洛陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．設(shè)集合，那么集合中滿足條件的元素個(gè)數(shù)為()A．60 B．90 C．120 D．1303．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．4．已知命題，命題，若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或 C． D．5．曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．6．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率7．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（）A．34 B．55 C．78 D．899．中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌．古代用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行計(jì)算，算籌的擺放形式有橫縱兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位用橫式表示，以此類推．例如4266用算籌表示就是，則8771用算籌可表示為（）A． B． C． D．10．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如圖的三視圖表示的四棱錐的體積為，則該四棱錐的最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A． B． C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_______________.14．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為____.15．，則使成立的值是____________.16．已知某種新產(chǎn)品的編號(hào)由1個(gè)英文字母和1個(gè)數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是，，，，這5個(gè)字母中的1個(gè)，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則共有__________個(gè)不同的編號(hào)（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的值19．（12分）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的極值；（2）若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范圍.22．（10分）已知點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)．（1）記雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若，求點(diǎn)到軸的距離；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，記，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡(jiǎn)可得，則離心率.方法二：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，則有平行線的對(duì)應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.2、D【解析】

從，且入手，可能取，分3種情況討論種的個(gè)數(shù)，再求5個(gè)元素的排列個(gè)數(shù)，相加即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以可能取，?dāng)時(shí)，中有1個(gè)1或，4四個(gè)所以元素個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，中有2個(gè)1，3個(gè)0，或1個(gè)1,1個(gè)，3個(gè)0，或2個(gè)，3個(gè)0，所以元素個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，中有3個(gè)1,2個(gè)0，或2個(gè)1,1個(gè)，2個(gè)0，或2個(gè)，1個(gè)1,2個(gè)0，或3個(gè)，2個(gè)0，元素個(gè)數(shù)為，故滿足條件的元素個(gè)數(shù)為，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了分類討論思想，考查了求排列數(shù)，對(duì)的值和對(duì)中的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵，屬于難題.3、A【解析】

根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列寫出兩點(diǎn)分步的隨機(jī)變量的概率要滿足的條件，一是兩個(gè)概率都不小于0，二是兩個(gè)概率之和是1，解出符合題意的c的值．【詳解】由隨機(jī)變量的分布列知，，，，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】試題分析：由，可得，由，可得，解得.因?yàn)闉榧倜}，所以與都是假命題，若是假命題，則有，若是假命題，則由或，所以符合條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D.考點(diǎn)：命題真假的判定及應(yīng)用.5、D【解析】

先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡(jiǎn)圖，聯(lián)立直線與曲線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)定積分即可求出結(jié)果.【詳解】作出曲線與直線圍成的平面圖形如下：由解得：或，所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的應(yīng)用，求圍成圖形的面積只需轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的定積分問題求解即可，屬于?？碱}型.6、A【解析】

對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.8、B【解析】試題分析：由題意，①②③④⑤⑥⑦⑧，從而輸出，故選B.考點(diǎn)：1.程序框圖的應(yīng)用.9、C【解析】

由算籌含義直接求解．【詳解】解：由算籌含義得到8771用算籌可表示為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)問題，考查簡(jiǎn)單的合理推理、考查函數(shù)與方程思想，是中等題.10、B【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，由此可得到復(fù)數(shù)【詳解】由題可得；；故答案選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題。11、A【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，計(jì)算，再計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解析】

根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)體，即可求得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)?！驹斀狻扛鶕?jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)如下圖所示：由圖可知，底面，所以棱長(zhǎng)最長(zhǎng)根據(jù)三棱錐體積為可得，解得所以此時(shí)所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體三視圖，三棱錐體積的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：的定義域?yàn)椋?，得，所?①若，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)；②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.14、【解析】分析：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)槭钦拿骟w，不妨設(shè)令其棱長(zhǎng)為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點(diǎn)分，切記.15、-4或2【解析】

當(dāng)0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由此求出使成立的值．【詳解】，當(dāng)0時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，，解得故答案為-4或2.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．16、45【解析】

通過分步乘法原理即可得到答案.【詳解】對(duì)于英文字母來說，共有5種可能，對(duì)于數(shù)字來說，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個(gè)不同的編號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計(jì)算，難度很小.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2），為函數(shù)零點(diǎn)，可得，要證，只需證，，令，在上是增函數(shù)，∴，∴，從而可得結(jié)論.詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，所以在上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，若，，在上是減函數(shù).當(dāng)，，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，在上的極小值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，可證明由（1）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，是極值點(diǎn)，又，為函數(shù)零點(diǎn)，所以，要證，只需證.∵，又∵，∴，令，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，∴，即得證.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.18、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無(wú)極小值.（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）把代入，令，求出極值點(diǎn)，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，等價(jià)于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.∴的極大值是，無(wú)極小值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值是，∴只要，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴的值是1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到結(jié)論．（2）利用離散型隨機(jī)變量分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．【詳解】用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，，，.∴X的分布列為X2345P∴【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）極大值為，極小值為.（2）【解析】分析：（1）若，則，，根據(jù)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值的方法即可，（2），分類討論，若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的極大值大于零，極小值小于零，即可求出的取值范圍..詳解：（1）若，則，，所以，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極大值為，的極小值為.（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，所以，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為.恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，即；綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛：本小題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想等21、（1）（2）【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用分類討論法來解不等式；（2）問題轉(zhuǎn)化為解不等式，得出不等式組，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，由，得.∴不等式的解集為；（2）不等式的解集包含，∴，即,由，得，∴,∴，問題∴.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值不等式中的參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造不等