有可能取值為0、1、2、3，，，，所以的分布列為：（3）列聯(lián)表：語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數學優(yōu)秀數學不優(yōu)秀合計所以沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數學成績也優(yōu)秀.【點睛】本題考查正態(tài)分布的概率計算，頻率分布直方圖的應用，離散型隨機變量的分布列及期望的計算，獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.20、(1).(2)證明見解析.【解析】

分析：（1）由絕對值三角不等式可得最小值；（2）由（1）已知可變?yōu)椋?，展開后可用基本不等式求得最小值，從而證明結論．詳解：（1）函數故的最小值.（2）由（1）得，故，故，當且僅當，即時“”成