2011年基礎(chǔ)班講義(高數(shù))

2011實(shí)實(shí)在2011實(shí)實(shí)在在 精彩啟航 PAGEPAGE29、極限與連續(xù)（ 一）本章重點(diǎn)內(nèi)容11

lim11xe

limsinx1 n xxn

x

x0；“單調(diào)界積分某些導(dǎo)義；級收斂為零。時(shí)一題目幾所以還具體問題具體分析靈活.由于過義所以判斷否、判斷函間斷類型問題質(zhì)上仍因此這部分也。以記號以及48表現(xiàn)形.過歷年題歸類分析見典型題型：直接計(jì)值或給值表示討論、判斷間斷類型；比較；討論給區(qū)間零或程給區(qū)間實(shí)根；分段復(fù)合。(二)題型分析則②等價(jià)無窮小替換③8個(gè)重應(yīng)用④左右⑤型中型解題技巧⑥兩邊夾準(zhǔn)則應(yīng)用⑦遞歸⑧利用連續(xù)性⑨利用導(dǎo)⑩利用積分⑾利用級（4個(gè)）⑿利用函列1 1 cosx2例1.

6比較當(dāng)6

x

時(shí)，x， x

1lnx， 階lnx例2. ①當(dāng)n時(shí)nn，n，en，n!，nn，n2趨于速率為依次遞增.②當(dāng)n時(shí) 1

1 1 1 1 ， ， ， ， ，

趨于零速率為lnn

n en n! nn n2依次遞增.

x0

xxx

1x1x(1x)

exesinx習(xí)

exearctanx

；

x x0x

x0x

1x.關(guān)于洛必達(dá)法則x2x2cost2dt

x0

0sin10x

22

20

et2dtx

0e2t2dt3x3.a,b,c

limx0b

sinx c 1t dtt.

limx

x21 x 1x0

21x x xx .①用于分段函數(shù)分界點(diǎn)處的處理1 1②用于函數(shù)不相等情況的處理如limexx0

，limx0 x③特別帶絕對值符號的情況的處理。 ex1

fx

2x01x1x

x0x0x0

求x0

fx2011實(shí)實(shí)在2011實(shí)實(shí)在在 精彩啟航

limex

1arctan1e1x0 1 xe1x 13e

axx. m x xx01e2 x .y

zNlim

lim

An n n n nlimxn

A.①分母擴(kuò)大或小②利不等式性質(zhì)③利積分不等式的性質(zhì)等

1 1 1 nn1

n2

n1n2.[xx的最大整數(shù)部分limx8x0

x2011實(shí)實(shí)在2011實(shí)實(shí)在在 精彩啟航 13aa a 0m(a1

an

an)n12 m

n 1 2 m4

x

zy0x n n

n n

n nA0B0CDa f

)2 , faaan1 n

1 2 3a

An na n1

f(a)n

fA,Aa n1

f(a的f的性關(guān)！n1x1

x n1

6xn

(n1,2 )試x并xn n n2

an

(n2 )a1

3an

n nnx.n n x x1(nn1)n2n nmnnk1

nn24k2一些綜合性11(xb)x(ab,b,x1x00 b1ea

b1b1x222x22x

x3(

2 x21n (

n1)nnex

11

x3

1x 1xx0

x2xln(1x)9.x1

f()1)(x4), 。

f(x)=

xa

R

f(x0a,bAa<0,b<0Ba>0,b>0Ca0,b>0Da0,b<03.f(x

lim

x

x0f(x的t1etxAB一類間斷點(diǎn)C二類間斷點(diǎn)D和t有關(guān)4.下列正確結(jié)論：uf()在x處vg()在x間斷.f()g()在x一0 0 0定間斷.u

f()v

f(xx間斷.u0

f(g(x))x必間斷.0uf()在x處vg()在x間斷.f()g()在x0 0 0一定間斷.D以上均不正確.一元微分學(xué)().“鏈法”.

f(x意.曲線尤其是給出曲線切線法線.(二)題型析一．求各類一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分.3(3x3(3x(2x)

y(x

,y'

yxnx

xx

y'分段函求導(dǎo)法x(1cosx)x

x>0

f(x)

x2g(x)

x0g(x)

f(xx0處A在 BC導(dǎo) D2..axa,b,f(x)x

bx

11.

f'(x)= 0

f'(x

.0 f'f'

.變限積分求導(dǎo)法⑴僅積含x

F(x)n1x

ft)tft)F'(x)

f(x)x30

f(t)dt=xf

(0x2

t2dt)'4.yet2dtxcost2dtx2,y'0 0⑵.x但提不到積分號之外.

f(x)1enxx1enxx0 0

1(x)2.x ）0..

x(tan20 0

sintdt)dytx0 x3二 .可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積的可導(dǎo)性的討論 .gxa(x)x=a則g(x)(x)a若g(a)0g(a)=.且(g(x(x

x

g'(a)(a).

f(x)(x2

x3

有幾個(gè)不.

f(x)(ex

x3x2

不點(diǎn)個(gè)數(shù)為A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)三.關(guān)于切線法線問題sint x 1.

f(x)lim( )sintsinxx 的切線方程.tx

sinx 22.

xx

過(0,0)的切線方程<>等；⑵點(diǎn)處斜率是等的.3.y

f(x

nxet2t在(0,0)處同求0

f(x)在該點(diǎn)的切方程并求nn

8f( ).n例4.已知

f(x

是周期為5的連續(xù)函數(shù)在x=0的某鄰域內(nèi)滿足fx3fx8x(x其中(xx0xf(x)在x1求

f(x在

f處方程.5.y

2t31

求對應(yīng)t1的點(diǎn)處的法方程？四 .一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用1.

f(xx=a處二階可導(dǎo)則h0

f(ah)

f(a)/hh

f'(a)=A 1 f(a)2

B f(a)C 2f(a) D -f(a)

f(x

(,)|f(x)

x2x0必為f(x的可導(dǎo)點(diǎn)

f'(0)03.

f(x)

x(x

(x

f'(0)？4

f(x滿足x2

ln(xf(3x

8

f

0

f'(1)5 f

0,limx0

f(x2)x2

存

f(xx0處可導(dǎo)的A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要f(x

x)f(

x)6 x0

0 02x

存

f'(x

)存在0一元積分學(xué)()...——萊布尼茲公式中值.利面旋轉(zhuǎn)體體引力功等物.(二)題型析一.比較和估計(jì)定積分的大小.1.(1)

f(x于b連續(xù)

f

則a

f(x)dx0

f

于b連續(xù),

f

0且恒等于0,則bf(dx0a(3)

f()在a,b則b

f()x

f(x)dxa a(4)

xa,b

f

g()則

f(dxbg(dx稱比較2.()

a af(x于b連續(xù)最大(小M(m),則)m) a

f(x)dxM(b-a)(2)

f()則m)<ba

f(x)dx<M(a,b)估計(jì)值范圍關(guān)鍵是最值.例1.判斷大小13dx 1e3dx2 22.

x404

232

sin2

xdx1x22N= 22

(sin3xcos4

x)dxP= 22

(x2sin3x

x)dx試比較M,N,P的大小I nx I I I例4.設(shè) 2 ， 21 0 2 的大小關(guān)系？

，試比較 ， 和11 2二 .求分段函數(shù)的原函數(shù)和不定積分 .1.

x2)dx

,x2..().三.計(jì)算各類不定積分 .，重當(dāng)然需大量累“經(jīng)驗(yàn)”(

f(x)g(x)dx方：1)

f(x)和g(x)

沒時(shí).用udvuv

.f()g()后者

xsin2

e2xx

2f(x)g(x“湊微分法”

1sin1x2 x2.

1

lnx)dx2(xlnx)2(二)被積函數(shù)含反三角函數(shù)：)u 數(shù)反三角函數(shù)

x)2dx

exdxe2x()

f(x1f(f(x)

dx

df(x)f(f(x)1.

xex ex1axb，⑴axb，

cx

直接令該根u⑵同max

nx

u

r為nraxraxbc

22

2

22之一用三角替換再用輔助直角三角形回.x21(2x21(2x2

arctanxx2(1x2)四 . 利用 一些技巧計(jì)算定積分利用定積分的幾何意義主要利用圓心在原點(diǎn)半徑R的圓的面積計(jì)算RR

R2x2dx

R2(上半圓)1210

R22x0R

R2R2R2x21

1(4圓)計(jì)算對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分

1|x|)x12.

x1x4 1x4

(esxesx)x0

2sinx0

3sxx

2sinxsxdx0=ba

f(x)dx一形式

bg()a

對=bf()g()x比b

f(x)dx較易a于aa

a(f()0

af(x令f()

f(x

f(x)較易出0 sin d01. 2sincos2

sin24

xdx1ex4

1 dxx11e1x4. 22

arctanexdx不出，就不，等著消掉.1. 1. 02.Iex))dx16五求解含積分的函數(shù)方程

f(xg(x連續(xù)，g()x620

f()3211g(x ；0f(x)dxf,g

f(x)

1 31f(x

f(x)dx1x2 0 0

f(x)

x2x

f()x2

f(x)dx

f(x)0 0六 .需要分區(qū)間積分的類型

x2f(x)

0

f(x

ex x0 1

3x222

3xn32

x2,x

)dx|七.計(jì)算廣義積分 一個(gè)誤區(qū)

lim

這是極端錯(cuò)誤的 RR不能推廣到

或無界當(dāng)已知收斂時(shí)可以做自然推廣.如

x dx=？1x2

f(x)dxf(x)0

dxe xln2x

(x(x1)4 x22x3.a

1xp 1；p1xpⅱ于 dx )p 1p1a p利以上結(jié)判斷下列廣義積分哪個(gè)？lnx

1 e x

xlnxx x dx D x xe x)2 e

1 x11x31

1

dxx x16(2x2b

a

1a,b1 x(2x

a)八 .關(guān)于積分等式和不等式的證明 ——萊布尼茲公式. 證n2kxx00 sinx2.

f(x)在b)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)又

f(a)

f(a0證bf(x)

1

f(x)(x

b)2a 2 a

f(x)在f)00

f(x1試證(1

f(x)dx

f3(x)dx0 0九 一元定積分的 應(yīng)用x 11.

(x)1

,a1x2eax

(x) 2 2

x1形面積2.y

x(xxA3x3)(xx0B 3x(3)(x2dx0C 2x3)(xx

3x3(xx0 2D 2x3)(xx3x3(xx0 23.

p(0,

1y2

x2x一個(gè)平圖形求平x旋轉(zhuǎn)一周所旋轉(zhuǎn)體體積.ynxynxx面圖形D,求DSDD繞直x=e旋轉(zhuǎn)一周所得體積一元函理論部分(一)本章重點(diǎn)內(nèi)容.、羅爾中值、拉格朗日中值、柯西中值及連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在、介值等；.應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)(包括函數(shù)的單調(diào)性與極導(dǎo)數(shù)在幾何、物.(二)題型分析一.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)變化的命題.0的證明.1.

f(x)在0,0,

f0)

，f(x)0，f(x)

f'(x

0

f(x)0.關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性.1.

f(x)

1)xx

在0,2f(x)(a,b)x (a,b)f(2)(x )0 0

f(3)(x )0，0f(4(x0(x

(ab

f(x(ab.討論函數(shù)的極值.1.

y(x是由方程2y32y22xyx2

1

y(x)的駐點(diǎn)并判斷是否極值點(diǎn).2.f(x)()連續(xù)其函數(shù)如右圖則

f(x)有幾個(gè)極大值點(diǎn)拐點(diǎn)及漸近線的討論11.

(x1x2

0)的拐點(diǎn)2.

(x

1)2(x3)3的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)3.

(x2)ex

4.

x2

11x x二 .一元函數(shù)的最值問題1.一個(gè)圓柱形v(m3單位面積0價(jià)為周圍2倍，問池底rh各為多少時(shí)，才能使水池價(jià)最低？.f(x)x2(2t)ett0一般結(jié)論：(1

f(x

連續(xù)，又x (a,)，若0

f(x)在a,

上單調(diào)上升，在x0

,上單調(diào)下降，則0

f(x

)一定為0

f(x)在x

f(xl,l

f(a)時(shí)，

f(a)一定1為最小值；當(dāng)l1

f(af(x在

上無最小值(未包含在內(nèi))(2)

f(x)a,x x,

f(x)0mx

f(x)ll

f(a)f(a)l

f(a三.中值定理的命題

f(x)b(a,b

f(a)

f(b)，(ab一點(diǎn)

f'()02.

f(x)b(a,b)f'(x)0，f'() ebea(ab

f'

eba3

f(x)g(x

bg(x)0，f(a)

f(b)

g(ag(b0(1)(abg(x0(ab一點(diǎn)

f()g()

f()g()4

和dy的四函數(shù) 不等式的討論1x01x)

arctanx1x21212.x) 23.不等式1x

2x(0

1)成立4 x0

f(x)x

1

f(x)0

f(x)x(xR).設(shè)a

ba五討論函數(shù)的零點(diǎn)及導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。二利羅爾討論導(dǎo)的，主要是找原。三若可導(dǎo)

f(x(ab

f'()01.

f(x三階可導(dǎo)且

f

f

0F(x

x2f(x)在內(nèi)F(3(c02.設(shè)abc為實(shí)，求證程ex

2

c3個(gè)若證明

f(x)(ab，可轉(zhuǎn)化為求

f(x的原F(x，利用羅爾F(x求原時(shí)，常需要如下公式：(1)

f(x)g'(x)

f'(x)g(x)(f(x)g(x))'(2)

f'(x)g(x)

f(x)g'(x

f(x)( )'(g(x))2 g(x)(3)

f(x)g(x)

f(x)g(x)(f(x)g'(x)

f'(x)g(x))'(4)

f(x)g(x)2f'(x)g'(x)

f(x)g(x)(f(x)g'(x)

f'(x)g(x))'(5)

xf(x)

f(t)dt

(x

f(t)dt)'0 0'f'(x)g'(x) f(x)g(x)'(6) a b

a b ' '(7)

xft)

(x(x

t)

f(t)dt)0 01(8)

f(x)l(f(x) lx2kx

)''2 1 23.f(x)

f

21xf(x202

f()

f'()01 1.(,)|

4|x2sx0A根 B一個(gè)C2個(gè)根 D5.

xe 0

12x

(0只兩個(gè)不同的6 f(x)

x3

k只一個(gè)零點(diǎn)k的范圍補(bǔ) 充：1

f(x)x 0

f'(x) 0

f'(x

)

f(x)x 02f(x

b(ab(abf'(x)

f'(x)

(0f(xb上嚴(yán)格單調(diào)上升).x

3x

c

01同的實(shí)根

為常數(shù))20x2

0x2.

f(x) 82x2

2x

0,

滿足拉格朗日中條件并求出中公式中的中.五泰勒公式一.五種基本函數(shù)的麥克勞林公式1 1(1)

ex1x

x2 2!

xnRn! n

(x)(2)

sinxx

xnsinnR

1(x)1(3)

3!cosx11x2 1

n! 2 2nxnx4 cosxn

(x)2! 4!

n! 2

2n11 1 1(4)

x x22 3

xnRn

(x)(5(1

1x

(1)2!

x2

(nn!

xnRn

(x)二.間接法求泰勒公式1.x0下列函數(shù)括號內(nèi)的指定階數(shù)(1)

f(x)

=ex

s

(x3)

(2)

f(x)=ln(1+x+x2)

(x3)2.求f(xx0n階泰勒公式1-x(1)

f(x)=

1+x

(2)

f(x)=

nx3.

f(x)cos2

x的麥克勞林公式三用泰勒公式求極限或確定無窮小的階.

x0

cos

xx4

x221(2)

n

nn21n)(3)

x0

x2121x1x2(cosxe

)sinx22.f(x)x=0x0

x11ef(x)1

f'f'12x313x3.x012x313x(1)

xe0

1t)2dt.a,b

f(x)

(abex2)sin

x0是x5量四用泰勒公式證明 不等式 .f(x)1.x0 x

1

f(x)0

f(x)x.2.f(x)

f(0)

f'(0)

f'

f(1)1)f)4五.綜合題f(x

且f

f

f'

使f()3.2.

f(x

f(x)0(1)

(x)

為的函數(shù)使f(x)

f(0)x

f'((x)x)成立(2)

lim(x)1.x0 2六 .高等數(shù)學(xué) (微積分 )(上)復(fù)習(xí)及提高

f()=32x2x

fn(0n為A0 B1C2 D3

f(xg(x0

f'(x)g(x)

f()g'()<，則當(dāng)axb時(shí)有f(x)g(b)

f(b)g(x)

f(x)g(a)

f(a)g(x)f(x)g(x)

f(b)g(b)

f(x)g(x)

f(a)g(a)f(x)x0f(x)f(x)

f(x)x

0y

f(x軸y

f(x軸f(x)

f'

0

f(x) 1x1(x

1)2 2ff(xff(xC fD f),f).f(x

(

f'(x )0

f(x ),而0f(x )00

f(x)x x 0 0

f(x.f(x)l,l,l1 2 3(1)

yf(x

(2)

yf'(x

(3)

yf(x

7.F(xf(x)(ab一個(gè)原函則

f(xF(x(ab上A導(dǎo) BC存原函數(shù) D初等函數(shù)<

f(x(ab原函F(x(ab上f(x不一定f(x不一定初等函數(shù)F(x不一定初等函數(shù)

F(x一定1x08. f(x= 上1x0 x x0

x x0原函F(xx

1xF(xxx0F(x)|x|

不存原函數(shù)f(x)

f(0)

f'(0)0F(x)x(x2t2)ft)t，0當(dāng)x0F'(x)和xk求k？

1t4t

et2

0

幾個(gè)根？0 cosx

2泰勒公式補(bǔ) 充：1.

f(x)

x2

在x=1處的n階泰勒公式

lim(x

x2

1x

x251515x(1x)

1 1 2x)x0

x2 x3

2x六 多元微分學(xué) （ 一）本章重點(diǎn)內(nèi)容 多元函數(shù)（主要是二元、三元）的偏導(dǎo)數(shù)和全微分概念；偏導(dǎo)和全微分的計(jì)算，尤其求復(fù)和函數(shù)的階偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)和梯度；多元函數(shù)常見題型有：求二元、三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分；求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)；求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度；多元函數(shù)的微分學(xué)與向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題求多元函數(shù)的極值及條件極值（二） 題型分析，全微分概念的命題

(x,y)(0,0)

f(x,y)x2y2 0 (,)(0,0)f(x(0,0處ABCDE

f(xp(x

f'f'0 0 x yA xx,yy

f(x,

在

xx

f(x,y0

yy

f(x0

,0 0 0 0C 續(xù) D 3.

f0

f0x

y 下列哪個(gè)條件保證f(x,y)f(x,

)成立1 1 2 2A xx,yy B xx,yy1 2 1 2 1 2 1 2C xx,yy D xx,yy1 2 1 2 1 2 1 24.z

2ff(xyy2

2xf(x)

f(x,0)sinxy f(x 5.

(xay)dx

ydy

a(xy)21u

f(x

2uyxyxyxyx 2z

zf(xy,

yxf具有二階連續(xù)偏導(dǎo)xyy 2u

uf( , )uz yz

1z f(xy)y(xy)x1

2zxy5.z

x2

f(t,et

fdz,

2z<>①f1

0fu的函xy的函數(shù)2

xy②只看形式不看本質(zhì)③元函(形式上)

f(xy的

f(xy不帶下角標(biāo)④f'f'f

1 2 12情況下

f'f

等記號x 的偏導(dǎo)，全微分的求法2哪個(gè)是自變量.自變量之間無關(guān)系zxy的函；變量地位平等解出dzzzx y1.由e

2zez

0z

z(xy2.F(xyyzx

z

z(xy

z,zy一點(diǎn)可微的證明，一點(diǎn)的全微分f(x,y)(xy0 0f①證明

,

(x,

連續(xù)即但偏導(dǎo)不連續(xù)亦能x y 0 0②按義只須說明z即(f(xx,y y)f(x,

))(

fyx y)fy0 0 0 0 0 0 0 0 0

x(x,y

) (x,y)為

x2x2y2 x2y

x2y201.

f(x,y)x

y0

x2y201

f,f2

x yf(x,y)于(0,0)

(0,0)

(x2f(x,y)

y2)0

1x2y2

x2y20x2y20f(xy(0,0(0,0.(一)極值問題主要是針對隱含數(shù)1z

z(x,y)由

x26xy10y22z2180確定求zz(x,y)的極值點(diǎn)和極值2zeyx

yey所有的極值點(diǎn)(二)最值問題通常是條件極值問題用拉格朗日乘數(shù)法求解<由實(shí)際問題提煉出條件極值問題必要時(shí)為簡化運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求解其等價(jià)問題.一般用拉格朗日乘數(shù)法求解構(gòu)造拉氏函數(shù)找到駐點(diǎn)代入求函數(shù)值比較大小即.對比一元函數(shù)的單峰函數(shù)二元函數(shù)若區(qū)域內(nèi)有惟一駐點(diǎn)，一定為最值點(diǎn)有能.1.x24y24求一點(diǎn)使其到2x3y6=0.2zxy

(0,0,0)4. 一單位正電荷另一單位負(fù)電荷在zx

y

上移動問兩電荷引力何時(shí)大（?。﹛yz14 已知z

f(xy

f11)2f(x,y)在D(x,y)x

y24

1值七 二重積分 （一） 本章重點(diǎn)內(nèi)容 二重積分的概念及基本性質(zhì)；掌握二重積分的直角坐標(biāo)及極坐標(biāo)的求解方法；掌握二重積分的一些解題技巧，特別是分塊積分和利用對稱性簡化積分運(yùn)算；了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分。（二）題 型分 析一.積分值的比較①當(dāng)積分區(qū)域相同，被積函數(shù)連續(xù)，可通過比較被積函數(shù)的大小來判斷；②被積函數(shù)相同，連續(xù)且大于0，可以通過積分區(qū)域來確定大小.

I ln3(x1D

y)dxI (x2D

y)3I sin3(x3D

y)dx1D：

x

,x

1I

,I的大小2 1 2 3

J e(x2y2)(i1,2,3)iDiDx,y)1D x,y)2

x2y2x2y

R2}2R2}Dx,y)|3

R,|

}比較J，J，J1 2 3

I 1

x2

y2d,I2

x2y2，D 2 22

D2 2I x y )

D:x

1I

,I?3 1 2 3D二.交換積分次序該二重積分的積分區(qū)域；②畫出積分區(qū)域草圖；.求2dx2ey2dy0 x20dyyf(x,yx1 2<注>二重積分的二次積分具有如下基本特點(diǎn)：①外層積分限均為常數(shù)；②內(nèi)層積分限至少有一個(gè)限為函數(shù)；③積分上限積分下限3.

1xx

f(x,y

3x1(3x

f(x,y)dy20 0 1 024.

2yy

f(x,y)dx1 y2.

dxx

ey2dy1 1三.二重積分的計(jì)算D,)|x||y}，(1|x||yD2.( x2D成的

中Dx2y2

4和(x+1)2

y2

1圍

|x2y21y)}DD

d2a

(a0)D(a,a)a一段弧和圍成區(qū)域

I|xy|xdyDx2y21D.求二次積分I1x2xe(xy)2y

2xxe)2y0 1x 1 07求1x5f(x)0

f(x)x2ey21四.二重積分的反問題

f(xy連續(xù)函數(shù)

f(x,y)

x x2y2a2

f(x,y)d

y2求f(x

D:x2y2

x

f(,

D 且f(x,y)

811x2y2

f(u

f(x,?D.f(,)

.f(,

f(x,

R0DR?五.證明題.1enxx1enxx10 02.記

x2y2

R2}，

e(x2y2)dxdyR(R)ex2dx3.

f(x,y)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為0，試證f(0,0)

1

xf'yf'x y

D2

x2y2102D

x2y2八 常微分方程 （一）本章重點(diǎn)內(nèi)容 掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法；掌握齊次微分方程，伯努利微分方程，全微分方程，高階微分方程中可降低微分方程的類型及解法；會用簡單的變量代換解某些微分方程；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；掌握自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解；根據(jù)實(shí)際問題或給定條件建立微分方程并求解。（ 二）題型分析y'

yf( x

齊次形式的方程1.y

x)

x)1)

的通解2.xy'

y

y的通解x

xf2t)1

x2f(x)

f

f(x)4.y'

n|

|,y

0的特解()4y2二.一階線性方程求解(一定要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式)掌握公式法和積分因子性1.y'

esinx

的通解2.xy'2yx3.

f(x

f(x)3xf tte2x

f(x)( )0 3線性方程的求解1.y

2y'2

ex2.y

2y'

5xexy1y(02的特解3.

yx4.

4ycos2x一些反問題dy1.

y21

dx y42.

(4xy)(y'

0xy3.y

y(x)且

0x()y

y(x反函數(shù) d2 將(y

0y(xdy2 dy3y'

24.2 個(gè).yex3xy excos3x1 25 非3 個(gè)為yxexx,y xexex,

xexe2xex1 2 3五綜合題1.y

y(x)y'y=0其中bc0

y(x)2. F(x)

f(x)g(x

f 、 g 在 R 上 滿 足f'(x)

g(x),g'(x)

f(x

f

f(x)g(x)2ex

F(x).f(x

在

f'(x)

f(x)

1 1x 0

f(t)dt

f(0)1求

f'(x)x0ex

f(x)14.S比已知半徑為r0738需幾個(gè)小時(shí)？九 無窮級數(shù) （ 一）本章重點(diǎn)內(nèi)容本章包括常數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)兩部分內(nèi)容，其中常數(shù)項(xiàng)級數(shù)又包括正項(xiàng)級數(shù)，交錯(cuò)級數(shù)和任意項(xiàng)級數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)主要討論了冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)，其重點(diǎn)內(nèi)容有：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判斷及求冪級數(shù)的收斂域；將函數(shù)展開為冪級數(shù)；求某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的合伙某些冪級數(shù)的和函數(shù)；將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，收斂定理。常見題型有：收斂、發(fā)散、條件收斂、絕對收斂的判定；冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域以及和函數(shù)的求法；將函數(shù)展開冪級數(shù)（包括寫出收斂域；求函數(shù)的傅里葉系數(shù)即傅里葉級數(shù)，寫出傅里葉級數(shù)的和；求某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和；綜合證明題。（二）題型分析一）常項(xiàng)級的概念和性質(zhì)察mu n n 0

三處理正，根據(jù)般的特點(diǎn)選擇合適的法法，不需要找比照特般含,an為指冪的因子時(shí)，更要首選它們.②采用比較法的極限形式，比較法特注意和幾何Sn

un n

1

u n1

u n1

u 法得到的nun1

ⅱ不可以認(rèn)交錯(cuò)須萊布尼茲法1

u 討論拆n n成2個(gè)個(gè)個(gè).不拆成由正構(gòu)成的和由負(fù)構(gòu)成的.五些較復(fù)雜的拆再斷！的判別

n1

an(1)2(a0)n

n1

ann!(a常)nn

n2

nlnnn)n

1nnnnnn斂散性的判別()n

aa0)11

cosn)(A散 B條件C斂 D與a

定1

(1)n1

1nn條件還

n2

sin(n

1 lnn

()n1

nn1(n1)!

n2

(1)nnn判別法

n2n1

cosn3

.a

b

a~

(n

b且n n n 1 1

收是否n1能推導(dǎo)出1

a收斂n31

ann3a四綜合題1u

v2

v)2n1

n1v|

u

n n1v2若 n n1

n n1 11

u u 1n n n1u

u

(n1,2 )

vn n n1

n1若 E u v若 n n

u,vn n12n1,2,3

b c

c

n n nb1

n 1c

n1b散 n n n1 1 1

cn n n1 1 1D3下列命題正確的是( )A若1

a，n1

b收斂n1

bn nB若1

a，n1n1

abn nC前者條件收斂，后者絕對收斂1

abn

條件收斂D若1n1絕對收斂n1

abn

絕對收斂4 1

u收斂，則必收斂的為nA

u(1)n n

Bu2n nn1 1CDn1

(uu )n n1

un u

u u)2n1 2n11 1n5設(shè)un

(n,2 )且mn

1n

n1

1(uu )n n1A散 BC斂 D不能判定6

()na

( 1 )nn

問n a 1()

n1

n1 n的收斂域，收斂區(qū)間及收斂半徑..不級！.

ln(1n)n求nn=1

x 12.

n

a(x2)nn

在x11

處

x 2

處？的和(2n)n1.求n=0

并2 n0

(n1)2(n

xn3

1xn1

S(x)求n2n

n=14

n21xnS(x)3nn!x4 5S(xS(x)(

24 246 2468x的冪級展開5.

f(0)；②可能擴(kuò)大對端點(diǎn)重新檢驗(yàn)！f(x)'

n12xx12xn=0

(1)n2n11f(x

x(x

x1f(x

114 1

12

xxx<>

f(x

f(n)(x0

一種

f()n0

an

由a一性可知：nf(n)(x)a 0n n!

f(n)(x0

)an

n!1f(x) x3收斂域及1x

f(10)(3)項(xiàng)級之和n11求n!2

n0(1)n

n2n12nn0求3 求

(1)n1n1

n(2n1)3n4

(1)n1a

5a，n 2n1 n1 1 1五.綜合題11

n1

(1)n

x2n2n

S(xS(x)2

f(x1上有定義x0某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)

mx0

f(x)x

01

1f( n

十 空間解析幾何 （一）本章重點(diǎn)內(nèi)容 本章的重點(diǎn)是向量的概念，向量的運(yùn)算：線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積與混合積，平面各種方程，以及直線與直線，平面與平面、直線與平面之間的關(guān)系等常見的題型有：求向量的數(shù)量積、向量