北師大版-必修五-第二章 解三角形-§1 正弦定理與余弦定理-“黃岡杯”一等獎

《正弦定理》隨堂練習一、選擇題1．有關正弦定理的敘述：①正弦定理只適用于銳角三角形；②正弦定理不適用于直角三角形；③在某一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝a∶b∶c其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3 D．4解析：因為正弦定理適用于任意三角形，故①②不正確；由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，三角形確定，則其外接圓半徑R為定值，故③正確；④顯然不正確．答案：A2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則B等于()A．45°或135° B．135°C．45° D．30°解析：根據(jù)正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×sin60°,4\r(3))＝eq\f(\r(2),2)．∵a>b，∴A>B．∴B＝45°．答案：C3．下列條件判斷三角形解的情況，正確的是()A．a(chǎn)＝8，b＝16，A＝30°有兩解B．b＝18，c＝20，B＝60°有一解C．a(chǎn)＝15，b＝2，A＝90°無解D．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°有一解解析：對于A，∵a＝bsinA＝8，有一解，∴A選項不正確；對于B，∵b＝18＞csinB＝10eq\r(3)，有兩解，∴B選項也不正確；對于C，∵A＝90°且a＝15＞b＝2，∴角B一定為銳角，有一解．∴C選項不正確；對于D，由A＝150°且a＝30＞b＝25，∴B角只能為銳角，一解，∴D選項正確．答案：D4．(2011·浙江高考)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若acosA

＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－1 D．1解析：根據(jù)正弦定理，知a＝2RsinA，b＝2RsinB，由acosA＝bsinB，得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1．答案：D二、填空題5．(2012·濟南高二檢測)已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinC＝________．解析：∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，∴B＝60°．由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1×sin60°,\r(3))＝eq\f(1,2)，又a<b，∴A＝30°．∴C＝180°－(30°＋60°)＝90°．即sinC＝1．答案：16．(2011·北京高考改編)在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，cosA＝eq\f(\r(5),5)，則sinA＝________；a＝________．解析：在△ABC中，∵cosA＝eq\f(\r(5),5)>0，∴A為銳角．由sinA＝eq\r(1－cos2A)，得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，再由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，代入數(shù)據(jù)解得a＝2eq\r(10)．答案：eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)三、解答題7．在△ABC中，a、b為△ABC的兩邊，A、B分別為邊a、b的對角，且bcosA＝acosB，試判斷該三角形的形狀．解：根據(jù)正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，又已知bcosA＝acosB．∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB．即sinAcosB－cosAsinB＝0．∴sin(A－B)＝0．∵0<A<π、0<B<π，∴－π<A－B<π．∴A－B＝0．即A＝B．∴該三角形為等腰三角形．8．(2011·新課標高考改編)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，求△ABC的面積．解：由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，cosC＝eq\f(11,14)(0°<C<60°)又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBs