第九講概率模型

第九講概率模型第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象

第一節(jié)隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會各不相同”.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn).定義在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).3.隨機(jī)試驗(yàn)第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三表1拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)結(jié)果表拋擲次數(shù)(n)正面向上的次數(shù)（頻數(shù)m）頻率（m/n）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500530000149840.499672088361240.5011當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它附近擺動。第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m/n總是接近于某個(gè)常數(shù)p，在它的附近擺動，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)p叫做事件A的概率，記作P(A)。第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

事件發(fā)生的可能性最大是百分之百，此時(shí)概率為1.0≤P(A)≤1我們用P(A)表示事件A發(fā)生的概率，則

事件發(fā)生的可能性最小是零，此時(shí)概率為0.第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？我先給大家舉幾個(gè)例子，也希望你們再補(bǔ)充幾個(gè)例子.第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

大量重復(fù)試驗(yàn)的工作量大，且試驗(yàn)數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，且有些時(shí)候試驗(yàn)帶有破壞性。

對于隨機(jī)事件，是否只能通過大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)才能求其概率呢？

第二節(jié)古典概型第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

1．考察拋硬幣實(shí)驗(yàn)，為什么在實(shí)驗(yàn)之前你也可以想到拋一枚硬幣，正面向上的概率為1/2?

原因:（1）拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種；（2）硬幣是均勻的，所以出現(xiàn)這兩種結(jié)果的可能性是均等的。2．若拋擲一枚骰子，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)為3的概率是多少？為什么？第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三歸納：那么，對于哪些隨機(jī)事件，我們可以通過分析其結(jié)果而求其概率？

（1）對于每次實(shí)驗(yàn)，只可能出現(xiàn)有限個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（2）所有不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性是相等的第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件.每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同則稱這些基本事件為等可能基本事件.

通過以上兩個(gè)例子進(jìn)行歸納：

我們將滿足（1）（2）兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型成為古典概型。由于以上這些都是歷史上最早研究的概率模型，對上述的數(shù)學(xué)模型我們稱為古典概型。(1)所有的基本事件是有限個(gè)。(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的。第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A的概率P(A)=m/n。古典概型的概率：如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1/n。第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)用：擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，（1）寫出所有的基本事件，說明其是否是古典概型。

解：有6個(gè)基本事件，分別是“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，……，“出現(xiàn)6點(diǎn)”。因?yàn)轺蛔拥馁|(zhì)地均勻，所以每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的，因此它是古典概型。（2）觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，求擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率。

解：這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有6個(gè)，即出現(xiàn)1點(diǎn)、出現(xiàn)2點(diǎn)、……、出現(xiàn)6點(diǎn)，所以基本事件數(shù)n=6；事件A={擲得奇數(shù)點(diǎn)}={出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)5點(diǎn)},其包含的基本事件數(shù)m=3，所以P(A)=0.5。第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

例1從裝有3個(gè)白球和7個(gè)紅球的袋子中隨機(jī)摸取一個(gè)球，求A=“恰好取得白球”的概率。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

與“取得紅球”的概率相比，發(fā)生的可能性小的多。假如有人搞這種賭博活動，承諾取得白球給你10元，而取得紅球你給他6元，那么你認(rèn)為設(shè)賭者最終是嬴家還是輸家？如果一天下來有100人參賭，則設(shè)賭者能賺（或賠）多少？第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

與此同理，福利彩票對絕大多數(shù)彩民來說，只能是奉獻(xiàn)。這是因?yàn)槿绻勌枮槠呶粩?shù)，它的產(chǎn)生是從0-9十個(gè)數(shù)碼中可以重復(fù)地選取出來的。按照乘法原理，全部可能結(jié)果，即總基本事件數(shù)為107個(gè)，而這個(gè)特殊的獎號（中獎號碼）只是其中的一份即1/107，于是獲大獎的概率幾乎是不可能的?，F(xiàn)在你對彩票有所了解嗎?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三求古典概型的步驟：（1）判斷是否為等可能性事件；（2）計(jì)算所有基本事件的總結(jié)果數(shù)n．（3）計(jì)算事件A所包含的結(jié)果數(shù)m．（4）計(jì)算第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三解:顯然每個(gè)人的生日在一年365天中的任意一天都是等可能的.為簡便，先來求64名學(xué)生生日各不相同的概率，然后利用逆事件概率公式解決。我們構(gòu)建如下模型，設(shè)想將64名學(xué)生放到365個(gè)房間中去。每一種放法就是一個(gè)基本事件，因此基本事件總數(shù)是36564。由于每個(gè)人的生日都不同，故每個(gè)房間中至多放一名學(xué)生，共有365·364········302種不同的放法。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

例2：設(shè)一個(gè)班級有64人，那么至少有2個(gè)人生日相同的概率為多少？第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三于是，根據(jù)古典概型計(jì)算公式，64名學(xué)生生日各不相同的概率為

64名同學(xué)至少有2人生日相同的概率為

由此可見，當(dāng)這個(gè)班級有64人時(shí)，“至少有兩個(gè)同學(xué)生日相同”的概率幾乎是1。

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三可以將上述模型一般化，即將64人改為n(n<365)人，則n個(gè)人中至少有2個(gè)同學(xué)生日相同的概率為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為=1-0.524=0.476

美國數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個(gè)別開生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場上，他隨機(jī)地在某號看臺上召喚了22個(gè)球迷，請他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日。即22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

這個(gè)概率不算小，因此它的出現(xiàn)不值得奇怪.計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下頁表所示：

第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

人數(shù)至少有兩人同 生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個(gè)人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計(jì)算出來的.實(shí)際上,這個(gè)假定并不完全成立，有關(guān)的實(shí)際概率比表中給出的還要大.當(dāng)人數(shù)超過23時(shí)，打賭說至少有兩人同生日是有利的.第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三且每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無關(guān)——稱為這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的n重貝努利試驗(yàn)。

試驗(yàn)可重復(fù)n次每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：

第三節(jié)貝努利概型

事件A出現(xiàn)k次的概率記為：第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三n重貝努利試驗(yàn)：▲連續(xù)拋骰子10次，觀察出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)；▲某人打靶命中率為0.7，連續(xù)打靶15發(fā)子彈，觀察命中次數(shù)；▲在次品率為0.1的一批產(chǎn)品中，有放回地每次任取1件，重復(fù)8次，觀察其中的次品數(shù).

第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三一般地，若則第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

有5個(gè)女孩，她們?nèi)ハ床途?，在打破?個(gè)餐具中有3個(gè)是最小的女孩打破的，因此人家說她笨拙。你能否運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)原理為她申辯，說這完全可能是碰巧？

舉例：她笨拙嗎？第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三分析：假設(shè)每個(gè)女孩打破餐具的概率相等，那么打破4個(gè)餐具中同一人打破3個(gè)的概率為根據(jù)小概率原理，這概率很小，可以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。這意味著每個(gè)女孩打破餐具的概率不相等，也就是說，最小的女孩打破餐具的概率要大些。第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

假定不考慮英文寫作所占的15分，那么按及格成績60分計(jì)算，85道選擇題必須答對51道題以上。如果單靠碰運(yùn)氣、瞎猜測的話，則每道題答對的概率為1/4，答錯的概率是3/4。顯然，各道題的解答互不影響，因此，可以將解答85道選擇題看成85重貝努利試驗(yàn)。英語考試第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三這個(gè)概率非常小，因此可以認(rèn)為，想靠碰運(yùn)氣通過四級考試幾乎是一個(gè)不可能發(fā)生的事件，它相當(dāng)于在一千億個(gè)想碰運(yùn)氣的考生中，僅有0.874人能通過四級考試。設(shè)A表示答對的題數(shù)超過51，則第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)概率：頻率的穩(wěn)定值古典概型（1）試驗(yàn)結(jié)果的有限性（2）所有結(jié)果的等可能性。P（A）=n重貝努利概型第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

法國有兩個(gè)大數(shù)學(xué)家，一個(gè)叫做巴斯卡爾，一個(gè)叫做費(fèi)馬。

巴斯卡爾認(rèn)識兩個(gè)賭徒，這兩個(gè)賭徒向他提出了一個(gè)問題。他們說，各出賭金100元,共200元，并約定誰先贏滿5局，誰取得全部200元，由于出現(xiàn)意外情況，

A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分？

引例一：賭博問題第四節(jié)數(shù)學(xué)期望第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三A勝4局B勝3局前七局:后二局:把已賭過的七局(A勝4局B勝3局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完9局,AAAB

B

ABBA勝B

勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

B

ABBA勝兩局A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝兩局第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量).射中次數(shù)記錄如下引例二射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三解平均射中環(huán)數(shù)第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動隨機(jī)波動隨機(jī)波動穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的求和第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布列為為X的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的定義則稱第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中取值的平均值，所以又常稱為隨機(jī)變量的平均數(shù)、均值。第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三分賭本問題A期望所得的賭金即為X的數(shù)學(xué)期望射擊問題

“平均射中環(huán)數(shù)”應(yīng)為隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?實(shí)例一

誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三解故甲射手的技術(shù)比較好.第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三實(shí)例二

發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬張,每張2元.設(shè)頭等獎1個(gè),獎金1萬元,二等獎2個(gè),獎金各5千元;三等獎10個(gè),獎金各1千元;四等獎100個(gè),獎金各100元;五等獎1000個(gè),獎金各10元.每張彩票的成本費(fèi)為0.3元,請計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解設(shè)每張彩票中獎的數(shù)額為隨機(jī)變量X,則第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收利潤為第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

法國有兩個(gè)大數(shù)學(xué)家，一個(gè)叫做巴斯卡爾，一個(gè)叫做費(fèi)馬。

巴斯卡爾認(rèn)識兩個(gè)賭徒，這兩個(gè)賭徒向他提出了一個(gè)問題。他們說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，

A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分？

實(shí)例三正確的答案是：贏了4局的拿這個(gè)錢的3／4,贏了3局的拿這個(gè)錢的1／4

為什么呢？第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

答案：假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。

若是A贏滿了5局，錢應(yīng)該全歸他；

若是A輸了，即A、

B各贏4局，這個(gè)錢應(yīng)該對半分?，F(xiàn)在，A贏、輸?shù)目赡苄远际?／2,所以A拿的錢應(yīng)該是（A拿的錢的數(shù)學(xué)期望）

1×1／2＋1／2×1／2＝3／4,

當(dāng)然，

B就應(yīng)該得1／4。第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三實(shí)例四“犯人”的機(jī)智

有一個(gè)古老的傳說，一個(gè)紳士因看不慣王爺?shù)乃魉鶠槎米锪怂?，并被關(guān)進(jìn)了監(jiān)獄，眾人替他求情，王爺就給他出了個(gè)難題：給他兩個(gè)碗，一個(gè)碗里裝50個(gè)小黑球，另一個(gè)碗里裝50個(gè)小白球。規(guī)則是把他的眼睛蒙住，要他先選擇一個(gè)碗，并從這個(gè)碗里拿出一個(gè)球。如果他拿的是黑球，就要繼續(xù)關(guān)在監(jiān)獄；如果他拿的是白球，就將獲得自由。但在蒙住眼睛之前，允許他用他希望的任何方式把球進(jìn)行混合。這個(gè)紳士兩眼直盯著兩個(gè)碗，因?yàn)殛P(guān)系到他今后的人生和眾人的情意，他不得不慎重考慮。王爺說：“這就要看你的造化了，你挑一個(gè)碗并從里面拿出一個(gè)白球的幾率是50%?！钡?2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三的確如此，這時(shí)他選中裝