第六章近代數(shù)學的兩座燈塔

第六章近代數(shù)學的兩座燈塔第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三在數(shù)學的長河中，有成千上萬的數(shù)學家為數(shù)學的發(fā)展做出了可貴的貢獻。其中，阿基米德、牛頓、歐拉和高斯被稱為數(shù)學史上的“四杰”。他們不僅為后人留下了極豐富的科學遺產，而且他們?yōu)榭茖W獻身的精神指引著所有后來者勇往直前。前面我們已經介紹過阿基米德和牛頓，下面我們來介紹另外兩位偉大的數(shù)學家。第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1.征服黑暗的歐拉讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們大家的老師?！绽箽W拉進行計算看起來毫不費勁兒，就像人進行呼吸，鷹在風中盤旋一樣?！⒗甑?頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三萬能顧問

歐拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）1707年出生在瑞士的巴塞爾（Basel）

城，13歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數(shù)學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導．歐拉淵博的知識，無窮無盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學的歐拉方程，復變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三他對數(shù)學分析的貢獻更獨具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當時數(shù)學家們稱他為"分析學的化身"．歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數(shù)學家，據(jù)統(tǒng)計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉出生於牧師家庭，自幼受到父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲得碩士學位。歐拉的父親希望他學習神學，但他最感興趣的是數(shù)學。在上大學時，他已受到約翰·伯努利的特別指導，專心研究數(shù)學。18歲時，他徹底的放棄了當牧師的想法而專攻數(shù)學，并開始發(fā)表文章。第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1727年，在丹尼爾·伯努利的推薦下，歐拉到俄國的彼得堡科學院從事研究工作，并在1731年接替丹尼爾·伯努利，成為物理學教授。

在俄國的14年中，他努力不懈地投入研究工作，在分析學、數(shù)論及力學方面均有出色的表現(xiàn)。此外，歐拉還應俄國政府的要求，解決了不少如地圖學、造船業(yè)等的實際問題。第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請到德國科學院擔任物理數(shù)學所所長一職，長達25年。他在柏林期間的研究內容更加廣泛，涉及行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學等等，這些工作與他的數(shù)學研究互相推動著。與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數(shù)學領域均有開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

1766年，他應俄國沙皇喀德林二世的禮聘重回彼得堡。1771年彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來．第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內容，由他的學生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學家和物理學家）筆錄．歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復述年青時代筆記的內容，心算并不限于簡單的運算，高等數(shù)學一樣可以用心算去完成．有一個例子足以說明他的本領，歐拉的兩個學生把一個復雜的收斂級數(shù)的17項加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個單位，歐拉為了確定究竟誰對，用心算進行全部運算，最后把錯誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復雜的分析問題．第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉的風格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生．等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈贊揚，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，并謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年青的拉格朗日的工作得以發(fā)表和流傳，并贏得巨大的聲譽．第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三他晚年的時候，歐洲所有的數(shù)學家都把他當作老師，著名數(shù)學家拉普拉斯（Laplace）曾說過："歐拉是我們的導師．"歐拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，歐拉寫出了計算天王星軌道的要領.第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三這時還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中落下，口里喃喃地說："我死了"，歐拉終于"停止了生命和計算"．歐拉的一生，是為數(shù)學發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉還創(chuàng)設了許多數(shù)學符號，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tan（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三哥尼斯堡七橋問題18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問題。第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三ABCD第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三七橋問題引起了著名數(shù)學家歐拉的關注。他把具體七橋布局化歸為圖2所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發(fā)，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準重復），并且最后返回起點？第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉經過研究得出的結論是：該圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？請看下面的分析。如果我們從某點出發(fā)，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過該點n次，那么就有2n條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數(shù)條線相連。第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數(shù)條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數(shù)條線相連的點。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數(shù)條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數(shù)條線相連。第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三圖中的A點與5條線相連結，B、C、D各點各與3條線相連結，圖中有4個與奇數(shù)條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。1736年，歐拉在圣彼得堡科學院作了一次學術報告。在報告中，他證明了上述結論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準則，即歐拉定理。第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三分析的化身歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理的領域。此外，他是數(shù)學史上最多產的數(shù)學家，寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》，《微分學原理》，以及《積分學原理》都成為數(shù)學中的經典著作。除了教科書外，歐拉平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們整理出他的研究成果多達74卷。第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉最大的功績是擴展了微積分的領域，為微分幾何及分析學的一些重要分支，如無窮級數(shù)、微分方程等的產生與發(fā)展奠定了基礎。

歐拉把無窮級數(shù)由一般的運算工具轉變?yōu)橐粋€重要的研究科目。他計算出了ξ函數(shù)在偶數(shù)點的值，他證明了是有理數(shù)，而且可以伯努利數(shù)來表示。此外，他對調和級數(shù)亦有所研究，并相當精確的計算出歐拉常數(shù)γ的值，其值近似為0.57721566490153286060651209…第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三在18世紀中葉，歐拉和其他數(shù)學家在解決物理方面的問過程中，創(chuàng)立了微分方程這門學科。其中在常微分方程方面，他完整地解決了n階常系數(shù)線性齊次方程的問題，對於非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動的問題，歸結出了一、二、三維波動方程的解法。歐拉所寫的《方程的積分法研究》更是偏微分方程在純數(shù)學研究中的第一篇論文。第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三在微分幾何方面，歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達方式。在1766年，他出版了《關於曲面上曲線的研究》，這是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，更是微分幾何發(fā)展史上一個里程碑。他將曲面表為z=f(x,y)，并引入一系列標準符號以表示z對x,y的偏導數(shù)，這些符號至今仍通用。此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式。第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三歐拉在分析學上的貢獻不勝枚舉，如他引入了G函數(shù)和B函數(shù)，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等。數(shù)學史家認為，歐拉的著作《無窮小分析引論》是第一部最系統(tǒng)的分析學的著作。《引論》首次把函數(shù)概念放在突出的地位，并把函數(shù)的概念作為全書的基礎。第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三《引論》的第一章就是函數(shù)概念，第四章是用無窮級數(shù)解釋函數(shù)，給無窮級數(shù)理論注入了新的生命。第六章是用函數(shù)觀點討論指數(shù)與對數(shù)?！兑摗钒讶菍W發(fā)展到一個嶄新的階段，使三角學脫離了天文學而發(fā)展為分析學的一個分支。歐拉用分析方法研究三角學時，發(fā)現(xiàn)了一個重要公式：歐拉令x=π,便得到一個奇妙的恒等式。第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三這個恒等式把數(shù)學中最基本的5個數(shù)1，0，i，π，e用一個恒等式聯(lián)系起來了。德國數(shù)學家克萊因認為，這時整個數(shù)學中最卓越最漂亮的公式之一。歐拉的《引論》及他的其他一些著作，對以后的數(shù)學家有極大的吸引力。因為歐拉是杰出的方法發(fā)明家，是善于用歸納法進行數(shù)學研究的大師。第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三他在自己的著作中，總是下功夫把有關的歸納證明細心地，詳盡地，有條有理地寫出來，坦率地表述把他引向發(fā)現(xiàn)的那些思想。因此讀歐拉的著作，不只是能學到現(xiàn)成的結論，更重要的是能學到獲得這些結論的思考方法。大概由于這個緣故，歐拉的著作被視為學習數(shù)學的最好學校。高斯在信中寫到：“學習歐拉的著作，乃是認識數(shù)學的最好工具。”第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三鑒于歐拉對微積分的貢獻，同時代的人稱他為“分析的化身”，約翰·伯努利這樣贊許這位學生在分析方面青出于藍：“我介紹高等分析時，它還是個孩子，而歐拉正將它帶大成人?！钡?3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三2.數(shù)學王子高斯第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三在德國哥廷根大學的廣場上，引人注目地矗立著一座用白色大理石砌成的紀念碑，它的底座砌成正十七邊形，紀念碑上是一個青銅雕像，他就是高斯。高斯是德國最偉大的數(shù)學家，1777年4月30日生于德國的不倫瑞克，1855年2月23日逝世于哥廷根。由于他非凡的數(shù)學才華和偉大成就，人們尊崇他為“數(shù)學王子”。第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三高斯出生在一個貧苦的家庭，祖父是農民，父親沒有固定職業(yè)，為了維持生計，做過多種工作，沒有受太多的教育，但也能寫會算。母親是父親第二個妻子，在結婚前是一個貴族家的女仆，聰慧善良，僅能識字而不會寫。在高斯親屬中的長輩中對他影響最大的要數(shù)腓特烈舅舅。腓特烈舅舅很有智慧，他靠自己鉆研成為藝術綢緞的著名織匠，他十分喜愛聰明的高斯。第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三有一次，舅舅帶高斯在河邊玩。舅舅看到河的上游漂來一根木頭，便問高斯：“小高斯，你說木頭為什么沉不下去?”

“木頭輕唄!”小高斯不加思索地回答。

舅舅彎下腰，拾起一顆小石子，又問：“這顆石子重還是那根木頭重?”

“木頭重，大木頭重多啦!”

舅舅并不吱聲，只見他用力一扔，撲通一聲，石子沉到了河底。

“……”第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三舅舅沒有給小外甥解釋，為什么比大木頭輕的小石子會沉下去，但是，這件事給小高斯留下了難忘的印象。他認識到，要得到正確的結論，必須有嚴密的推理。他逐漸養(yǎng)成習慣，遇事一定要問幾個“為什么”。在整個數(shù)學史上，沒有人像高斯那樣早熟，說來簡直令人難以置信。當他還在咿呀學語時，母親懷抱中的他就能把雞欄中的小雞數(shù)得一清二楚；第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三他在3歲的時候就已經顯示出不凡的智慧。有一個星期六的晚上，高斯的父親在費力地計算工人的工資，他一點也沒察覺到兒子在旁邊觀看著，當他好不容易計算出來后，松了一口氣。不料小高斯過來拉拉他的衣角，細聲說：“算錯啦，爸爸?？倲?shù)是……”父親驚訝不已，決定重算一遍，結果是兒子對了!高斯父親原來并不打算讓高斯上學，看到如此聰明的兒子，他改變了主意。7歲時，父親把高斯送進國民小學。第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三圣·凱瑟琳小學是高斯走進的第一所學校，管理學校的是個叫布特納的教師，一位從柏林來的大學生。布特納認為讓他來教這些頑皮的鄉(xiāng)下孩子，簡直是大材小用，心情不好的他經常把怒氣撒到學生身上，動輒揪著小學生的耳朵罰站墻角。小學生見到他，就像老鼠見了貓，嚇得幾乎連自己的名字都記不清子。可是，就從這個使孩子膽戰(zhàn)心驚的老師身上，高斯找到了幸運。第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三高斯上四年級的一天，神情嚴厲的布特納夾著講義來上算術課。這一天，他好像特別不高興，陰沉著臉向大家說，如果做不好今天的題，就不用回家吃飯了。他讓學生們計算1+2+3+…+100=?

隨后，他拿出一本書讀起來，教室里一片寂靜，所有的學生都在急忙地計算，數(shù)字越加越大，稍不留心錯一位，又得重新開始，有的同學滿頭是汗，有的同學急出了淚花。第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三高斯沒有急于計算，而是細心地觀察，他發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，50+51=101?？偣灿?0個101，他立刻得到：1+2+3+…+99+100=50×51=5050。

當他把寫有答案的石板交給老師時，布特納認為這個全班最小的學生準是瞎寫了些什么或交了白卷，不耐煩地說：“再算算?！备咚古踔约旱男∈?，輕聲地說：“老師，我算完了。”第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

當布特納的目光不經意地向石板上瞟了一眼時，他大吃一驚。要知道高斯用的這個方法，是許多古代數(shù)學家經過長期努力找出來的求等差級數(shù)和的方法，有經驗的布特納意識到這是一件不尋常的事。這個聰明的鄉(xiāng)下孩子改變了他昔日的看法，他從柏林買來最好的算術書送給小高斯。第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

這些新書帶給高斯極大的興趣和喜悅，他把一個大蘿卜挖成空心，在中間放上一塊油脂，插上一個燈芯，一盞蘿卜燈就做好了，每天晚上它陪伴著高斯在閣樓上學習到深夜。沒用多長時間小高斯就把老師送給他的書都看完了，并且不斷探索新問題。

“他已經超過我了，”布特納不得不承認，“我沒有更多東西可以教他了?！钡?4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

幸好，這位校長有個年輕的助手巴特爾斯，他為人和善，對數(shù)學有特殊的愛好，他只比高斯大8歲，高斯很快和他結成形影不離的好朋友。兩個人一起學習，相互切磋。他們沖破一道道障礙，解決一個個疑難。尤為可貴的是，現(xiàn)成的結論已經不能使高斯?jié)M足。他以批判的眼光對書上的結論逐個進行審查，一連要問上好幾個“為什么”。在這個基礎上，他開始對數(shù)學大師們的某些“證明”不客氣地提出挑戰(zhàn)。第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

高斯成了當?shù)赜忻纳裢?。有一天他邊走邊讀書，不知不覺中闖入勃朗斯威克公爵費迪南的花園，公爵夫婦聽說這個孩子就是高斯時，便對他進行了測驗，發(fā)現(xiàn)高斯確實聰明。高斯的聰明才智得到費迪南公爵的賞識，他決定資助高斯深造。

15歲的高斯被送進卡羅琳學院，在那里他掌握了希臘文、拉丁文、法文，又學會了代數(shù)、幾何、微積分，語言學和數(shù)學是他最喜歡的兩門課程。第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三這里的一切強烈地吸引著這個渴望知識的農村孩子，這是他步入科學殿堂的新起點。

課余時間，高斯常常留連于圖書館中鉆研外文和數(shù)學。他專心研讀了英國的牛頓、法國的拉格朗日、瑞士的歐拉這些大名鼎鼎的數(shù)學家的外文原著，他學習但不迷信，對大師們的某些證明有時也不客氣地提出挑戰(zhàn)。勤奮的學習得到了豐碩的成果。兩年后，17歲的高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)論中的二次互反律。這個問題大數(shù)學家歐拉和勒讓德都曾研究過，但第一個給出嚴格證明的是高斯。學院院長為此感到十分榮耀，親自發(fā)給高斯獎狀。第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

18歲時，高斯在費迪南公爵的推薦下進入了哥廷根大學。這所大學的辦學方式追隨英國牛津大學、劍橋大學，獎金充裕。高斯對它格外傾心的原因還有兩個，一是這里有極豐富的藏書，二是它注重改革，側重科學的好名聲。

數(shù)學和語言等幾科學問都是高斯所鐘愛的，究竟把哪種學問作為自己終生研究的職業(yè)，高斯久久拿不定主意。第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1796年3月30日，19歲的高斯用直尺和圓規(guī)作出了正十七邊形，自歐幾里得時代起就困擾著歷代數(shù)學家的尺規(guī)作圖這一難題，兩干多年后被高斯這個青年學生解決了，這一成果震動了數(shù)學界。這一成果最終決定了他走數(shù)學之路而非文學之路，高斯真正認識了自己的能力之所在。從1796年至1801年是高斯學術創(chuàng)作的最旺盛的階段，他提出的定理、證明、概念、假設和理論每年平均25項之多，一顆璀璨的數(shù)學新星冉冉升起。第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

1807年，高斯被他的母校哥廷根大學聘為常任數(shù)學教授和天文臺臺長。天文臺臺長這個職務比一個通常的大學職位更適合于高斯，他是一個寡言的人，縝密思考是他的強項，他對教學的興趣可不大，而天文臺的工作可以激發(fā)他對應用數(shù)學和天文學的極大興趣。在這個職位上他一直工作到1855年2月23日逝世之前。第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三高斯幾乎對數(shù)學的所有領域都做出了重大貢獻，是許多數(shù)學學科的開創(chuàng)者和奠基人。數(shù)學家評論說：“在數(shù)學世界里，高斯處處留芳?！痹诖鷶?shù)學方面，他第一個證明了任何一個復系數(shù)的單變量的代數(shù)方程都至少有一個復數(shù)根。這一定理被稱為代數(shù)基本定理。他還嚴謹?shù)刈C明了任何復系數(shù)單變量n次方程有n個復數(shù)根。這兩個定理的證明奠定了代數(shù)方程的理論基礎第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

在數(shù)論方面，高斯在18世紀末完成了他的傳世之作《算術研究》，其中的論等分圓周問題是這部專著的精華部分。這部著作給數(shù)論的研究開創(chuàng)了一個新紀元，是現(xiàn)代數(shù)論的基礎。高斯非常偏愛數(shù)論，他曾經說過：“數(shù)學是科學之王，數(shù)論是數(shù)學之王?！币院蟮?00年間，幾乎所有數(shù)論方面的發(fā)現(xiàn)都能追溯到他的研究里去。第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

高斯在曲面論、單復變函數(shù)論及其他方面也有卓越的貢獻。此外，他還有大量成果在生前沒有發(fā)表，其中最著名的有橢圓函數(shù)和非歐幾何。高斯對科學持嚴謹慎重的態(tài)度，他絕不把沒有完全成熟的成果拿出來發(fā)表，在他的日記里記載著大量非常有價值的研究成果，直到高斯去世后，人們才發(fā)現(xiàn)并被這些重大成果所震驚。第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

高斯24歲時，一個名叫皮亞齊的天文學家在意大利西西里島的巴勒莫天文臺核對星圖時，發(fā)現(xiàn)了一個“沒有尾巴的彗星”，它的直徑只有770公里，他觀察這個新面孔40多天，不久它被陽光所掩，隨之就消失在太空中了。全世界的天文學家都竭盡全力搜尋它，可是在無垠的太空中去尋找一顆小星星，宛如大海里撈針，談何容易。第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三高斯采用了新的數(shù)學方法，創(chuàng)立了行星橢圓軌道法，解決這個問題導致一個8次方程。為了算這個8次方程的近似解，高斯發(fā)明了“最小二乘法”，為了評價這種近似解的可信度，又建立了“誤差論”。用高斯的新方法，只需三次觀測數(shù)據(jù)就可以給小行星定位。第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三

高斯取得的成果，當時并沒有引起天文學家的重視。但是，當人們在高斯預言小行星將要出現(xiàn)的位置和時刻發(fā)現(xiàn)了小行星時，天文學家們大吃一驚。這就是人類歷史上觀測到的第一顆小行星，著名的“谷神星”。1802年，他又準確預測了小行星二號－－智神星的位置，這時他的聲名遠播，榮譽滾滾而來，俄國圣彼得堡科學院選他為會員，請他當哥廷根天文臺主任，他沒有立刻答應，到了1807年才前往哥廷根就任。第56頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1809年他寫了《天體運動理論》二冊，第一冊包含了微分方程、圓錐截痕和橢圓軌道，第二冊他展示了如何估計行星的軌道。高斯在天文學上的貢獻大多在1817年以前，但他仍一直做著觀察的工作到他七十歲為止。雖然做著天文臺的工作，他仍抽空做其他研究。為了用積分解天體運動的微分力程，他考慮無窮級數(shù)，并研究級數(shù)的收斂問題，在1812年，他研究了超幾何級數(shù)，并且把研究結果寫成專題論文，呈給哥廷根皇家科學院。第57頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三1820到1830年間，高斯為了測繪汗諾華公國的地圖，開始做測地的工作，他寫了關於測地學的書，由於測地上的需要，他發(fā)明了日觀測儀。為了要對地球表面作研究，他開始對一些曲面的幾何性質作研究。1827年他發(fā)表了《曲面的一般研究》，涵蓋一部分現(xiàn)在大學念的《微分幾何》。第58頁，共64頁，2023年，2月20日，星期三在183