高中數(shù)學思想與邏輯：11種數(shù)學思想方法總結與例題講解

中學數(shù)學思想與邏輯：11種數(shù)學思想方法總結與例題講解中學數(shù)學轉化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解

在轉化過程中，應遵循三個原則：

1、熟識化原則，即將生疏的問題轉化為熟識的問題;

2、簡潔化原則，即將困難問題轉化為簡潔問題;

3、直觀化原則，即將抽象總是詳細化.

策略一：正向向逆向轉化

一個命題的題設和結論是因果關系的辨證統(tǒng)一，解題時，假如從下面入手思維受阻，不妨從它的正面動身，逆向思維，往往會另有捷徑.

例1：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不共面的取法共有__________種.

A、150B、147C、144D、141

分析：本題正面入手，狀況困難，若從反面去考慮，先求四點共面的取法總數(shù)再用補集思想，就簡潔多了.

10個點中任取4個點取法有種，其中面ABC內的6個點中任取4點都共面有種，同理其余3個面內也有種，又，每條棱與相對棱中點共面也有6種，各棱中點4點共面的有3種，不共面取法有種，應選(D).

策略二：局部向整體的轉化

從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對較困難的數(shù)學問題卻須要從總體上去把握事物，不糾纏細微環(huán)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問題，不單打獨斗.

例2：一個四面體全部棱長都是，四個頂點在同一球面上，則此球表面積為()

A、B、C、D、

分析：若利用正四面體外接球的性質，構造直角三角形去求解，過程冗長，簡潔出錯，但把正四面體補形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點，因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為，應選(A).

策略三：未知向已知轉化

又稱類比轉化，它是一種培育學問遷移實力的重要學習方法，解題中，若能抓住題目中已知關鍵信息，鎖定相像性，奇妙進行類比轉換，答案就會應運而生.

例3：在等差數(shù)列中，若，則有等式

(成立，類比上述性質，在等比數(shù)列中，，則有等式_________成立.

分析：等差數(shù)列中，，必有，故有類比等比數(shù)列，因為，故成立.

二、邏輯劃分思想

例題1、已知集合A=，B=，若BA，求實數(shù)a取值的集合.

解A=：分兩種狀況探討

(1)B=￠，此時a=0;

(2)B為一元集合，B=，此時又分兩種狀況探討：

(i)B={-1}，則=-1，a=-1

(ii)B={1}，則=1，a=1.(二級分類)

綜合上述所求集合為.

例題2、設函數(shù)f(x)=ax-2x+2，對于滿意1x4的一切x值都有f(x)0，求實數(shù)a的取值范圍.

例題3、已知，試比較的大小.

于是可以知道解本題必需分類探討，其劃分點為.

小結：分類探討的一般步驟：

(1)明確探討對象及對象的范圍P.(即對哪一個參數(shù)進行探討);

(2)確定分類標準，將P進行合理分類，標準統(tǒng)一、不重不漏，不越級探討.;

(3)逐類探討，獲得階段性結果.(化整為零，各個擊破);

(4)歸納小結，綜合得出結論.(主元求并，副元分類作答).

十一種數(shù)學思想方法總結與詳解

數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果。數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質相識;基本數(shù)學思想則是體現(xiàn)或應當體現(xiàn)于基礎數(shù)學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數(shù)學思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學思想的基本特征，并且是歷史地進展著的。通過數(shù)學思想的培育，數(shù)學的實力才會有一個大幅度的提高。駕馭數(shù)學思想，就是駕馭數(shù)學的精髓。

1、函數(shù)方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時，還須要函數(shù)與方程的相互轉化、接軌，達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題數(shù)學問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的等等;不等式問題也與方程是近親，親密相關。列方程、解方程和探討方程的特性，都是應用方程思想時須要重點考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關系型的數(shù)學模型，從而進行探討。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變更”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質解題，經(jīng)常利用的性質是：f(x)、f(x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們嫻熟駕馭的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的詳細特性。在解決問題中，擅長挖掘題目中的隱含條件，構造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質，是應用函數(shù)思想的關鍵。對所給的問題視察、分析、推斷比較深化、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題、集合問題、數(shù)列問題和某些代數(shù)問題也可以轉化為與其相關的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

函數(shù)學問涉及的學問點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有確定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數(shù)關系解題;有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析;含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關系;實際應用問題，翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，應用函數(shù)性質或不等式等學問解答;等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。

2、數(shù)形結合思想

“數(shù)無形，少直觀，形多數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結合”可使所要探討的問題化難為易，化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結合，例如對幾何問題用代數(shù)方法解答，對代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐標系中，把它轉化成一個點到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四點的距離，就可以求出它的最小值。

3、分類探討思想

當一個問題因為某種量或圖形的狀況不同而有可能引起問題的結果不同時，須要對這個量或圖形的各種狀況進行分類探討。比如解不等式|a-1|4的時候，就要分類探討a的取值狀況。

4、方程思想

當一個問題可能與某個方程建立關聯(lián)時，可以構造方程并對方程的性質進行探討以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。

5、整體思想

從問題的整體性質動身，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)覺問題的整體結構特征，擅長用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的詳細運用。

6、化歸思想

在于將未知的，生疏的，困難的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟識的，簡潔的問題。三角函數(shù)，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數(shù)學的尺規(guī)作圖等數(shù)學理論無不滲透著轉化的思想。常見的轉化方式有：一般特別轉化，等價轉化，困難簡潔轉化，數(shù)形轉化，構造轉化，聯(lián)想轉化，類比轉化等。

轉化思想亦可在狹義上稱為化歸思想?；瘹w思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經(jīng)過某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者簡潔解決的問題B，通過解決問題B來解決問題A的方法。

7、隱含條件思想

沒有明文表述出來，但是依據(jù)已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規(guī)或者真理。例如一個等腰三角形，一條線段垂直于底邊，那么這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。

8、類比思想

把兩個(或兩類)不同的數(shù)學對象進行比較，假如發(fā)覺它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

9、建模思想

為了更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性地描述一個實際現(xiàn)象，人們接受一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學。運用數(shù)學語言描述的事物就稱為數(shù)學模型。有時候我們須要做一些試驗，但這些試驗往往用抽象出來了的數(shù)學模型作為實際物體的代替而進行相應的試驗，試驗本身也是實際操作的一種理論替代。

10、歸納推理思想

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納)，簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理

另外，還有概率統(tǒng)計思想等數(shù)學思想，例如概率統(tǒng)計思想是指通過概率統(tǒng)計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外，還可以用概率方法解決一些面積問題。

我來舉例子~~圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相像，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，找尋線段很關鍵。

干脆證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最便利。

要想證明是切線，半徑垂線細致辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內接圓，內角平分線夢圓

假如遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點確定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

協(xié)助線，是虛線，畫圖留意勿變更。

假如圖形較分散，