中考數(shù)學(xué)相似三角形培優(yōu)導(dǎo)學(xué)案

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知識考點(diǎn)：

本節(jié)知識包含相似三角形的判判斷理、三角形相似的判斷及應(yīng)用，這是中考必考內(nèi)容。掌握好相似三角形的基礎(chǔ)知識特別重要。精典例題：

【例1】如圖，點(diǎn)O是△ABC的兩條角均分線的交點(diǎn)，過O作AO的垂線交AB

于D。求證：△OBD∽△CBO。剖析：

此題不易獲得邊的比率關(guān)系，但O點(diǎn)是三角形的角均分線的交點(diǎn)，有多對相等的角，故宜從角相等方面去考慮。

由角均分線及三角形內(nèi)角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝900，再由AO⊥DO可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，從而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是結(jié)論得證。

AFAAD5DEEO4O32C1BDCBCB例1圖變式1圖例2圖變式1：已知如圖，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，

A

D534O12B例1圖C交AC于E，BO均分∠ABC。求證：。變式2：已知如圖（同變式1圖），在△ABC中，O為兩內(nèi)角均分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線交AB于D，交AC于E，且AD＝AE。

A

D54O321求證：（1）△BDO∽△OEC；（2）BC例1圖?！纠?】如圖，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E為AC中點(diǎn)，DE交BA的延長線于F。求證：AB∶AC＝BF∶DF。剖析：

因?yàn)椤鰽BC和△FBD一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形，不可以能由這一對三角形相似直接找到對應(yīng)邊而得結(jié)論，必定要找“過渡”的線段或線段比，這類找尋“中間”搭橋的線段或線段比是重要的解題技巧。

證明：∵AB⊥AC，AD⊥BC

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Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B

A

D54O321∴BC???①例1圖

又∵AD⊥BC，EAC中點(diǎn)

∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE

∴∠B＝∠ADE

又∵∠F＝∠F

∴△FAD∽△FDB

A

D5

4O321∴BC???②例1圖

A

D5

4O321由①②得BC例1圖

式：

本條件、不，而只改形的地點(diǎn)，以下所示，本又怎明呢？

AECADDBEGDCEFFFABBC例2變式圖2例3圖例2變式圖1【例3】如，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，角

A

D534O12BCAC、BD訂交于G，AC、BE訂交于F。求：例1圖。剖析：

因?yàn)镕G、FA、FC三條段在同向來上，不可以直接明一三角形相似而得

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結(jié)論。依據(jù)題設(shè)條件易得BE是DC的垂直均分線，于是連結(jié)FD得FD＝FC，再證

FDG∽△FAD即可。研究與創(chuàng)新：【問題一】如圖，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝

A

A

DD5

4O321BC例1圖，AD＝2。問當(dāng)AB的長為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似？

A

BC

問題一圖

D534O12略解：∵AC＝B例1圖C，AD＝2A

5

4O321BC∴CD＝例1圖

要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種狀況：

A

D54O312（1）當(dāng)Rt△ABC∽Rt△ACD時(shí)，有BC例1圖

A

5

4O321∴BC例1圖

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A

D54O312（2）當(dāng)Rt△ACB∽Rt△CDA時(shí)，有BC例1圖

A

5

4O321∴BC例1圖

A

D534O12BC故當(dāng)AB的長為3或例1圖時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似?！締栴}二】已知如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在

A

D5

4O321線段BC上，設(shè)BQ＝BC例1圖，能否存在這樣的實(shí)數(shù)A

D5

4O321BC例1圖，使得Q、C、P為極點(diǎn)的三角形與△ADP相似，若存在，A

D5

4O321BC求出例1圖的值；若不存在，請說明原由。

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A

D534O12BC略解：假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)例1圖，則在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：AAD5D5AD4O4O3232P11BC或BC例1圖例1圖BQC問題二圖AAD5D54O433O1212BC由此解得：CQ＝1或CQ＝BC，從而例1圖或例1圖

A

5

4O321BC例1圖AAD5D543O4123O2BC1故當(dāng)例1圖或BC時(shí)，△ADP與△QCP。例1圖

追蹤訓(xùn)練：

一、填空題：

1、如圖，在△ABC中，P是邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP，使△ACP∽△ABC的條件是。

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2、在直角坐標(biāo)系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），過C點(diǎn)作

AA

D5D54O34O32211BCBC直線例1圖交例1圖軸于D，使得以點(diǎn)D、C、O為極點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的直線有條。3、如圖，在△ABC中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，使MB＝CB，過M作MN⊥AB交AC于N，則MN＝。AACPND

BCBMABEC第1題圖第3題圖第5題圖4、一個(gè)鋼筋三角架長分別為20cm、50cm、60

cm，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架，而只有長為30cm和50

cm的兩根鋼筋，要求以此中一根為一邊，從另一根上截下兩段（贊成有余料

）作為兩邊，則不一樣樣的載法有種。

5、如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC

5∶1，則CD＝。二、選擇題：

1、下邊兩個(gè)三角形必定相似的是（）

A、兩個(gè)等腰三角形B、兩個(gè)直角三角形

C、兩個(gè)鈍角三角形D、兩個(gè)等邊三角形

2、如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊CB延長線上一點(diǎn)，EA分別交CD、BD的

延長線于點(diǎn)F、G，則圖中相似三角形共有（）

A、3對B、4對C、5對D、6對

三、解答題：

1、如圖，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求證：△AEF∽△CEA。E

BA

A

FA

FBECD

CGBEFCD選擇第2題圖

解答第1題圖解答第2題圖

2、如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于E，交AB于F。求證：△AFD∽△ADB。

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3、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，請你在AD上找一點(diǎn)P，使得以P、A、B和以P、D、C為極點(diǎn)的兩個(gè)三角形相似嗎？若能，這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？并求出AP的長；若不可以，請說明原由。AB

P

EADBCDC解答第3題圖解答第4題圖4、在邊長為1的正方形網(wǎng)格中有A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，問△ABC與△ADE能否相似？為何？由此，你還可以找出圖中相似的三角形嗎？若能，請找出

來，并說明原由。

追蹤訓(xùn)練參照答案

一、填空題：

A

D54O3121、∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或

5；

4、2種；5、6

二、選擇題：DD

三、解答題：

BC例1圖；2、4條；3、3，

A

D543O21、證明：設(shè)＝＝＝B例圖CABFC＝101BEEFA

5

4O321BC

例1圖

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AA

D5D54O34O32112∵BC，BC例1圖例1圖A

D534O21∴BC且∠AEF＝∠CEA例1圖

∴△AEF∽△CEA

2、證明：∵AD⊥DC，DE⊥AC

∴∠AED=∠ADC=900∵∠EAD=∠DAC

∴△AED∽△ADC，

A

D5

4O321∴BC∴AE×AC=AD×AD例