第九章力法原理及應用

第九章力法原理及其應用本章主要內(nèi)容超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)力法的基本概念超靜定剛架和排架超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)支座位移和溫度改變時的計算對稱結(jié)構(gòu)的計算

在實際工程中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)是超靜定的。超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)相比主要有以下兩個特點：第九章力法原理及其應用①在幾何組成方面，靜定結(jié)構(gòu)是沒有多余約束的幾何不變體系；而超靜定結(jié)構(gòu)是具有多余約束的幾何不變體系。所謂多余約束并不是說這些約束是多余無用的，而是對幾何不變性的要求來說，它們是多余的。②在靜力特征方面，靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力完全可以由靜力平衡條件確定，而超靜定結(jié)構(gòu)由于未知力數(shù)多于乎衡方程數(shù)，因此，僅靠平衡條件不能確定其全部反力和內(nèi)力?？傊?，具有多余約束是超靜定結(jié)構(gòu)的基本特征?！?-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)一.超靜定結(jié)構(gòu)的組成超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)的對比：靜定結(jié)構(gòu)支座反力和各截面的內(nèi)力都可以用靜力平衡條件唯一地確定。超靜定結(jié)構(gòu)支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一地確定靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)ABABBC可見：靜定結(jié)構(gòu)是沒有多余約束的幾何不變體系，而超靜定結(jié)構(gòu)則是有多余約束的幾何不變體系。內(nèi)力是超靜定的，約束有多余的，這是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的基本特點?！?/p>

梁

二.超靜定結(jié)構(gòu)的形式(b)連續(xù)梁(a)單跨梁ABBCAB基本結(jié)構(gòu)拆除多余約束添加約束反力，使超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，成為后面介紹的基本體系?！?-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)ABBC基本體系◆剛架

(C)單跨多層(d)多跨多層(a)單跨單層(b)多跨單層§9-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)◆組合結(jié)構(gòu)◆桁架(a)外部超靜定(b)內(nèi)部超靜定§9-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)◆拱去掉一根支桿或切斷一根連桿，相當于去掉一個聯(lián)系三.超靜定次數(shù)的確定§9-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)

超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束數(shù)目稱為超靜定次數(shù)。一個結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)的高低代表了它的計算工作的繁簡程度。確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，有兩種方法：⑴計算平面體系幾何自由度的方法；⑵在超靜定結(jié)構(gòu)上去除多余約束，使它成為幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)的方法。在原結(jié)構(gòu)若干部位上去除多余約束總數(shù)即為其超靜定次數(shù)。常采用后種方法來確定超靜定次數(shù)，其去除多余約束的形式有：撤去一個不動鉸支座或撤除一個單鉸，相當于去掉兩個聯(lián)系§9-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)去掉一個固定端或切斷一根梁或桿，相當于去掉三個聯(lián)系§9-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)將一個剛接處該為單鉸連接，相當于去掉一個聯(lián)系基本體系是否唯一？思考題§9-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)對于每一個封閉框格，應為3次超靜定對于較復雜的結(jié)構(gòu)，應明確起超靜定的次數(shù)§9-2力法的基本概念

力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力最基本的方法，它是把超靜定問題與靜定問題聯(lián)系起來，從而解決超靜定問題。首先說明力法中的三個基本概念。一.基本思路(1)力法的基本末知量

如圖所示，圖a是一個超靜定結(jié)構(gòu)，當拆除多余約束（B支座），代之以約束反力后，結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，只要求出，就可按照靜定結(jié)構(gòu)的平衡方程求結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。因此，超靜定結(jié)構(gòu)的問題就是怎樣計算多余未知力。力法的第一個特點是：把多余末知力的計算問題當作超靜定問題的關(guān)鍵問題，把多余未知力當作處于關(guān)鍵地位的未知力——稱為力法的基本未知力，如圖b中的都可以是基本末知量。力法這個名稱就是由此而來的。

把多余約束(支座B)去掉后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法的基本體系，而原來的超靜定結(jié)構(gòu)稱為原結(jié)構(gòu)，同原結(jié)構(gòu)相比，把支座反力由原結(jié)構(gòu)的被動力改為基本體系的主動力。可見，基本體系的受力狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)完全相同?？梢钥闯觯倔w系本身既是靜定結(jié)構(gòu)又可用它代表原來的超靜定結(jié)構(gòu)。(2)力法的基本體系原結(jié)構(gòu)基本未知量基本體系(3)力法的基本方程只要求出基本未知量，即可求解原結(jié)構(gòu)，怎樣求？通過分析可知，原結(jié)構(gòu)中，在支座B處，支座反力為固定值，沿其方向（豎向位移）等于零；而在基本體系中，是主動力，為變量；要使基本體系與原結(jié)構(gòu)等效，則的作用力使B的豎向位移也等于零?！?-2力法的基本概念等效條件：要使基本體系

原超靜定結(jié)構(gòu)等效

此等效轉(zhuǎn)化條件實際上是一個變形條件，是計算多余末知力時所需要的補充方程，稱為力法的基本方程。根據(jù)疊加原理，可計算如下圖：基本體系在荷載作用下沿方向的位移?；倔w系在作用下沿方向的位移。位移的方向如果與力的正方向相同，則規(guī)定為正。表示基本體系在作用下，沿方向所產(chǎn)生的位移。這就是在線性變形條件下一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程典型方程

是由引起的位移，根據(jù)疊加原理，應與成正比，其中的比例系數(shù)如用表示，則可寫成：§9-2力法的基本概念力法方程中的系數(shù)和自由項都是基本體系即靜定結(jié)構(gòu)的位移，可按上章所將的方法（單位荷載法）計算，下面來求它們的值。§9-2力法的基本概念312為求出和，根據(jù)單位荷載法，作出基本體系在荷載和單位荷載作用下的彎矩圖，如、、，其中，和是一樣的，：223131323

原超靜定問題（原結(jié)構(gòu)）則變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)（基本體系）的分析問題，利用靜力平衡條件即可求解，得到其彎矩圖如右。當然，也可通過線性疊加原理（疊加法），由計算結(jié)構(gòu)的彎矩圖?！?-2力法的基本概念綜上，可得力法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟：①確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量；②列力法的典型方程；③求力法方程的系數(shù)和自由項；④解力法方程，求基本未知量；⑤求基本結(jié)構(gòu)在荷載和基本未知量作用下的彎矩圖或利用疊加法畫最后彎矩圖。原結(jié)構(gòu)123基本體系§9-2力法的基本概念當然，基本結(jié)構(gòu)的選擇并不是唯一的，可以有多種選擇，只要選出的基本體系是幾何不變且無多余約束即可，例如：上述結(jié)構(gòu)按解題步驟還可用下面的方法來求解。解：確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量求力法方程的系數(shù)和自由項列力法的典型方程4代入力法方程，得：5§9-2力法的基本概念解力法方程，求基本未知量利用疊加法畫最后彎矩圖。二.兩次超靜定結(jié)構(gòu)如圖所示的具有兩次超靜定的剛架結(jié)構(gòu)，其基本體系見圖，要使兩者的受力情況等效，有：1212§9-2力法的基本概念這里是基本體系沿方向的位移，即B點的豎向位移；是基本體系沿方向的位移，即B點的水平位移。2根據(jù)疊加原理，應與成正比，其中的比例系數(shù)如用表示，則有：代入上式，得：這就是在線性變形條件下兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程典型方程§9-2力法的基本概念下面用單位荷載法求上述力法方程的系數(shù)和自由項?！?-2力法的基本概念代入力法的典型方程，得：§9-2力法的基本概念解力法方程，得：利用（疊加法）畫最后彎矩圖。2解：1基本體系3§9-2力法的基本概念從上面的求解過程可以看出，力法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟都相同：原結(jié)構(gòu)確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項5解力法方程，求基本未知量§9-2力法的基本概念4解力法方程，得：利用（疊加法）畫最后彎矩圖。三.n次超靜定結(jié)構(gòu)(1)對于n次超靜定，力法的基本未知力有X1、X2、…Xn等n個，并選擇其原結(jié)構(gòu)相應基本結(jié)構(gòu)；(2)建立力法典型方程。根據(jù)疊加原理，n個變形條件為：此式為n次起靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下力法方程的一般形式，常稱為力法典型方程?！?-2力法的基本概念柔度矩陣，為主系數(shù)，為副系數(shù)，

，(4)解方程

(5)根據(jù)疊加原理，繪制內(nèi)力圖

單位力產(chǎn)生的沿方向的位移，常稱為柔度系數(shù)。由荷載產(chǎn)生的沿方向的位移；(3)計算系數(shù)δij和自由項△iP§9-2力法的基本概念位移正負號規(guī)則為：當位移或的方向與相應力的正方向相同時，則位移規(guī)定為正。

或按單位荷載法確定。根據(jù)位移互等定理，有：

系數(shù)和自由項代表基本體系的位移。其兩個下標中的第一個下標表示位移的方向，第二個下標表示產(chǎn)生位移的原因。原因方向§9-2力法的基本概念解除多余約束代以約束反力基本未知量約束力“超”靜基本體系

=0位移條件線性代數(shù)方程原結(jié)構(gòu)思考題物理意義？§9-2力法的基本概念【例】解：如圖，求最后彎矩圖。12基本體系(1)基本體系(2)§9-2力法的基本概念確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項3基本體系(1)§9-2力法的基本概念基本體系(2)4解力法方程，求基本未知量對于基本體系(1)：利用疊加法畫最后彎矩圖。5§9-3超靜定剛架和排架

計算剛架位移時，常忽略軸力和剪力的影響，而只考慮彎矩的影響，使計算得到簡化。但是軸力的影響在高層剛架的柱中比較大，剪力的影響當桿件短而粗時比較大，遇到這些情況時要作特殊處理。一.超靜定剛架例9-l如圖所示為一超靜定剛架，粱和柱的截面慣性矩分別為Il和I2，I1：I2＝2：1。當橫梁承受均布荷載q＝20kN／m作用時，作剛架的內(nèi)力圖。解：1確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程2求力法方程的系數(shù)和自由項34解力法方程，求基本未知量利用疊加法畫最后彎矩圖。5利用隔離體法求Q和N圖。6§9-3超靜定剛架和排架

例9-2如圖所示為兩跨廠房排架的計算簡圖，求在所示吊車荷載作用下的內(nèi)力計算資料如下：

(1)截面慣性矩：

(2)右跨吊車荷載：§9-3超靜定剛架和排架

右圖所示為裝配式單層廠房的排架計算簡圖，其中的柱是階梯形變截面桿件，柱底為固定端，柱頂與橫梁(屋架)為鉸接。計算時常忽略橫梁的軸向變形。二.超靜定排架§9-3超靜定剛架和排架解：1確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程23求力法方程的系數(shù)和自由項§9-3超靜定剛架和排架解力法方程，求基本未知量4利用疊加法畫最后彎矩圖。5§9-3超靜定剛架和排架【例】如圖，，求解：12ABCDEB'D'A'確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項3一.超靜定桁架

桁架是鏈桿體系，計算桁架位移時，只考慮軸力的影響?！?-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)桿件名稱面積桿長EAEAEAEAEAEAEAEADD'DE,D'EBE,B'EBC,B'CBD,B'D'AD,A'D'AB,A'B'CE§9-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)45解力法方程，求基本未知量利用疊加法解?！?-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)例9—3求圖示超靜定桁架的內(nèi)力。各桿截面面積在表中給出。§9-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)解：12確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項3§9-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)45解力法方程，求基本未知量各桿的軸力可用疊加法（下式）解（其結(jié)果見上表）?！?-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)二.超靜定組合結(jié)構(gòu)§9-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)例9—4求如圖所示一次超靜定組合結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力，各桿的剛度給定如下：桿AD為梁式桿：桿AC和CD為鏈桿：桿BC為鏈桿：解：1確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量2列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項3§9-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)45解力法方程，求基本未知量各桿的內(nèi)力（軸力和彎矩）可按下式解：§9-4超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)

橫梁AD在中點D受支承作用時，橫梁最大彎矩為79.9kN.m，如果沒有支承作用,則為一簡支梁，其最大彎矩為48.3kN.m?？梢娪捎阼旒艿闹С?橫梁的最大彎矩減少了46%。一.支座移動時的計算圖示一等截面梁AB，已知左端支座轉(zhuǎn)動角度為θ，右端支座下沉位移為

a，試求梁中引起的自內(nèi)力。

在無荷載作用的情況下，支座移動、溫度改變、材料收縮、制造誤差等所有使結(jié)構(gòu)發(fā)生變形的因素，都能使超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力。無荷載作用情況下，上述因素引起的內(nèi)力稱為自內(nèi)力。用力法計算自內(nèi)力時，計算步驟與荷載作用的情形基本相同.超靜定結(jié)構(gòu)的重要特點之一是：【例9-5】AB§9-5支座位移和溫度改變時的計算345§9-5支座位移和溫度改變時的計算2列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項解力法方程，求基本未知量彎矩可按下式解：確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量1解：基本體系(1)3452列力法的典型方程求力法方程的系數(shù)和自由項解力法方程，求基本未知量彎矩可按下式解：確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量1基本體系(2)解：§9-5支座位移和溫度改變時的計算12§9-5支座位移和溫度改變時的計算下圖所示為一剛架，其支座為一彈性支承，用力法求解此結(jié)構(gòu)。確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程123§9-5支座位移和溫度改變時的計算

下圖所示為一連續(xù)梁，其中B支座為一彈性支承，用力法求解此結(jié)構(gòu)。確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量列力法的典型方程其中B支座的彎矩為：

圖示混凝土剛架，澆注時溫度為15oC，后外側(cè)溫度下降為-35oC,內(nèi)側(cè)不變。求溫度變化引起的自內(nèi)力。其中：解：12§9-5支座位移和溫度改變時的計算二.溫度改變時的計算40cm60cm8m6m確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量【例7.15】列力法的典型方程345§9-5支座位移和溫度改變時的計算求力法方程的系數(shù)和自由項解力法方程，求基本未知量彎矩可按下式解：解題步驟：結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖結(jié)構(gòu)在虛擬荷載作用下的彎矩圖圖乘計算§9-5支座位移和溫度改變時的計算（）§9-6超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

以超靜定梁為例求在均布荷載作用下梁的中點C的撓度f。一、主要思路：化成基本體系，利用力法求出X1、X2后，再按第8章的單位荷載法（圖乘法）求基本體系（靜定結(jié)構(gòu)）的位移。

由此看出，計算超靜定結(jié)構(gòu)的位移時，單位荷載可加在基本體系上。由于計算超靜定結(jié)構(gòu)時可以采用不同的基本體系，因此計算同一位移時，單位內(nèi)力圖將不只是一種。例如求兩端固定梁的跨中位移f時，也可以采用下圖所示的單位彎矩圖。所采用的單位彎矩圖雖然不同，但求得的位移應是相同的?！?-6超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算二.超靜定結(jié)構(gòu)由于荷載作用、溫度變化及支座移動引起的位移§9-6超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

為超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力，可以為任一基本體系在單位力作用下的內(nèi)力。上述公式與靜定結(jié)構(gòu)的位移計算公式相同。

為超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下的內(nèi)力，可以為任一基本體系在單位力作用下的內(nèi)力。根據(jù)疊加原理，超靜定結(jié)構(gòu)由于荷載作用、溫度變化及支座移動綜合作用下引起的位移

為溫度變化在超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)所引起的內(nèi)力，可以為任一基本體系在單位力作用下的內(nèi)力。§9-6超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

為綜合作用下在超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)所引起的內(nèi)力，可以為任一基本體系在單位力作用下的內(nèi)力。平衡條件的校核變形條件的校核§9-7超靜定結(jié)構(gòu)計算的校核結(jié)構(gòu)的幾何形式和支承情況對某軸對稱(2)桿件截面和材料性質(zhì)也對此軸對稱對稱結(jié)構(gòu)§9-8對稱結(jié)構(gòu)的計