蘇教版-必修五-第二章 數(shù)列-2.3 等比數(shù)列 說(shuō)課一等獎(jiǎng)

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》同步練習(xí)1．?dāng)?shù)列{an}為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，它的前2n項(xiàng)的和為6560，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比．2．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列{bn}是否仍為等比數(shù)列？3．求數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n項(xiàng)和Sn．4．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）求通項(xiàng)an；(3)當(dāng)k＝－1時(shí)，求和a12＋a22＋…＋an2．5．已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．6．等比數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值．7．求和（x＋eq\f(1,x)）2＋（x2＋eq\f(1,x2)）2＋…＋（xn＋eq\f(1,xn)）28．求數(shù)列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n項(xiàng)和．參考答案1．分析：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)解題．解：若q＝1，則應(yīng)有S2n＝2Sn，與題意不合，故q≠1．當(dāng)q≠1時(shí)，由已知得eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝80①,eq\f(a1（1－q2n）,1－q)＝6560②))由eq\f(②,①)，得eq\f(1－q2n,1－qn)＝82，即q2n－82qn＋81＝0得qn＝81或qn＝1(舍)，∴qn＝81，故q＞1．{an}的前n項(xiàng)中最大，有an＝54．將qn＝81代入①，得a1＝q－1 ③由an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q即81a1＝54q ④由③、④得a1＝2，q＝3評(píng)述：在數(shù)學(xué)解題中還應(yīng)有一個(gè)整體觀念，如本題求出qn＝81，應(yīng)保留qn為一個(gè)整體求解方便．2．分析：應(yīng)對(duì){an}的公比q分類討論．解：設(shè)bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且數(shù)列{an}的公比為q則當(dāng)q＝1時(shí)，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1,∴{bn}為公比是1的等比數(shù)列．當(dāng)q≠±1時(shí)，bn＝eq\f(a（n－1）k＋1（1－qk）,1－q)，eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(ank＋1,a（n－1）k＋1)＝qk∴{bn}為公比是qk的等比數(shù)列．當(dāng)q＝－1時(shí)，若k為偶數(shù)，則bn＝0，此時(shí){bn}不能為等比數(shù)列．若k為奇數(shù)，數(shù)列{bn}為公比為－1的等比數(shù)列．綜上：當(dāng){an}的公比不為－1時(shí)，數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列；當(dāng){an}的公比為－1時(shí)，若k為偶數(shù)，則{bn}不是等比數(shù)列；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{bn}為公比為－1的等比數(shù)列．3．解：(1)a＝0時(shí)，Sn＝1；(2)a＝1時(shí)，Sn＝eq\f(1,2)n(n＋1)；(3)a＝－1時(shí)，Sn＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(n,2)（n為偶數(shù)）,eq\f(n＋1,2)（n為奇數(shù)）))；(4)a＝±1；a≠0時(shí)，Sn＝eq\f(（1－an）（1－an＋1）,（1－a）（1－a2）)．4．分析：由于條件中涉及Sn與an的關(guān)系，因此，要考慮Sn－Sn－1＝an(n≥2)的運(yùn)用，然后回答定義．（1）證明：∵Sn＝1＋kan ①Sn－1＝1＋kan－1 ②①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)∴(k－1)an＝kan－1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(k,k－1)(常數(shù))，（n≥2）∴{an}是公比為eq\f(k,k－1)的等比數(shù)列．（2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝eq\f(1,1－k)∴an＝eq\f(1,1－k)·(eq\f(k,k－1))n－1＝－(3)解：∵{an}中a1＝eq\f(1,1－k)，q＝eq\f(k,k－1)∴{an2}為首項(xiàng)為（eq\f(1,k－1)）2，公比為（eq\f(k,k－1)）2的等比數(shù)列．當(dāng)k＝－1時(shí)，等比數(shù)列{an2}的首項(xiàng)為eq\f(1,4)，公比為eq\f(1,4)∴a12＋a22＋…＋an2＝eq\f(eq\f(1,4)[1－（eq\f(1,4)）n],1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,3)[1－（eq\f(1,4)）n]評(píng)述：應(yīng)注意an＝eq\b\lc\{(\a\al(S1（n＝1）,Sn－Sn－1（n≥2）))的應(yīng)用．5．解：設(shè)數(shù)列的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n則eq\b\lc\{(\a\al(a1＋a3＋…＋a2n－1＝85,a2＋a4＋…＋a2n＝170))，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2又∵eq\f(a1（1－q2n）,1－q2)＝85，即eq\f(1－22n,1－22)＝85∴22n＝256＝28，∴2n＝8評(píng)述：在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5個(gè)量，其中a1和q是基本量，利用這兩個(gè)公式，可知三求二．6．分析：關(guān)鍵是確定首項(xiàng)和公比．解：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)和公比為a1和q．則eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝1①,eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝3②))由②÷①得q4＝2．∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝eq\f(a1（1－q20）,1－q)－eq\f(a1（1－q16）,1－q)＝eq\f(a1q16（1－q4）,1－q)＝q16＝24＝16．評(píng)述：在研究等比數(shù)列的問(wèn)題中，要確定基本量a1和q,仍然離不開(kāi)方程思想，在具體求解時(shí)，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意優(yōu)化與化簡(jiǎn)．7．分析：注意到（xn＋eq\f(1,xn)）2＝an＝x2n＋eq\f(1,x2n)＋2，且{x2n}與{(eq\f(1,x))2n}為等比數(shù)列，故可考慮拆項(xiàng)法．解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x4)＋…＋eq\f(1,x2n))＋當(dāng)x＝±1時(shí)，Sn＝n＋n＋2n＝4n．當(dāng)x≠±1時(shí)，Sn＝eq\f(x2（1－x2n）,1－x2)＋eq\f(eq\f(1,x2)（1－eq\f(1,x2n)）,1－eq\f(1,x2))＋2n＝eq\f(（x2n－1）（x2n＋2＋1）,x2n（x2－1）)＋2n評(píng)述：在運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，要注意分析公比是否為1．8．分析：可以通過(guò)錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題．解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，Sn＝0．(2)當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(1,2)n(n＋3)．(3)當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1 ①xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2 ②①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2＝2x2＋eq\f(x3（1－xn－1）,1－x)－(n＋1)xn+2∴Sn＝eq\f(2x2―x3―（n＋2）xn+2＋（n＋1）xn+3,（1－x）2) ③又當(dāng)x＝0時(shí)，Sn