第二型線積分和面積分

第二型線積分和面積分2009年5月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三若對全空間或其中某一區(qū)域

V中每一點

M,都有一

個數(shù)量

(或向量)與之對應(yīng),則稱在

V上給定了一個

數(shù)量場

(或向量場).例如:溫度和密度都是數(shù)量場,

M的位置可由坐標(biāo)確定.因此給定了某個數(shù)量場就總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每

重力和速度都是向量場.在引進了直角坐標(biāo)系后,點

等于給定了一個數(shù)量函數(shù)

在以下討論中

場的概念第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三個向量場都與某個向量函數(shù)相對應(yīng).

這里

P,Q,R為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù),并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

如,設(shè)一個質(zhì)點在處受點O的距離成正比,F的大小與M到原F的方向力F的作用,與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三磁力線等都是向量場線.注場的性質(zhì)是它本身的屬性,和坐標(biāo)系的引進無關(guān).

引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來

進行計算和研究它的性質(zhì).

則稱曲線

L為向量場

的向量場線.例如電力線、

設(shè)

L為向量場中一條曲線.若

L上每點

M處的切線

方向都與向量函數(shù)

在該點的方向一致,即第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三梯度場

我們已經(jīng)介紹了梯度的概念,它

方向上的方向?qū)?shù).

gradu是由數(shù)量場

u派生出來的一個向量場,

稱為是由數(shù)量函數(shù)

所定義的向量函數(shù)

gradu的方向就是使方向?qū)荻葓?

由前面知道,

數(shù)達到最大值的方向,就是在這個方第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三因為數(shù)量場的等值面的法線方向為所以gradu恒與

u的等值面正交.當(dāng)把它作為運算符號來看待時,梯度可寫作

引進符號向量

第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三解若以上的單位向量,則有例1設(shè)質(zhì)量為

m的質(zhì)點位于原點,質(zhì)量為

1的質(zhì)點

位于記第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三它表示兩質(zhì)點間的引力,方向朝著原點,大小與質(zhì)量

的乘積成正比,與兩點間距離的平方成反比.

這說明了引力場是數(shù)量場的梯度場,因此常稱為引力勢(gravitationalpotential).第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三對坐標(biāo)的曲線積分1第二類曲線積分的概念2兩類曲線積分的聯(lián)系3第二類曲線積分的計算第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

向量函數(shù)其大小和方向都隨點M變化

有向曲線指定了方向的曲線.～～～～～～～～～～～～通常指出起點，終點來表明.是向量預(yù)備知識第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第二型曲線積分的概念1.問題的提出

變力沿曲線所作的功求變力對質(zhì)點所作的功W.設(shè)一質(zhì)點在變力作用下,從點A點B,常力沿直線所作的功處理辦法分割→近似代替→取極限→求和第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三（1）分割（2）近似代替(3)

求和（4）取極限第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三2.定義

存在稱此極限為向量若在有向曲線上的第二類曲線積分函數(shù)(坐標(biāo)形式)(向量形式),或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分(與分法和點的取法無關(guān)！)，第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第二類曲線積分（向量形式）第二類曲線積分（坐標(biāo)形式）積分路徑被積函數(shù)單獨形式稱為對坐標(biāo)x

的曲線積分;稱為對坐標(biāo)y的曲線積分.第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三由定義，變力沿曲線所作的功第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.性質(zhì)

注第二類曲線積分必須注意積分路徑的方向!第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三兩類曲線積分的聯(lián)系第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三類似地,在空間曲線上的兩類曲線積分的聯(lián)系是其中簡記為簡記為第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理1

一定存在,且第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例１將積分化為對弧長的積分,解其中C沿上半圓周第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例１將積分化為對弧長的積分,解法2其中C沿上半圓周第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三解化為定積分ab將積分化為定積分．第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三定理２設(shè)上連續(xù)，則起點終點第二類曲線積分的計算計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分當(dāng)t由a→b時，對應(yīng)的點M(x,y)從起點A運動到終點B描出曲線為端點的區(qū)間上連續(xù)，第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三注第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三A→B對應(yīng)曲線上ab第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例2

計算其中(1)(2)(3)解

(1)(2)(3)被積函數(shù)相同，起點和終點相同，但是路徑不同，積分結(jié)果相同。第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例3計算曲線積分解第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例4設(shè)曲線G:從ox軸正向看去為逆時針方向,求曲線積分解第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例5設(shè)一個質(zhì)點在處受力

的作用,已知的方向指向坐標(biāo)原點,其大小與作用點到

xoy

面的距離成反比.此質(zhì)點由點沿直線移動到求F所作的功W.解第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三思考題第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題答案第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三回顧:常力沿直線所作的功若改變運動方向，即從點B到點A所作的功

有向曲線指定了方向的曲線.通常指出起點，終點來表明.～～～～～～～～～～～～～與從點A到點B所作的功大小相等，但符號相反.第38頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

向量函數(shù)在平面區(qū)域D

（或空間區(qū)域）中,其大小和方