第三章投影變換改

第三章投影變換改1第1頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、問(wèn)題的提出當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處于特殊位置(平行或垂直)時(shí)，可以方便地求出線段的實(shí)長(zhǎng)、平面的實(shí)形以及相應(yīng)的傾角。當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處于不利于解題的位置時(shí)，怎么辦？

變換投影面法(換面法)：將幾何元素與投影面的相對(duì)位置變換成處于有利于解題位置的方法稱為投影變換。解決方法：變換投影面。2第2頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三VHXABa'b'ab老投影體系V/H新投影面V1新投影體系V1/HX1新軸老軸a1'b1'新投影被替換的投影被保留的投影被保留的投影面被替換的投影面3第3頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三VHAB

a

bab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對(duì)空間物體處于最有利的解題位置。2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b14第4頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三VHA

aaaxX⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，aA點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1VHXP1HX1

aaa1axax1.5第5頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三ax1VHXP1HX1

aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1a1ax1=aax點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa一般規(guī)律：點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.6第6頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三XVHaaax更換H面⑶求新投影的作圖方法VHXP1HX1由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aaX1P1Ha1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：..7第7頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2P1，得到新投影體系:

X2—P1

P2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVH

aaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a28第8頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三ax2

aaXVH⑵求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸

a2ax2=aax1a1axax1..9第9頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三VHAB

a

bab四、換面法的六個(gè)基本問(wèn)題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：不行！作圖：例：求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及與H面的夾角。

a

babXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。.換H面行嗎？10第10頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2將投影面的平行線變換為投影面的垂直線功用:可用于求點(diǎn)與直線,兩直線間的距離等。問(wèn)題的關(guān)鍵：新軸要垂直于反映實(shí)長(zhǎng)的那個(gè)投影。VHXABa'b'abX1H1a1'b1'X1H1Va1b1XVHaba'b'11第11頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三a1●b1●VH

aaXB

bbA3.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：a

babXVHX1H1P1作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？a2b2ax2a2b2P2P1X2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；一般位置直線變換為投影面垂直線12第12頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1

已知等腰三角形ABC的底邊為AB，試用換面法求出等腰三角形ABC的正面投影。a'b'XVHcabX1HV1b1'c1'a1'c'ee1′13第13頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三功用：可求解平面與投影面的傾角，點(diǎn)與平面的距離，兩平行面間的距離等。4.把一般位置平面變換成投影面垂直面問(wèn)題的關(guān)鍵：在平面上作一條投影面平行線，新軸必須垂直與該平行線反映實(shí)長(zhǎng)的那個(gè)投影。14第14頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

cabcdVHABCDX

d如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。

P1X1c1b1

a1d1空間分析：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！15第15頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三α

a

b

cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過(guò)程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。dd★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？.16第16頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

5.將投影面的垂直面變成投影面的平行面功用：一次換面后可求解平面實(shí)形、形心、兩直線交角等

問(wèn)題的關(guān)鍵：新投影軸必須平行于該平面的積聚性投影。HVb'a'c'V1ABCbaa1'c1'b1'X1c17第17頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P26.把一般位置平面變換成投影面平行面ab

a

c

bXVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c1●X2軸的位置？平面的實(shí)形.X1HP1.與其平行18第18頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3已知直線AB與CDE平面平行，且相距20mm，求直線AB的水平投影。XVHedcd'e'c'a'b'a1b1X1VH1c1e1d1ba20mm19第19頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、求直線實(shí)長(zhǎng)和與投影面的傾角將直線變換成投影面的平行線。2、求平面實(shí)形和形心將平面變換成投影面的平行面。3、求平面與投影面的傾角將平面變換成投影面的垂直面。4、求距離（1）點(diǎn)與直線之間

a將直線變換成投影面垂直線。

b將點(diǎn)與直線組成的平面變換成投影面的平行面。五、換面法的應(yīng)用20第20頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）點(diǎn)與平面之間將平面變換成投影面垂直面。（3）兩平行線之間將兩直線變換成投影面垂直線。（4）兩平行平面之間將兩平面變換成投影面垂直面。

5、求夾角（1）兩直線之間將兩直線組成的平面變換成投影面平行面。（2）兩平面之間將兩平面變換成投影面的垂直面，即應(yīng)將兩平面的交線變換成投影面的垂直線。21第21頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2

d例1：求點(diǎn)C到直線AB的距離，并求垂足D。cc

b

aabXVH如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，CD平行于投影面，其投影反映實(shí)長(zhǎng)。APBDCcabd作圖:求C點(diǎn)到直線AB的距離，就是求垂線CD的實(shí)長(zhǎng)?？臻g及投影分析：c1a1a2b2d2過(guò)c1作線平行于x2軸。...如何確定d1點(diǎn)的位置？22第22頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三baabcd●c例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長(zhǎng)度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑=MN●n●m當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，MN平行于投影面，這時(shí)它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回？求m點(diǎn)是難點(diǎn)。..23第23頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時(shí)，其投影的夾角才反映實(shí)大（60°），因此需將AB與C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。例3:過(guò)C點(diǎn)作直線CD與AB相交成60o角。

dX1HP1X1P1P2ab

a

c

bXVHc作圖：c2●●●c1●a1b1●a2●d2●d●b2●

幾個(gè)解？?jī)蓚€(gè)解！

已知點(diǎn)C是等邊三角形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線AB上，求等邊三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D點(diǎn)的投影如何返回？..24第24頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期三P2P1X2HP1X1cdbadacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡

b2θVHXθ例4：求平面ABC和ABD的兩面角?？臻g及投影分析：由幾何定理知：兩面角為兩平面同時(shí)與第三平面垂直